蘇教版高中數(shù)學(xué)必修321抽樣方法學(xué)案

1、統(tǒng) 計(jì)抽樣方法1.抽樣方法：(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的特征是從總體中逐個(gè)抽取；（2）系統(tǒng)抽樣也叫等距離抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個(gè)；（3）分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同點(diǎn)：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。如（1）某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95。為了調(diào)查社會(huì)購(gòu)買(mǎi)力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本，把這種抽樣記為A；某中學(xué)高中一年級(jí)有12名女排運(yùn)動(dòng)員，要從中選取3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的情況

2、，把這種抽樣記為B，那么完成上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)分別采用的抽樣方法：A為_(kāi)，B為_(kāi)。（答：分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）；（3）某中學(xué)有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生300人，高三學(xué)生300人，現(xiàn)通過(guò)分層抽樣抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為0.2，則n= _（答：200）；（4）容量為100的樣本拆分成10組，前7組的頻率之和為0.79，而剩下的三組的頻數(shù)組成等比數(shù)列，且其公比不為1，則剩下的三組中頻數(shù)最大的一組的頻率是_（答：0.16）；（5）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中，抽取一個(gè)容量為2的樣本，則某一個(gè)體“第一次被抽到的概率”，“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”，“在

3、整個(gè)抽樣過(guò)程中被抽到的概率”分別是_（答：）；2.總體分布的估計(jì)：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)基本思想方法，即用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)（即總體期望值描述一個(gè)總體的平均水平）；用樣本方差估計(jì)總體方差（方差和標(biāo)準(zhǔn)差是描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，表示這個(gè)樣本或總體的波動(dòng)越小，即越穩(wěn)定）。一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確?？傮w估計(jì)要掌握：(1)“表”(頻率分布表)；（2）“圖”(頻率分布直方圖)。頻率分布直方圖的特征：（1）從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì)。（2）從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就

4、被抹掉了。頻率直方圖的作法： （1）算數(shù)據(jù)極差 （2）決定組距和組數(shù)； （3）決定分點(diǎn)； （4）列頻率分布表； （5）畫(huà)頻率直方圖。 提醒：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率。組數(shù)的決定方法是：設(shè)數(shù)據(jù)總數(shù)目為n，時(shí)，分為組；時(shí)，分為組.如（1）一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下： (10,20,2；(20,30,3；(30,40,4；(40,50,5；(50,60,4；(60,70,2；則樣本在區(qū)間上的頻率為A5% B25% C50% D70%（答：D）；（2）已知樣本：10 8 6 10 13 8 10 12

5、 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 ，那么頻率為0.3的范圍是A5.57.5 B7.59.5 C9.511.5 D11.513.5（答：B）；（3）觀察新生兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生兒的體重在2700，3000的頻率為_(kāi)（答：0.3）；O240027003600330030003900體重(g)0.001（4）如圖,是一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的樣本頻率分布直方圖（樣本容量n=200），若成績(jī)不低于60分為及格，則樣本中的及格人數(shù)是_（答：120）； 分?jǐn)?shù)頻率/組距0204060801000.0180.0120.0090.0060.005(5) 有同一型號(hào)的汽

6、車(chē)100輛,為了解這種汽車(chē)每蠔油1L所行路程的情況,現(xiàn)從中隨即抽出10輛在同一條件下進(jìn)行蠔油1L所行路程實(shí)驗(yàn),得到如下樣本數(shù)據(jù)（單位:km）:13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4，其分組如下:分組頻數(shù)頻率12.45,12.95）12.95,13.45）13.45,13.95）13.95,14.45）合計(jì)101.0（1）完成上面頻率分布表；（2）根據(jù)上表,在給定坐標(biāo)系中畫(huà)出頻率分布直線圖,并根據(jù)樣本估計(jì)總體數(shù)據(jù)落在12.95,13.95）中的概率；（3）根據(jù)樣本,對(duì)總體的期望值進(jìn)行估計(jì)解：（1）頻率分布表：分組頻數(shù)頻率12.45,12

7、.95）20.212.95,13.45）30.313.45,13.95）40.4:13.95,14.45）10.1合計(jì)101.0（2）頻率分布直方圖：估計(jì)總體數(shù)據(jù)落在12.95,13.95）中的概率為0.7（3）13.4因此，總體的期望值進(jìn)行估計(jì)約為13.4.(6)為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)次測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12.90100110120130140150次數(shù)o0.0040.0080.0120.0160.0200.0240.028頻率/組距0.0320

8、.036(1) 第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2) 若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？(3) 在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：又因?yàn)轭l率=,所以 （2）由圖可估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為（3）由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組

9、的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi)。3、樣本平均數(shù)： 。如有一組數(shù)據(jù)：x1,x2,xn(x1x2xn)，它們的算術(shù)平均值為20，若去掉其中的xn，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為18，則xn關(guān)于n的表達(dá)式為 （答：）。4、樣本方差：；樣本標(biāo)準(zhǔn)差：。如（1）甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)缦卤?單位：環(huán))甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的應(yīng)是 （答：甲）；（2）已知實(shí)數(shù)的期望值為，方差為，若，則一定有 A B C D與無(wú)法比較大?。ù穑築）；（3）某班40人隨機(jī)平均分成兩組，兩組學(xué)生一次考試的成績(jī)情況如下表： 則

10、全班的平均分為_(kāi)，方差為_(kāi)（答：85,51）提醒：若的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)為，方差為。如已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 A15，36 B22，6 C15，6 D22，36 （答：B）5.莖葉圖(1) 莖葉圖的畫(huà)法：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖（高位）與葉（低位）兩部分，將最大莖和最小莖之間的數(shù)按大小順序排成一列，將各數(shù)據(jù)的葉依先后次序?qū)懺谄淝o的左（右）兩側(cè). 統(tǒng)計(jì)量組別平均分方差第1組8016第2組9036 (2)莖葉圖的特征：（）用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便

11、記錄與表示。（）莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒(méi)有表示兩個(gè)記錄那么直觀，清晰。6. 獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢定兩個(gè)事件間是否獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)方法，是卡方檢驗(yàn)的一個(gè)應(yīng)用. 卡方檢驗(yàn)是對(duì)樣本的頻數(shù)分布所來(lái)自的總體分布是否服從某種理論分布或某種假設(shè)分布所作的假設(shè)檢驗(yàn).即根據(jù)樣本的頻數(shù)分布來(lái)推斷總體的分布，卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)的零假設(shè)是各事件之間相互獨(dú)立.卡方值永遠(yuǎn)大于零. 2的兩個(gè)臨界值分別是3.841，與6.635.3.841時(shí)，接受假設(shè)即兩事件無(wú)關(guān).相關(guān)系數(shù)是測(cè)定變量之間相關(guān)密切程度和相關(guān)方向的代表性指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)用符號(hào)“r ”表示，其特

12、點(diǎn)表現(xiàn)在：參與相關(guān)分析的兩個(gè)變量是對(duì)等的，不分自變量和因變量，改變兩變量的地位并不影響相關(guān)系數(shù)的數(shù)值，因此相關(guān)系數(shù)只有一個(gè)；相關(guān)系數(shù)有正負(fù)號(hào)反映相關(guān)系數(shù)的方向，正號(hào)反映正相關(guān)，負(fù)號(hào)反映負(fù)相關(guān)； 回歸和相關(guān)都是研究?jī)蓚€(gè)變量相互關(guān)系的分析方法。相關(guān)分析研究?jī)蓚€(gè)變量之間相關(guān)的方向和相關(guān)的密切程度。但是相關(guān)分析不能指出兩變量相互關(guān)系的具體形式，也無(wú)法從一個(gè)變量的變化來(lái)推測(cè)另一個(gè)變量的變化關(guān)系?；貧w方程則是通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方程來(lái)反映變量之間相互關(guān)系的具體形式，以便從一個(gè)已知量來(lái)推測(cè)另一個(gè)未知量。為估算預(yù)測(cè)提供一個(gè)重要的方法。相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟是：(1)做統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與Y不具備線性相關(guān)關(guān)系.(2)根據(jù)小概率0

13、.05與查出r的一個(gè)臨界值.（3）根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算出r的值.（4）作統(tǒng)計(jì)推斷：如果表明95%的把握認(rèn)為x與Y之間具備線性相關(guān)關(guān)系，如果接受假設(shè).提醒：A與B有關(guān)并不意味著A的發(fā)生必然導(dǎo)致B的發(fā)生.7.回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間數(shù)量變化的一般關(guān)系進(jìn)行測(cè)定，確定一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便從一個(gè)已知量來(lái)推測(cè)另一個(gè)未知量，為估計(jì)預(yù)測(cè)提供一個(gè)重要的方法。在回歸分析中，由X推算Y與由Y推算X的回歸方程是不同的，不可混淆: .與相關(guān)分析相比，回歸分析的特點(diǎn)是：兩個(gè)變量是不對(duì)等的，只能用自變量來(lái)估計(jì)因變量，而不允許由因變量來(lái)推測(cè)自變量,必須區(qū)分自變量,一般說(shuō)，事物的原因作

14、自變量X.回歸分析和相關(guān)分析是互相補(bǔ)充、密切聯(lián)系的。相關(guān)分析需要回歸分析來(lái)表明現(xiàn)象數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則應(yīng)該建立在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上。依靠相關(guān)分析表明現(xiàn)象的數(shù)量變化具有密切相關(guān)，進(jìn)行回歸分析求其相關(guān)的具體形式才有意義。如（1）在研究色盲與性別的關(guān)系調(diào)查中，調(diào)查了男性480人，其中有38人患色盲，調(diào)查的520個(gè)女性中6人患色盲，（1）根據(jù)以上的數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；（2）若認(rèn)為“性別與患色盲有關(guān)系”，則出錯(cuò)的概率會(huì)是多少解：（1）患色盲不患色盲總計(jì)男38442480女6514520總計(jì)449561000 （2）假設(shè)H ：“性別與患色盲沒(méi)有關(guān)系” 先算出K 的觀測(cè)值： 則有 即是H 成立的概率不超過(guò)0.001, 若認(rèn)為“性別與患色盲有關(guān)系”，則出錯(cuò)的概率為0.001（2）一