解三角形應(yīng)用舉例

1、備考方向要明了考 什 么怎 么 考能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.1.考查正、余弦定理在解決與角度、方向、距離及測量等問題有關(guān)的實際問題中的應(yīng)用2.考查方式既有選擇題、填空題，也有解答題，屬中、低檔題.歸納·知識整合1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等2實際應(yīng)用中的常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫

2、做方位角方位角的范圍是(0°，360°)方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)××度例：(1)北偏東m°：(2)南偏西n°：坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為，坡度為i，則itan 坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比探究1.仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？提示：三者的參照不同仰角與俯角是相對水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的2如何用方位角、方向角確定一點的位置？提示：利用方位角或方向角和目標(biāo)與觀測點的距離即可唯一確定一點的位置自測·牛刀小試1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為

3、，則與的關(guān)系為()A>BC90° D180°解析：選B根據(jù)仰角和俯角的定義可知.2.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東80° D南偏西80°解析：選D由條件及圖可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.3.如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、

4、B間距離的是()A，a，bB，aCa，b，D，b解析：選A選項B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項C中可由余弦定理確定AB.選項D同B類似4(教材習(xí)題改編)海上有A，B，C三個小島，測得A，B兩島相距10海里，BAC60°，ABC75°，則B，C間的距離是_海里解析：由正弦定理，知.解得BC5海里答案：55(教材習(xí)題改編)如圖，某城市的電視發(fā)射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC為35 m，在地面上有一點A，測得A，C間的距離為91 m，從A觀測電視發(fā)射塔CD的視角(CAD)為45°，則這座電視發(fā)射塔的高度CD為_m.解析：AB84，tanCAB.由

5、tan(45°CAB)得CD169.答案：169測量距離問題例1隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達，在岸邊選取相距 km的C、D兩點，同時，測得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離自主解答如圖，在ACD中，ACD120°，CADADC30°，所以ACCD.在BCD中，BCD45°，BDC75°，CBD60°，由正弦定理知BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cosACB()222&

6、#215;××cos 75°325，所以AB km，所以A，B兩目標(biāo)之間的距離為 km.若將本例中A、B兩點放到河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，求A、B兩點間的距離解：由正弦定理，得，故AB50 m.即A、B兩點間的距離為50 m求距離問題的注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.1如圖所示，某

7、河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A，B，觀察對岸的點C，測得CAB75°，CBA45°，且AB100 m求該河段的寬度解：CAB75°，CBA45°，ACB180°CABCBA60°.由正弦定理得，BC.如圖，過點B作BD垂直于對岸，垂足為D，則BD的長就是該河段的寬度在RtBDC中，BCDCBA45°，sinBCD，BDBCsin 45°·sin 45°× m，該河段的寬度為 m.測量高度問題例2某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40

8、 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高自主解答如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進，CD40，此時DBF45°.過點B作BECD于E，則AEB30°.在BCD中，CD40，BCD30°，DBC135°，由正弦定理，得，則BD20.BDE180°135°30°15°.在RtBED中，BEDB sin 15°20×10(1)在RtABE中，AEB30°，則ABBEtan 30°(3)故塔高為(3) m.處理高度問題的注意事項(1)在

9、處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個關(guān)鍵(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(3)高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合2如圖，山腳下有一小塔AB，在塔底B測得山頂C的仰角為60°，在山頂C測得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB20 m，求山高CD.解：如圖，設(shè)CDx m，則AE(x20) m，tan 60°，則BDx m.在AEC

10、中，x20x，解得x10(3) m，故山高CD為10(3) m.測量角度問題例3如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間自主解答設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD10t海里，BD10 t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22AB·ACcos A(1)2222(1)&

11、#183;2·cos 120°6.解得BC.又，sinABC，ABC45°，B點在C點的正東方向上，CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30°，緝私船沿北偏東60°的方向行駛又在BCD中，CBD120°，BCD30°，D30°，BDBC，即10t.t小時15分鐘緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘解決測量角度問題的注意事項(1)首先應(yīng)明確方位角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意

12、圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用3如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值解：如題中圖所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理得，sinACB·sinBAC.由BAC120°，

13、知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.1個步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟2種情形解三角形應(yīng)用題的兩種情形(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解2個注意點解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題(1)畫出示意圖后要注

14、意尋找一些特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等，這樣可以優(yōu)化解題過程(2)解三角形時，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量. 創(chuàng)新交匯數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的應(yīng)用三角函數(shù)在實際生活中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識為核心，以測量、航海、筑路、天文等為代表的實際應(yīng)用題是高考應(yīng)用題的熱點題型求解此類問題時，應(yīng)仔細審題，提煉題目信息，畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識求解典例(2013·廣州模擬)在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以

15、內(nèi)的海域被設(shè)為警戒水域點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A的北偏東45°且與點A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A的北偏東(45°)(其中sin ，0°90°)且與點A相距10海里的位置C.(1)求該船的行駛速度(單位：海里/時)；(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由解如圖所示，AB40，AC10，BAC，sin .因為090°，所以cos .BC10.所以船的行駛速度為15海里/時(2)法一：如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點B，C的坐

16、標(biāo)分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點為D.由題設(shè)，得x1y1AB40，x2ACcosCAD10·cos(45°)30，y2ACsinCAD10 ·sin(45°)20.所以過點B，C的直線l的斜率k2，直線l的方程為y2x40.又點E(0，55)到直線l的距離d37，所以船會進入警戒水域法二：如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點Q.在ABC中，由余弦定理，得cosABC.所以sinABC .在ABQ中，由正弦定理，得AQ40.由于AE5540AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QEAEAQ15.過點E作EPBC于點P，則EP

17、為點E到直線BC的距離在RtQPE中，PEQE·sinPQEQE·sinAQCQE·sin(45°ABC)15×37.所以船會進入警戒水域1對于問題(1)，知道兩邊夾一角，由余弦定理求得BC的長，除以行駛時間即可求得速度；對于問題(2)，延長BC交直線AE于點Q，然后在ABQ中，由正弦定理求得AQ的長、判斷點Q的位置，最后在QPE中結(jié)合已知條件即可作出判斷2解此類問題，首先根據(jù)題意合理畫出示意圖是解題關(guān)鍵；將條件歸納到某一三角形中是基本的策略；合理運用正、余弦定理并注意與平面幾何相關(guān)知識結(jié)合有助于問題的解決某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘

18、正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由解：(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為s海里，則s.故當(dāng)t時，smin10，此時v30，即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇

19、，則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t時，v30.故v30時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在OAB中，有OAOBAB20，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為()A.B2C.或2D3解析：選C如圖所示，設(shè)此人從A出

20、發(fā)，則ABx，BC3，AC，ABC30°，由余弦定理得()2x2322x·3·cos 30°，整理得x23x60，解得x或2.2.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km解析：選B利用余弦定理解ABC.易知ACB120°，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°2a22a2×3a2，故ABa

21、.3一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：選A設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50

22、 m.4(2013·永州模擬)張曉華同學(xué)騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析：選B如圖，由條件知AB24×6.在ABS中，BAS30°，AB6，ABS180°75°105°，所以ASB45°.由正弦定理知，所以BSsin 30°3.5如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機

23、的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮芨叨葹?精確到0.1 km)()A11.4B6.6C6.5D5.6解析：選BAB1 000×1 000× m，BC·sin 30° m.航線離山頂h×sin 75°11.4 km.山高為1811.46.6 km.6.如圖，在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)()A2.7 m B

24、17.3 mC37.3 m D373 m解析：選C在ACE中，tan 30°.AE m.在AED中，tan 45°，AE m，CM10(2)37.3 m.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7.2012年10月29日，超級風(fēng)暴“桑迪”襲擊美國東部，如圖，在災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救狗從A處沿正北方向行進x m到達B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，行進10 m到達C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點，那么x_.解析：由題知，CBA75°，BCA45°，BAC180°75°

25、45°60°，.x m.答案： m8某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20 m，則折斷點與樹干底部的距離是_ m.解析：如圖，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則ABO45°，AOB75°，所以O(shè)AB60°.由正弦定理知，解得AO m.答案：9(2013·銅川模擬)一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向

26、，則這只船的速度是_海里/小時解析：如圖，依題意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，從而CDCA10.在直角三角形ABC中，可得AB5，于是這只船的速度是10海里/小時答案：10三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10.如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點進行測量已知AB50 m，BC120 m，于A處測得水深A(yù)D80 m，于B處測得水深BE200 m，于C處測得水深CF110 m，求DEF的余弦值解：作DMAC交BE于N，交CF于M，DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理得，cosD

27、EF.11為撲滅某著火點，現(xiàn)場安排了兩支水槍，如圖，D是著火點，A、B分別是水槍位置，已知AB15 m，在A處看到著火點的仰角為60°，ABC30°，BAC105°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？解：在ABC中，可知ACB45°，由正弦定理得，解得AC15 m.又CAD60°，AD30，CD15，sin 105°sin(45°60°).由正弦定理得，解得BC m.由勾股定理可得BD15 m，綜上可知，兩支水槍的噴射距離至少分別為30 m，15 m.12.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且

28、與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值解：(1)依題意，BAC120°，AB12，AC10×220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB×AC×cos BAC1222022×12×20×cos 120°784.解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/小時(2)法一：在ABC中，因為AB12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理，得.即sin .法二：在ABC中，因為AB12，AC20，BC28，BCA，由余弦定理，得cos ，即cos .因為為銳角，所以sin .1為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟解：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N的俯角1，1；B點到M，N的俯角2，2；A，B間的距離d(如圖所示)方案一第一步：計算AM.在ABM中，由正弦定理，得AM.第二步：