導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義(全面版)資料

1、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義（全面版）資料教學目標：1了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；2 .理解曲線的切線的概念；3 通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題； 教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；教學難點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教學過程：一創(chuàng)設(shè)情景(一) 平均變化率、割線的斜率(二) 瞬時速度、導(dǎo)數(shù)我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=xo處的瞬時變化率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=xo附近的變化情況，導(dǎo)數(shù) f(X。)的幾何意義是什么呢？二新課講授(一)曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當pn(xn, f(xn)(n 1,2,3,4)沿著曲線f(x)

2、 趨近于點P(xo,f(x。)時，割線PPn的變化趨勢是什么？我們發(fā)現(xiàn)，當點巳沿著曲線無限接近點 P即厶XT0時，割線PR趨近于確定的位置， 這個 確定位置的直線 PT稱為曲線在點P處的切線.問題：害熾PP,的斜率 心與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？切線PT的斜率k為多少？容易知道，割線PPn的斜率是kn f(xn) f(xo),當點Pn沿著曲線無限接近點 P時，k.無 xn X。限趨近于切線PT的斜率k，即k lim丄一x) f(x。) f (x0)X 0x說明：(1)設(shè)切線的傾斜角為 a那么當 xt0時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點 P處的切線的斜率這個概念：提供了求曲線上某點切線的斜率的一

3、種方法；切線斜率的本質(zhì) 一函數(shù)在x X)處的導(dǎo)數(shù)(2)曲線在某點處的切線：1)與該點的位置有關(guān)；2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷 與求解如有極限，則在此點有切線，且切線是唯一的；如不存在，則在此點處無切線；3)曲線的 切線，并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多個(二)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(Xo, f (Xo)處的切線的斜率，即 f(xo) lim f(xox) f(xo)kX 0x說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟： 求出P點的坐標； 求出函數(shù)在點x0處的變化率 f(X。) lim衛(wèi)一k ，得到曲線在點X 0x(X。, f (X

4、o)的切線的斜率； 利用點斜式求切線方程(二)導(dǎo)函數(shù)：由函數(shù)f(x)在X=xo處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當時，f (Xo)是一個確定的數(shù)，那么，當 X 變化時便是X的一個函數(shù)，我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作：f (x)或y ,f (x x) f (x) 即：f (x) y limx 0x注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).(三) 函數(shù)f (X)在點瓦處的導(dǎo)數(shù)f (瓦)、導(dǎo)函數(shù)f(X)、導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。1) 函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)f (xj，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。2) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)3

5、) 函數(shù)f (X)在點X。處的導(dǎo)數(shù) 譏燈就是導(dǎo)函數(shù)f(X)在X 冷處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點X。處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 三.典例分析例1: (1)求曲線y=f(x)=x2+i在點P(1,2)處的切線方程(2)求函數(shù)y=3x2在點(1,3)處的導(dǎo)數(shù)(1X)2 1 (12 1)所以，所求切線的斜率為解：(1) y |x 12 x limx 02,因此，所求的切線方程為2X2,2(x1)即 2x(2)因為 y |x 1 lim3x23 122 2.3(x1 )limlim3( x 1)6X 1X1x 1 x 1X 1所以，所求切線的斜率為6,因此，所求的切線方程為y 36(x1)即 6x y 3

6、0(2)求函數(shù) f(x)=X2X在X1附近的平均變化率,并求出在該點處的導(dǎo)數(shù).解：d 一X)2(1X) 2 c3 xf ( 1) lim yt一x)t一X-2limi(3x) 3x 0 xx:. x 0例2.(課本例2)如圖3.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)h(x)4.9x2 6.5x 10，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線h(t)在t。、ti、t?附近的變化情況.解：我們用曲線h(t)在t0、t1、t2處的切線，刻畫曲 線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況.(1) 當t t0時，曲線h(t)在t0處的切線l0平行于 x軸，所以，在t t0附近曲線比較平坦，幾 乎沒有升降.(2) 當

7、t t1時，曲線h(t)在t1處的切線11的斜率h(tj 0，所以，在t 1附近曲線下降，即 函數(shù) h(x)4.9x2 6.5x 10 在 t 1 附近單調(diào)遞減.(3) 當t t2時，曲線h(t)在t2處的切線I2的斜率h(t2) 0，所以，在t t2附近曲線下降，即函數(shù)h(x)4.9x2 6.5x 10在t t2附近單調(diào)遞減.從圖3.1-3可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線在t1附近比在t2附近下降的緩慢.例3.(課本例3)如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度 c f (t)(單位：mg/mL)隨時 間t (單位：min )變化的圖象根據(jù)圖像，估計 t 0.2

8、,0.4, 0.6,0.8時，血管中藥物濃 度的瞬時變化率(精確到 0.1 ).解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度f(t)在此時刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線 f(t)在此點處的切線的斜率.如圖3.1-4,畫出曲線上某點處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值.作t 0.8處的切線，并在切線上去兩點，如(0.7,0.91) , (1.0,0.48)，則它的斜率為：1.41.0 0.70.48 0.91所以 f (0.8)1.4下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值:t0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率f'(t)0.40-0

9、.7-1.4四課堂練習1 .求曲線y=f(x)=x3在點(1,1)處的切線;2.求曲線y . x在點(4,2)處的切線. 五回顧總結(jié)1. 曲線的切線及切線的斜率；2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義六.布置作業(yè)導(dǎo)數(shù)的概念及運算導(dǎo)學姓名 班級一.學習目標1. 掌握的概念以及幾何意義2. 會進行導(dǎo)數(shù)的四則運算二.知識梳理1導(dǎo)數(shù)的定義平均變化率瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）公式圖像以及幾何 意義幾何意義：函數(shù) f X在x x0處的導(dǎo)數(shù)2基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f X cf ' Xrnf XXf ' Xf x sinxf ' Xf x cosxf ' XrXf x af ' XrX

10、f x ef ' Xf X logaxf ' Xf x In xf ' X3.運算法則(3)=.例題分析 例1、求拋物線y2X （1）過點（1 , 1）的切線方程。5（2）過點（| , 6）的切線方程。2例2（ 08遼寧）設(shè)P為曲線上的點，且曲線y x 2x 3在p處的傾斜角范圍為0,4貝廿點P橫坐標的范圍 （變式）若點P是曲線y x3 x 7上的點，則點P處切線的傾斜角的范圍是 三鞏固練習1曲線y x 3x在x 2的切線的斜率為 （）A. 7B. 6C. 5D. 42曲線y x33x2 6x 4的所有切線中,斜率最小的切線的方是 .3. 在函數(shù)y x3 8x的圖象上，

11、其切線的傾斜角小于 ”的點中,坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是（）4. 曲線yx3x 1在點（1,3）處的切線方程是 .1 35. 已知某物體的運動方程S t - t3，則當t 3s時的瞬時速度是（）9A. 10m /sB. 9m /sC. 4m /sD. 3m /sx26. 與直線x y 1 =平行，且與曲線y=1相切的直線方程為 .37. y x3 x25在x 1處的切線的傾斜角是38. f xx2 2xf' （1）,則 f '（0） 9. （09江西）設(shè)函數(shù)fx g xx2,曲線y g（x）在處的切線方程為 y 2x 1，則曲線y f（x）在點（1 f 1 ）處的切線的斜率為 四小

12、結(jié):利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟：（可讓學生歸納） 求出函數(shù)y f（x）在點X。處的導(dǎo)數(shù)f （溝） 得切線方程y f（xo）f （x）（x X。）注：點（xo, f（x。）是曲線上的點切線：y f x0 f x0 (x x0)曲線:鹽城市時楊中學 2021屆高三數(shù)學導(dǎo)學案(理)第六講編寫人：王杰勝審核人：劉長柏班級姓名課標要求：1. 了解平均變化率的概念和瞬時變化率的意義；了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；2. 通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。知識回顧1 .導(dǎo)數(shù)的概念2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義基礎(chǔ)練習1 .下列命題nxn 1(1)若函數(shù) f(x) (n N )，則

13、f (x) x ； (2)若函數(shù) f(x) c,則 f (xo)0 ；n(3)若函數(shù) f (x) ( x)n(n N )，則 f (x) n( x)n 1 ； (4)若函數(shù) f (x) x0,貝U f (0)0。其中正確的是 。(填序號)2. 已知曲線y sin x(x (0 ,)在點P處的切線平行于直線l : x 2y 0 ,則點P的坐標為。3. 若曲線y xlnx與直線y 2x b相切于點P,則點P的坐標是。4. 已知曲線y ex在點P處的切線經(jīng)過原點，則此切線的方程為 。235. 若曲線y =x 1與y =1 x在x = x 0處的切線互相垂直，貝 H x 0 = 。例題精講1例1利用導(dǎo)

14、數(shù)的定義求函數(shù) y =-的導(dǎo)數(shù)x0）處的切線例2已知曲線y = ax3 + bx2 + ex+1關(guān)于點（0, 1）對稱，且在點（1,斜率為1，試求a，b, e的值例3已知a > 0，曲線y=33.x a在點x = X1 （捲> 0）處的切線為I（1 ）求I的方程；（2）設(shè)I與x軸的交點（x2, 0）,求證：x2 > a ；課堂小結(jié):高三數(shù)學作業(yè)（6）班級姓名學號21 拋物線x 4y的過點（一1,0）的切線方程是 2 已知曲線y x3 2x2 x，在點p,、P2處的切線斜率都為1,則P1 P2在x軸上的射影長為3. 過拋物線y x2 3x上一點p的切線的傾斜角為 45°

15、;，它與兩坐標軸交于 A B兩點,則厶AOB的面積是.4. 設(shè)曲線y x3 3x2 2x 10的切線的傾斜角為a,則a的取值范圍是。5. 已知A B是曲線y x3 ax上不同的兩點，且過 A B兩點的切線都與直線AB垂直。 求證：（1） A B兩點關(guān)于原點對稱；（2） a > . 3。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念.導(dǎo)數(shù)的定義1.引例例1:變速直線運動的速度設(shè)有一物體 M沿直線從o點開始作變速直線運動，在t 時刻運動到點P，與點O的距離為s(t)，求物體M在to時刻的 瞬時速度。Vt這一時間段內(nèi)的平均速度為已知勻速直線運動的速度為: 變速直線運動在 to到toV(t)S S(tot) s(to)，如果當

16、t 0時，上式的極限存在，tt記為V，即V(t) limV(t) lim工 lim° S(to)。V即為所求的t 0tot tot物體M在to時刻的瞬時速度。例2:曲線的切線問題 2.導(dǎo)數(shù)的定義定義1 ：設(shè)函數(shù)y f(x)在點xo的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在Xo處取得增量x( Xo+ x仍在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地 函數(shù)y取得增量y f (xo x) f (xo)；如果y與x之比當x o 時的極限存在，則稱函數(shù)y f(x)在點xo處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)y f(x)在點X。處的導(dǎo)數(shù)(微商)，記作：y/|xxo，f/(xo)， dy|xxo。即:f /(Xo)lirfx ox) f(

17、Xo)x注：(1)函數(shù)y f(x)在點xo處可導(dǎo)，亦可稱函數(shù)y f(x)在點X。處的導(dǎo)數(shù)存在(或具有導(dǎo)數(shù))。x0/V-T叫Hhx0(2)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的另外兩種定義:f/f (x) f(Xo)f (x0) limx xox x0(3) 如果lim丄limx) f(xo)不存在，稱函數(shù)y f(x)x 0 x x 0x在點xo處不可導(dǎo)。(4) y/ x 為函數(shù) y f(x)在區(qū)間xo，x。 x(或x。 x,x。) 上的平均變化率；而導(dǎo)數(shù) f/(x。)是因變量y在點X。對于x的變 化率，反映因變量y隨自變量x的變化而變化的快慢程度。導(dǎo)數(shù)的概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述。(5)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和極限存在

18、的充要條件，相應(yīng)地定義 函數(shù)y f(x)在點xo處右可導(dǎo)、左導(dǎo)數(shù)如下(分別記右可導(dǎo)、 左導(dǎo)數(shù)為(Xo)， f/(xo): f /(Xo)都存在，f /(Xo)= f/ (Xo)f/ (X。)lim f(x) f(Xo)X Xo 0 X Xof/ (Xo)lim f(x) f(Xo)X Xo o X Xo且有：函數(shù)y f(x)在點Xo處可導(dǎo)函數(shù) y f(x)在 Xo 處，f/(Xo)、(即函數(shù)y f(x)在點xo處可導(dǎo)數(shù)的充要條件是函數(shù) y f(x)在點Xo處既右可導(dǎo)、有左可導(dǎo)) 3 .函數(shù)y f(x)在區(qū)間上(內(nèi))可導(dǎo)的概念:(1)若函數(shù)y f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱函 數(shù)

19、y f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。(2) 若函數(shù)y f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，且f/(a) 存在，則稱函數(shù)y f(x)在區(qū)間a,b)上可導(dǎo)。(3) 若函數(shù)yf(x)在開區(qū)間佝b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，且f/(a)， f/(b)存在；則稱函數(shù)y f(x)在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo)。4 .導(dǎo)函數(shù)若函數(shù)y f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則對 x (a,b)，總有 確定的f/(x) lim f(x x) f(x)與之對應(yīng)，從而得到一個以x為X 0x自變量的新函數(shù)，稱此函數(shù)為函數(shù)y f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)，記為：y/ , dy , f/(x)。dx二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：由導(dǎo)數(shù)的定義可知：

20、函數(shù) '在點“處的導(dǎo)數(shù)”在幾何 上表示曲線 ' 在點處的切線斜率，即廣慶)=tan諛f/(x0) lim f(x)表示函數(shù)曲線 y f (x)在點 M(x0,y0)x x0x x0(yo f(xo)處的切線的斜率。曲線y f(x)上點M(xo，yo)的曲線的切線方程為：y yo f/(xo)(x x。)曲線y f(x)上點M(xo，y。)的曲線的法線方程為：1y yo/(XX。)。f(X。)三.簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2： 求函數(shù)( n為正整數(shù))在-處的導(dǎo)數(shù)更一般地，對于幕函數(shù)(為常數(shù))，有苗y =聲尸】例3： 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(cos)1 = pin x,例4:求函數(shù)1 -的導(dǎo)數(shù)=血1即

21、:這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，特殊地，當，：時,因，故有:例5:求函數(shù)/(x) = lo fl x(a > 0衛(wèi)工 1)的導(dǎo)數(shù)-xln a(In x)/1x例6：求曲線y x在點(4,2)處的切線方程五.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)y f(x)在點xo處可導(dǎo)函數(shù)y f(x)在點xo連續(xù)函數(shù)y f(x)在點X。處可導(dǎo)函數(shù)y f(x)在點X。連續(xù)。女口： y x在點X。0處連續(xù)，但在點X。0處不可導(dǎo)。即函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，而非充分條件。2 1例7：設(shè)f(x) x ,x S試確定a、b的值，使函數(shù)f(x)在x 1 ax b ,x 1處可導(dǎo)。下一節(jié) 返回導(dǎo)數(shù)的概念及運算復(fù)習指導(dǎo)重點難點

22、：1 導(dǎo)數(shù)的定義：(1) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：對于函數(shù)f(x)，當自變量x在X0處有增量厶x，則函數(shù)y相應(yīng)地有改、曰、&、變量 y=f(x 0+ A x)-f(x o)，這兩個增量的比 -叫做函數(shù)y=f(x)在xo到xo+ x之間的平均變化率，即'-11 ' ' '' o如果當A xt0時，二有極限，我們說函數(shù)在xo處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)。記作f(xo)或,即/八_血 3 _血 /(心十&) 一/(帀)。ax匕(2) 導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點處可導(dǎo)，這時，對于開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每

23、一個值xo,都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f(xo)，這樣就在開區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這一新函數(shù)叫做f(x)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作f(x)或y'，即嚴r八 _血 Aj7U +Av) -/WAiAx(3) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：過曲線y=f(x)上任意一點(x,y)的切線的斜率就是f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)，即："二-'。也就是說，曲線y=f(x)在點P(xo,A af(x o)處的切線的斜率是f(xo)，切線方程為y-yo=f(xo)(x-xo)o2. 求導(dǎo)數(shù)的方法：(1) 求函數(shù)y=f(x)在xo處導(dǎo)數(shù)的步驟： 求函數(shù)的增量A y=f(x o+ A x)-f(x o)

24、 求平均變化率取極限，得導(dǎo)數(shù)A AAv° 心 &(2) 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: C'=O(C為常數(shù))； (sinx)'=cosx ;(ex)'=ex;' Y ' = ;x(3) 導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：(u ± v)'=u' ± v' (xn)'=nxn-1 (n Q )； (cosx)'=-sinx ;(ax)'=axlnax(uv)'=u'v+uv'(4) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)， 等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變

25、量的 導(dǎo)數(shù)。典型例題：例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y=(2x-3)5廠- 一一3 上 |' y=si n32x解： 設(shè)u=2x-3，則y=(2x-3)5分解為y=u5, u=2x-3由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得:y'=f(u)u'(x)=(u 5)'(2x-3)'=5u 4 2=10u4= 10(2x-3)4 設(shè) u=3-x，則-_ f 可分解為： :.- I-,# = f仗）衛(wèi)'（打=&弓（？一初=丄，x（-l）=21+4心曲1心川1乂 11 1 + - .X十 J1 十 X1-1+ X2十 * y'=3(sin2x) 2 (sin2x)

26、'=3sin 22xcos2x(2x)'=6 sin22x cos2x例2 已知曲線.、 J-，問曲線上哪一點處切線與直線y=-2x+3垂直，并寫出這一點切線方程。1 _1 1 1解： I . .：.1 . . I .-:，令 J -一,2 2得x=4，代入，-.，得y=5 ,曲線在點（4,5）處的切線與直線y=-2x+3垂直，切線方程為-'一-，即x-2y+6=0。例 3已知曲線 C: y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程； 第小題中切線與曲線C是否還有其它公共點。解：把x=1代入C的方程，求得y=-4 ,切點為(1,-4), y'=12x3-6x2-18x切線斜率為 k=12-6-18=-12 ,十斗切線方程為y=-12x+8。得 3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0 ,6 2公共點為（1,-4）（切點除切點外，還有兩個交點- ；