經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一元線性回歸模型

1、第二章 經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：一元線性回歸模型一、內(nèi)容提要本章介紹了回歸分析的基本思想與基本方法。首先，本章從總體回歸模型與總體回歸函數(shù)、樣本回歸模型與樣本回歸函數(shù)這兩組概念開始，建立了回歸分析的基本思想?？傮w回歸函數(shù)是對(duì)總體變量間關(guān)系的定量表述，由總體回歸模型在若干基本假設(shè)下得到，但它只是建立在理論之上，在現(xiàn)實(shí)中只能先從總體中抽取一個(gè)樣本，獲得樣本回歸函數(shù)，并用它對(duì)總體回歸函數(shù)做出統(tǒng)計(jì)推斷。本章的一個(gè)重點(diǎn)是如何獲取線性的樣本回歸函數(shù)，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的學(xué)習(xí)與掌握。同時(shí)，也介紹了極大似然估計(jì)法（ML）以及矩估計(jì)法（MM）。本章的另一個(gè)重點(diǎn)是對(duì)樣本回歸函數(shù)能否代表總體回歸函

2、數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，即進(jìn)行所謂的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)包括兩個(gè)方面，一是先檢驗(yàn)樣本回歸函數(shù)與樣本點(diǎn)的“擬合優(yōu)度”，第二是檢驗(yàn)樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度。后者又包括兩個(gè)層次：第一，檢驗(yàn)解釋變量對(duì)被解釋變量是否存在著顯著的線性影響關(guān)系，通過變量的t檢驗(yàn)完成；第二，檢驗(yàn)回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度，通過參數(shù)估計(jì)值的“區(qū)間檢驗(yàn)”完成。本章還有三方面的內(nèi)容不容忽視。其一，若干基本假設(shè)。樣本回歸函數(shù)參數(shù)的估計(jì)以及對(duì)參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的分析以及所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷都是建立在這些基本假設(shè)之上的。其二，參數(shù)估計(jì)量統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的分析，包括小樣本性質(zhì)與大樣本性質(zhì)，尤其是無偏性、有效性與一致性構(gòu)成了對(duì)樣本估計(jì)

3、量?jī)?yōu)劣的最主要的衡量準(zhǔn)則。Goss-markov定理表明OLS估計(jì)量是最佳線性無偏估計(jì)量。其三，運(yùn)用樣本回歸函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，包括被解釋變量條件均值與個(gè)值的預(yù)測(cè)，以及預(yù)測(cè)置信區(qū)間的計(jì)算及其變化特征。二、典型例題分析例1、令kids表示一名婦女生育孩子的數(shù)目，educ表示該婦女接受過教育的年數(shù)。生育率對(duì)教育年數(shù)的簡(jiǎn)單回歸模型為（1）隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)包含什么樣的因素？它們可能與教育水平相關(guān)嗎？（2）上述簡(jiǎn)單回歸分析能夠揭示教育對(duì)生育率在其他條件不變下的影響嗎？請(qǐng)解釋。解答：（1）收入、年齡、家庭狀況、政府的相關(guān)政策等也是影響生育率的重要的因素，在上述簡(jiǎn)單回歸模型中，它們被包含在了隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之中。有些因素可能

4、與教育水平相關(guān)，如收入水平與教育水平往往呈正相關(guān)、年齡大小與教育水平呈負(fù)相關(guān)等。（2）當(dāng)歸結(jié)在隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關(guān)時(shí)，上述回歸模型不能夠揭示教育對(duì)生育率在其他條件不變下的影響，因?yàn)檫@時(shí)出現(xiàn)解釋變量與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)的情形，基本假設(shè)4不滿足。例2已知回歸模型，式中E為某類公司一名新員工的起始薪金（元），N為所受教育水平（年）。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的分布未知，其他所有假設(shè)都滿足。（1）從直觀及經(jīng)濟(jì)角度解釋和。（2）OLS估計(jì)量和滿足線性性、無偏性及有效性嗎？簡(jiǎn)單陳述理由。（3）對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)還能進(jìn)行嗎？簡(jiǎn)單陳述理由。解答：（1）為接受過N年教育的員工的總體平均起始薪金。當(dāng)

5、N為零時(shí)，平均薪金為，因此表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金。是每單位N變化所引起的E的變化，即表示每多接受一年學(xué)校教育所對(duì)應(yīng)的薪金增加值。（2）OLS估計(jì)量和仍滿足線性性、無偏性及有效性，因?yàn)檫@些性質(zhì)的的成立無需隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的正態(tài)分布假設(shè)。（3）如果的分布未知，則所有的假設(shè)檢驗(yàn)都是無效的。因?yàn)閠檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)是建立在的正態(tài)分布假設(shè)之上的。 例3、在例2中，如果被解釋變量新員工起始薪金的計(jì)量單位由元改為100元，估計(jì)的截距項(xiàng)與斜率項(xiàng)有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由年改為月，估計(jì)的截距項(xiàng)與斜率項(xiàng)有無變化？ 解答：首先考察被解釋變量度量單位變化的情形。以E*表示以百元為度量單位的薪金，

6、則由此有如下新模型或 這里，。所以新的回歸系數(shù)將為原始模型回歸系數(shù)的1/100。 再考慮解釋變量度量單位變化的情形。設(shè)N*為用月份表示的新員工受教育的時(shí)間長(zhǎng)度，則N*=12N，于是或 可見，估計(jì)的截距項(xiàng)不變，而斜率項(xiàng)將為原回歸系數(shù)的1/12。例4對(duì)于人均存款與人均收入之間的關(guān)系式使用美國36年的年度數(shù)據(jù)得如下估計(jì)模型，括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差：0.538（1）的經(jīng)濟(jì)解釋是什么？（2）和的符號(hào)是什么？為什么？實(shí)際的符號(hào)與你的直覺一致嗎？如果有沖突的話，你可以給出可能的原因嗎？（3）對(duì)于擬合優(yōu)度你有什么看法嗎？（4）檢驗(yàn)是否每一個(gè)回歸系數(shù)都與零顯著不同（在1%水平下）。同時(shí)對(duì)零假設(shè)和備擇假設(shè)、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值、其

7、分布和自由度以及拒絕零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行陳述。你的結(jié)論是什么？解答： （1）為收入的邊際儲(chǔ)蓄傾向，表示人均收入每增加1美元時(shí)人均儲(chǔ)蓄的預(yù)期平均變化量。 （2）由于收入為零時(shí)，家庭仍會(huì)有支出，可預(yù)期零收入時(shí)的平均儲(chǔ)蓄為負(fù)，因此符號(hào)應(yīng)為負(fù)。儲(chǔ)蓄是收入的一部分，且會(huì)隨著收入的增加而增加，因此預(yù)期的符號(hào)為正。實(shí)際的回歸式中，的符號(hào)為正，與預(yù)期的一致。但截距項(xiàng)為負(fù)，與預(yù)期不符。這可能與由于模型的錯(cuò)誤設(shè)定形造成的。如家庭的人口數(shù)可能影響家庭的儲(chǔ)蓄形為，省略該變量將對(duì)截距項(xiàng)的估計(jì)產(chǎn)生影響；另一種可能就是線性設(shè)定可能不正確。 （3）擬合優(yōu)度刻畫解釋變量對(duì)被解釋變量變化的解釋能力。模型中53.8%的擬合優(yōu)度，表明收

8、入的變化可以解釋儲(chǔ)蓄中53.8 %的變動(dòng)。（4）檢驗(yàn)單個(gè)參數(shù)采用t檢驗(yàn)，零假設(shè)為參數(shù)為零，備擇假設(shè)為參數(shù)不為零。雙變量情形下在零假設(shè)下t 分布的自由度為n-2=36-2=34。由t分布表知，雙側(cè)1%下的臨界值位于2.750與2.704之間。斜率項(xiàng)計(jì)算的t值為0.067/0.011=6.09，截距項(xiàng)計(jì)算的t值為384.105/151.105=2.54?？梢娦甭薯?xiàng)計(jì)算的t 值大于臨界值，截距項(xiàng)小于臨界值，因此拒絕斜率項(xiàng)為零的假設(shè)，但不拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè)。三、教材中部分習(xí)題2.1、為什么計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論方程中必須包含隨機(jī)干擾項(xiàng)？計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型考察的是具有因果關(guān)系的隨機(jī)變量間的具體聯(lián)系方式。由于是

9、對(duì)基變量，意味著影響被解釋變量的因素是復(fù)雜的除了解釋變量的影響外，還有其他無法在模型中獨(dú)立列出的各種因素的影響。這樣，模型中就必須使用一個(gè)隨機(jī)干擾項(xiàng)變量來代表所有這些在模型中無法獨(dú)立表示出來的影響因素。（或見第一章習(xí)題）2-2下列方程哪些是正確的？哪些是錯(cuò)誤的？為什么？ 其中帶“”者表示“估計(jì)值”。答：錯(cuò)；正；錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)；正，正，錯(cuò)。2.3、線性回歸模型有哪些基本假設(shè)？違背基本假設(shè)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型是否就不可估計(jì)？答：線性回歸模型的基本假設(shè)（實(shí)際是針對(duì)普通最小二乘法的基本假設(shè)）有兩大類：一類是關(guān)于解釋變量的，解釋變量是確定性變量，而且如果是隨機(jī)變量則解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)之間互不相關(guān)；一類是關(guān)于隨

10、即干擾項(xiàng)的，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有0均值和同方差；隨機(jī)誤差項(xiàng)在不同樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的，不存在序列相關(guān)；隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間不相關(guān)；隨機(jī)誤差項(xiàng)服從0均值、同方差的正態(tài)分布。違背基本假設(shè)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型還是可以估計(jì)的，只是不能使用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。2.4、線性回歸模型 的0均值假設(shè)是否可以表示為？為什么？（答：嚴(yán)格來說，隨機(jī)干擾項(xiàng)的0均值假設(shè)是關(guān)于X的條件期望為0，線性回歸模型：中的0均值假設(shè)不可以表示為：，因?yàn)榍罢弑硎救⊥晁目赡艿臉颖窘M合后的平均狀態(tài)，而后者只是一個(gè)樣本的平均值。）二者是兩個(gè)完全不同的概念。2.5、假設(shè)已經(jīng)得到關(guān)系的最小二乘估計(jì)，試回答：假設(shè)決定把X變量的計(jì)量單位擴(kuò)大10倍，

11、這樣對(duì)遠(yuǎn)回歸的斜率和截距有何影響？如果Y變量的單位擴(kuò)大10倍，又會(huì)怎樣？答：如果Y變量的計(jì)量單位擴(kuò)大10倍，斜率和截距系數(shù)都將為原始模型回歸系數(shù)的1/102.10、下面數(shù)據(jù)是對(duì)X和Y的觀察值得到的。Yi=1110； Xi=1680； XiYi=204200Xi2=315400； Yi2=133300假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設(shè)，要求：（1）b1和b2？（2）b1和b2的標(biāo)準(zhǔn)差？（3）r2？（4）對(duì)B1、B2分別建立95%的置信區(qū)間？利用置信區(qū)間法，你可以接受零假設(shè)：B2=0嗎？(解：， ， ， ，自由度為8，解得：的95%的置信區(qū)間。同理，解得：為的95%的置信區(qū)間。由于不在的置信區(qū)間

12、內(nèi)，故拒絕零假設(shè)：。2-11.表中列出中國1978-2000年的財(cái)政收入Y和國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP的統(tǒng)計(jì)資料。要求：1.作出散點(diǎn)圖（略）建立Y隨X變化的一元線性回歸方程，并解釋斜率的經(jīng)濟(jì)意義；2.對(duì)所建立的回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)；3.若2001年中國GDP為105709億元，求財(cái)政收入的預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)區(qū)間。答：1.，斜率的經(jīng)濟(jì)意義是：在1978-2000年間中國國內(nèi)生產(chǎn)總值每增加一億元，財(cái)政收入平均增加0.1198億元。2.在5%的顯著性水平下，自由度為23-2=21的t分布臨界值為2.08。因此從參數(shù)的t檢驗(yàn)值看，截距項(xiàng)和斜率項(xiàng)都顯著不為零。另外擬合優(yōu)度0.9609表明，財(cái)政收入的96%的變化可以由GDP的變化來解釋，擬合情況良好。3.當(dāng)2001