專題二十九--與圓有關(guān)的計算

1、1Best Wish For You 信心源自于努力信心源自于努力2345 結(jié)合近幾年中考試題分析，圓的有關(guān)計算的內(nèi)容考查結(jié)合近幾年中考試題分析，圓的有關(guān)計算的內(nèi)容考查主要有以下特點：主要有以下特點： 1.1.命題方式為弧長、扇形面積的相關(guān)計算，圓柱展開命題方式為弧長、扇形面積的相關(guān)計算，圓柱展開圖的相關(guān)計算，圓錐展開圖的相關(guān)計算，圓柱、圓錐的體圖的相關(guān)計算，圓錐展開圖的相關(guān)計算，圓柱、圓錐的體積的計算，題型多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)積的計算，題型多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). . 2. 2.命題的熱點為陰影部分面積的求法，立體圖形表面命題的熱點為陰影部分面積的求法，立體圖形表面最短距離的計

2、算最短距離的計算. .6 1. 1.本講知識通過作圖、識圖、閱讀圖形本講知識通過作圖、識圖、閱讀圖形, ,探索弧長、扇探索弧長、扇形及其組合圖形的面積計算方法和解題規(guī)律，正確區(qū)分圓形及其組合圖形的面積計算方法和解題規(guī)律，正確區(qū)分圓錐及側(cè)面展開圖中各元素的關(guān)系是解決本講問題的關(guān)鍵錐及側(cè)面展開圖中各元素的關(guān)系是解決本講問題的關(guān)鍵. . 2. 2.本講出現(xiàn)的面積的計算往往建立在不規(guī)則圖形上，本講出現(xiàn)的面積的計算往往建立在不規(guī)則圖形上，不易直接求出，因此，要將其轉(zhuǎn)化為與其面積相等的規(guī)則不易直接求出，因此，要將其轉(zhuǎn)化為與其面積相等的規(guī)則圖形進(jìn)行計算圖形進(jìn)行計算. .789101112131415弧長的計

3、算弧長的計算弧長的計算方法一般為：若弧對應(yīng)的圓心角為弧長的計算方法一般為：若弧對應(yīng)的圓心角為n n時，弧長時，弧長公公式為式為 ( (其中其中r r是圓的半徑是圓的半徑) )；當(dāng)然有時也可以根據(jù)弧所；當(dāng)然有時也可以根據(jù)弧所對的圓心角占整個圓周的比來計算相應(yīng)的弧長對的圓心角占整個圓周的比來計算相應(yīng)的弧長. .n r180l16【例例1 1】(2011(2011濱州中考濱州中考) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，B B9090，A=30A=30,AC,AC=4 cm=4 cm，將，將ABCABC繞頂點繞頂點C C順時針方向順時針方向旋轉(zhuǎn)至旋轉(zhuǎn)至ABCABC的位置，且的位置，且A A、C C、

4、BB三點在同一條直線三點在同一條直線上，則點上，則點A A所經(jīng)過的最短路線的長為所經(jīng)過的最短路線的長為( )( ) 168A 4 3 cm B 8 cm C cm D cm3317【思路點撥思路點撥】【自主解答自主解答】選選D.D.點點A A所經(jīng)過的最短路線所經(jīng)過的最短路線12048 cm.1803181.(20101.(2010福州中考福州中考) )一個圓錐的底面半徑為一個圓錐的底面半徑為6 cm6 cm，圓錐側(cè)，圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為面展開圖扇形的圓心角為240240，則圓錐的母線長為，則圓錐的母線長為( )( )(A)9 cm (B)12 cm (C)15 cm (D)18 cm(

5、A)9 cm (B)12 cm (C)15 cm (D)18 cm19【解析解析】選選A.A.圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面弧長，圓錐的圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面弧長，圓錐的底面周長為底面周長為2 26=12 (cm)6=12 (cm)，設(shè)圓錐的母線長為，設(shè)圓錐的母線長為x cm,x cm,則則 所以所以x=9.x=9.故選故選A.A.240 x12180，202.(20112.(2011綦江中考綦江中考) )如圖，如圖，PAPA、PBPB是是O O的的切線，切點是切線，切點是A A、B B，已知，已知P=60P=60，AO=3AO=3，那么那么AOBAOB所對弧的長度為所對弧的長度為( )(

6、 )(A)6 (B)5(A)6 (B)5(C)3 (D)2(C)3 (D)221【解析解析】選選D.D.因為因為PAPA、PBPB是是O O的切線，所以的切線，所以O(shè)AAPOAAP，OBBPOBBP，又因為，又因為P=60P=60，所以，所以AOB=120AOB=120，AOBAOB所所對弧的長度為對弧的長度為12032 .180 223.(20113.(2011紹興中考紹興中考) )一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4,4,圓圓心角為心角為9090的扇形，則此圓錐的底面半徑為的扇形，則此圓錐的底面半徑為_._.【解析解析】由題意可得圓錐的側(cè)面展開圖的圓弧的長為：由題意可

7、得圓錐的側(cè)面展開圖的圓弧的長為： 4 422，圓錐的底面周長為：圓錐的底面周長為：2r=2,r=1.2r=2,r=1.答案：答案：1 190180234.(20114.(2011聊城中考聊城中考) )如圖，圓錐如圖，圓錐的底面半徑的底面半徑OBOB為為10 cm,10 cm,它的側(cè)面它的側(cè)面展開圖的半徑展開圖的半徑ABAB為為30 cm30 cm，則這個，則這個扇形的圓心角扇形的圓心角的度數(shù)是的度數(shù)是_._.24【解析解析】設(shè)扇形的圓心角設(shè)扇形的圓心角的度數(shù)是的度數(shù)是n n，則，則2210=10=解得解得n n120.120.答案：答案：120120n30,18025扇形的面積扇形的面積扇形的

8、面積的計算方法一般有：扇形的面積的計算方法一般有：(1)(1)若扇形的弧所對的圓心角若扇形的弧所對的圓心角為為n n，則扇形的面積，則扇形的面積 (r(r為圓的半徑為圓的半徑) )；(2)S= (2)S= lr(r(l為扇形弧長，為扇形弧長，r r為圓的半徑為圓的半徑).).利用扇形的面積可以計算弓形的面積，當(dāng)扇形的圓心角為銳利用扇形的面積可以計算弓形的面積，當(dāng)扇形的圓心角為銳角時，弓形的面積等于扇形的面積減去扇形所含三角形的面角時，弓形的面積等于扇形的面積減去扇形所含三角形的面積；當(dāng)扇形的圓心角為鈍角時，弓形的面積等于扇形的面積積；當(dāng)扇形的圓心角為鈍角時，弓形的面積等于扇形的面積加上弓形所含

9、三角形的面積加上弓形所含三角形的面積. .2n rS3601226【例例2 2】(2010(2010珠海中考珠海中考) )如圖，如圖，O O的半徑等于的半徑等于1 1，弦，弦ABAB和和半徑半徑OCOC互相平分于點互相平分于點M.M.求扇形求扇形OACBOACB的面積的面積.(.(結(jié)果保留結(jié)果保留)27【思路點撥思路點撥】【自主解答自主解答】弦弦ABAB和半徑和半徑OCOC互相平分，互相平分，OCABOCAB，OM=MC= OM=MC= OC= OA OC= OA，在，在RtRtOAMOAM中，中，sinA= A=30sinA= A=30，又又OA=OBOA=OB，B=A=30B=A=30，A

10、OB=120AOB=120，S S扇形扇形1212OM1OA2 ，1201.3603285.(20105.(2010常德中考常德中考) )如果一個扇形的弧長等于它的半徑，如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為那么此扇形稱為“等邊扇形等邊扇形”，則半徑為，則半徑為2 2的的“等邊扇形等邊扇形”的面積為的面積為( )( )(A) (B)1 (C)2 (D)(A) (B)1 (C)2 (D)【解析解析】選選C.C.根據(jù)扇形的面積公式根據(jù)扇形的面積公式S= S= 可得可得S= S= 2 22=2.2=2.故選故選C.C.231R,2l12296.(20116.(2011泉州中考泉州中考) )如

11、圖，有一直徑為如圖，有一直徑為4 4的圓的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大圓心角為形鐵皮，要從中剪出一個最大圓心角為6060的扇形的扇形ABC.ABC.那么剪下的扇形那么剪下的扇形ABC(ABC(陰影部分陰影部分) )的的面積為面積為_；用此剪下的扇形鐵皮圍成一個；用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑圓錐，該圓錐的底面圓的半徑r r_._.30【解析解析】連接連接BC,BC,則得等邊則得等邊ABCABC，連接，連接OAOA，過點，過點O O作作O OACAC于點于點D D，則，則OADOAD3030，ADADCDCD，ODOD1,AO1,AO2 2，ADADACAC S S陰影陰影

12、 22，圓錐的底面周長為扇形的弧長，圓錐的底面周長為扇形的弧長，設(shè)底面半徑為設(shè)底面半徑為x x，則，則x= x= 22答案：答案：3，2 3，1622 31632 3,x.3 32 3317.(20117.(2011江津中考江津中考) )如圖，點如圖，點A A、B B、C C在直在直徑為徑為 的的O O上，上，BACBAC4545，則圖中陰，則圖中陰影部分的面積等于影部分的面積等于_.(_.(結(jié)果中保留結(jié)果中保留).).2 332【解析解析】連接連接OBOB、OCOC，則，則BOCBOC2BAC2BAC9090，所以陰影，所以陰影部部分的面積等于分的面積等于答案：答案：2OBCBOC90313

13、6SS33.36024扇形364338.(20108.(2010巴中中考巴中中考) )如圖所示，以六邊形的每一個頂點為如圖所示，以六邊形的每一個頂點為圓心，圓心，1 1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為_._.34【解析解析】設(shè)六邊形的六個內(nèi)角的度數(shù)分別為設(shè)六邊形的六個內(nèi)角的度數(shù)分別為n n1 1，n n2 2, , ,n n6 6，則，則n n1 1+n+n2 2+ +n+n6 6=(6=(62)2)180=720180=720，陰影部分面積為陰影部分面積為答案：答案：22612612n(nnn )nn7202 .360360360360360 35圓柱、圓

14、錐的側(cè)面積、全面積圓柱、圓錐的側(cè)面積、全面積圓柱和圓錐的側(cè)面積指的是它們的側(cè)面展開圖的面積圓柱和圓錐的側(cè)面積指的是它們的側(cè)面展開圖的面積, ,圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，展開矩形的長和寬分別是底面圓的的側(cè)面展開圖是矩形，展開矩形的長和寬分別是底面圓的周長和圓柱的高；而圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半周長和圓柱的高；而圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線的長，扇形的弧長是圓錐底面圓的周長；徑是圓錐的母線的長，扇形的弧長是圓錐底面圓的周長；圓柱、圓錐的全面積是它們的側(cè)面積和底面積的和圓柱、圓錐的全面積是它們的側(cè)面積和底面積的和. .36【例例3 3】(2010(2010銅仁中考銅仁中考)

15、 )如圖，已知在如圖，已知在O O中，中，AB= ACAB= AC是是O O的直徑，的直徑，ACBDACBD于于F F，ABD=60ABD=60. .(1)(1)求圖中陰影部分的面積；求圖中陰影部分的面積；(2)(2)若用陰影部分圍成一個圓錐側(cè)面，若用陰影部分圍成一個圓錐側(cè)面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑請求出這個圓錐的底面圓的半徑. .2 3，37【思路點撥思路點撥】38【自主解答自主解答】(1)(1)過點過點O O作作OEABOEAB于點于點E E，則則AE= AB=AE= AB=ABD=60ABD=60,ACBD,A=30,ACBD,A=30, ,在在RtRtAEOAEO中，中，cos3

16、0cos30= =又又OA=OB.ABO=30OA=OB.ABO=30.BOC=60.BOC=60. .ACBD, COD=BOC=60ACBD, COD=BOC=60, ,BOD=120BOD=120. .123.AE,OAAE3OA2.cos3032BCCD,22120OA1204S2.3603603陰影39(2)(2)設(shè)圓錐的底面圓的半徑為設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,r,則周長為則周長為2r.2r.12022 r2.r.1803 409.(20119.(2011寧波中考寧波中考) )如圖，如圖，RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，ACACBCBC 若把若把RtRtABCABC

17、繞邊繞邊ABAB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為的表面積為( )( )(A)4 (B)(A)4 (B)(C)8 (D)(C)8 (D)2 2，4 28 241【解析解析】選選D.D.由題意可得，所得幾何體為兩個倒扣的圓錐，由題意可得，所得幾何體為兩個倒扣的圓錐，圓錐的底面半徑為圓錐的底面半徑為 所以表面積所以表面積為為 故選故選D.D.22 2 cos452 22,222 228 2 .4210.(201010.(2010湖州中考湖州中考) )如圖，已知在如圖，已知在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90,AB=3,BC=5,AB=3,BC=

18、5,若把若把RtRtABCABC繞直線繞直線ACAC旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)一周，則所得圓錐的側(cè)面積等于所得圓錐的側(cè)面積等于( )( )(A)6 (B)9(A)6 (B)9(C)12 (D)15(C)12 (D)15【解析解析】選選D.D.圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面積=BC=BCAB=15.AB=15.4311.(201111.(2011德州中考德州中考) )母線長為母線長為2 2，底面圓的半徑為，底面圓的半徑為1 1的圓錐的圓錐的側(cè)面積為的側(cè)面積為_._.【解析解析】由題意可得，圓錐底面圓周長為由題意可得，圓錐底面圓周長為22，所以圓錐的，所以圓錐的側(cè)側(cè)面積為面積為 2 22=2.2=2.答案：答案：2

19、2124412.(201012.(2010鹽城中考鹽城中考) )已知圓錐的底面半徑為已知圓錐的底面半徑為3 3，側(cè)面積為，側(cè)面積為1515，則這個圓錐的高為，則這個圓錐的高為_._.【解析解析】因為圓錐的底面半徑為因為圓錐的底面半徑為3 3，所以底面周長為，所以底面周長為66，側(cè)面積為側(cè)面積為1515，所以圓錐的母線長為，所以圓錐的母線長為5 5，所以圓錐的高為，所以圓錐的高為4.4.答案：答案：4 44546與圓有關(guān)的陰影部分的計算與圓有關(guān)的陰影部分的計算在圓中的陰影部分幾何圖形，涉及的圖形較多并且較為復(fù)在圓中的陰影部分幾何圖形，涉及的圖形較多并且較為復(fù)雜，往往是一些基本圖形的結(jié)合體，因此在

20、解決此類圖形雜，往往是一些基本圖形的結(jié)合體，因此在解決此類圖形相關(guān)問題時，要善于分割圖形，結(jié)合圖形的基本性質(zhì)求解相關(guān)問題時，要善于分割圖形，結(jié)合圖形的基本性質(zhì)求解. .47【例例】(2010(2010寧波中考寧波中考) )如圖，如圖，ABAB是是O O的直徑，弦的直徑，弦DEDE垂直平分半徑垂直平分半徑OAOA，C C為垂足，弦為垂足，弦DFDF與半徑與半徑OBOB相交于點相交于點P P，連，連結(jié)結(jié)EFEF、EOEO，若，若DE= DPA=45DE= DPA=45. .(1)(1)求求O O的半徑；的半徑；(2)(2)求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積. . 2 3，48【思路點撥思路點

21、撥】49【自主解答自主解答】(1)(1)直徑直徑ABDE,CE= DE= ,ABDE,CE= DE= ,DEDE平分平分AOAO，CO= AO= OE.CO= AO= OE.又又OCE=90OCE=90,CEO=30,CEO=30, ,在在RtRtCOECOE中，中，O O的半徑為的半徑為2.2.1231212CE3OE2.cos303250(2)(2)連結(jié)連結(jié)OF.OF.在在RtRtDCPDCP中，中，DPC=45DPC=45, ,D=90D=90-45-45=45=45, ,EOF=2D=90EOF=2D=90, ,SS扇形扇形OEFOEF= = 2 22 2=,=,S SOEFOEF=

22、= OEOEOF= OF= 2 22=2,2=2,SS陰影陰影=S=S扇形扇形OEFOEF-S-SOEFOEF=-2.=-2.90360121251(2011(2011湖州中考湖州中考) )如圖，已知如圖，已知ABAB是是O O的的直徑，直徑，CDAB,CDAB,垂足為垂足為E E，AOC=60AOC=60，OCOC2.2.(1)(1)求求OEOE和和CDCD的長；的長；(2)(2)求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積. .52【解析解析】(1)(1)在在OCEOCE中，中，CEO=90CEO=90，EOCEOC6060，OCOC2,2,OEOE OCOC1,1,CECEOACD,OACD

23、,CE=DE,CE=DE,CD=CD=(2)S(2)SABCABC= AB= ABCECE 4 4 = =S S陰影陰影 2 22 2- =2- =2-123OC3.22 3.121232 3,122 32 3.531.(20101.(2010南京中考南京中考) )如圖，已知如圖，已知ABCDABCD的的對角線對角線BD=4 cmBD=4 cm，將，將ABCDABCD繞其對稱中心繞其對稱中心O O旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)180180，則點，則點D D所轉(zhuǎn)過的路徑長為所轉(zhuǎn)過的路徑長為( )( )(A)4 cm (B)3 cm (C)2 cm (A)4 cm (B)3 cm (C)2 cm (D) cm(D) c

24、m【解析解析】選選C.C.點點D D所轉(zhuǎn)過的路徑是以所轉(zhuǎn)過的路徑是以O(shè) O為圓心，為圓心，ODOD為半徑，為半徑，圓心角為圓心角為180180圓弧的弧長圓弧的弧長. .542.(20102.(2010無錫中考無錫中考) )已知圓錐的底面半徑為已知圓錐的底面半徑為2 cm2 cm，母線長，母線長為為5 cm5 cm，則圓錐的側(cè)面積是，則圓錐的側(cè)面積是( )( )(A)20 cm(A)20 cm2 2 (B)20 cm(B)20 cm2 2(C)10 cm(C)10 cm2 2 (D)5 cm(D)5 cm2 255【解析解析】選選C.C.因為圓錐的底面半徑為因為圓錐的底面半徑為2 cm2 cm，

25、所以其底面周，所以其底面周長為長為4 cm4 cm，因為圓錐的母線長為，因為圓錐的母線長為5 cm5 cm，所以圓錐的側(cè)面，所以圓錐的側(cè)面積為積為10 cm10 cm2 2. .563.(20103.(2010萊蕪中考萊蕪中考) )已知圓錐的底面半徑長為已知圓錐的底面半徑長為5 5，側(cè)面展開，側(cè)面展開后得到一個半圓，則該圓錐的母線長為后得到一個半圓，則該圓錐的母線長為( )( )(A)2.5 (B)5 (C)10 (D)15(A)2.5 (B)5 (C)10 (D)15【解析解析】選選C.C.由題意可得圓錐的底面周長等于側(cè)面展開后由題意可得圓錐的底面周長等于側(cè)面展開后半半圓的弧長，設(shè)圓錐的母線長為圓的弧長，設(shè)圓錐