二次函數(shù)典型例題解析與習(xí)題訓(xùn)練

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.二次函數(shù)a0a0 y 0 x y 0 x （1）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減?。?）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，3.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上

2、三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸以及最值，通常選擇頂點(diǎn)式. 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法：， 頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式： 拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故4.拋物線中，的作用（1） 決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大?。?0，開(kāi)口向上；0，開(kāi)口向上， 又y=x2x+m=x2x+（）2 +m=（x）2+ 對(duì)稱軸是直線x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，） （2）頂點(diǎn)在x軸上方， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，即0 m m時(shí)，頂點(diǎn)在x軸上方 （3）令x=0，則y=m 即拋物線y=x2x+m與y軸交點(diǎn)的

3、坐標(biāo)是A（0，m） ABx軸 B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m 當(dāng)x2x+m=m時(shí)，解得x1=0，x2=1 A（0，m），B（1，m） 在RtBAO中，AB=1，OA=m SAOB =OAAB=4 m1=4，m=8故所求二次函數(shù)的解析式為y=x2x+8或y=x2x8【點(diǎn)評(píng)】正確理解并掌握二次函數(shù)中常數(shù)a，b，c的符號(hào)與函數(shù)性質(zhì)及位置的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵之處 例2 已知：m，n是方程x26x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且mn，拋物線y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（0，n），如圖所示（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和BCD

4、的面積；（3）P是線段OC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸，與拋物線交于H點(diǎn)，若直線BC把PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】（1）解方程求出m，n的值用待定系數(shù)法求出b，c的值（2）過(guò)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)M，可求出DMC，梯形BDBO，BOC的面積，用割補(bǔ)法可求出BCD的面積 （3）PH與BC的交點(diǎn)設(shè)為E點(diǎn)，則點(diǎn)E有兩種可能：EH=EP， EH=EP 【解答】（1）解方程x26x+5=0， 得x1=5，x2=1 由mn，有m=1，n=5 所以點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，5）將A（1，0），B（0，5）的坐標(biāo)分別代入y=x2+bx+c， 得 解這個(gè)方程組，得

5、 所以拋物線的解析式為y=x24x+5 （2）由y=x24x+5，令y=0，得x24x+5=0 解這個(gè)方程，得x1=5，x2=1 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0），由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，得點(diǎn)D（2，9）過(guò)D作x軸的垂線交x軸于M，如圖所示 則SDMC=9（52）= S梯形MDBO=2（9+5）=14， SBDC =55= 所以SBCD =S梯形MDBO+SDMC SBOC =14+=15 （3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0） 因?yàn)榫€段BC過(guò)B，C兩點(diǎn)，所以BC所在的直線方程為y=x+5 那么，PH與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為E（a，a+5），PH與拋物線y=x2+4x+5的交點(diǎn)坐標(biāo)為H（a，a24a+5） 由題意

6、，得EH=EP，即 （a24a+5）（a+5）=（a+5） 解這個(gè)方程，得a=或a=5（舍去） EH=EP，得 （a24a+5）（a+5）=（a+5） 解這個(gè)方程，得a=或a=5（舍去） P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）或（，0）例3 已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2mx+與y=x2mx，這兩個(gè)二次函數(shù)的圖像中的一條與x軸交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)（1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)；（2）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），試求B點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，對(duì)于經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減??？ 【解答】（1）對(duì)于關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2mx+ 由于b24ac=（m）41=m22

7、0， 所以此函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 故圖像經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的二次函數(shù)為y=x2mx （2）將A（1，0）代入y=x2mx 得1+m=0 整理，得m22m=0 解得m=0或m=2 當(dāng)m=0時(shí)，y=x21令y=0，得x21=0 解這個(gè)方程，得x1=1，x2=1 此時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是B（1，0） 當(dāng)m=2時(shí)，y=x22x3令y=0，得x22x3=0 解這個(gè)方程，得x1=1，x2=3 此時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是B（3，0） （3）當(dāng)m=0時(shí)，二次函數(shù)為y=x21，此函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=0，所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=x22x3=（x1）24，此函數(shù)的圖像開(kāi)

8、口向上，對(duì)稱軸為x=1，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小【點(diǎn)評(píng)】本題是一道關(guān)于二次函數(shù)與方程、不等式有關(guān)知識(shí)的綜合題，但它仍然是反映函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式間的關(guān)系，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，這類綜合題并不難解決課堂習(xí)題一、填空題1右圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c和一次函數(shù)y2=mx+n的圖像，觀察圖像寫(xiě)出y2y1時(shí)，x的取值范圍_2已知拋物線y=a2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，7），B（6，7），C（3，8），則該拋物線上縱坐標(biāo)為8的另一點(diǎn)的坐標(biāo)是_3已知二次函數(shù)y=x2+2x+c2的對(duì)稱軸和x軸相交于點(diǎn)（m，0），則m的值為_(kāi)4若二次函數(shù)y=x24x+c的圖像與x軸只有

9、1個(gè)交點(diǎn)，則c=_ 5已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）與（1，4），則a+c的值是_6甲，乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為P，羽毛球飛行的水平距離s（m）與其距地面高度h（m）之間的關(guān)系式為h=s2+s+如下左圖所示，已知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5m，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為m，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則m的取值范圍是_ 7 二次函數(shù)y=x22x3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為_(kāi)8杭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價(jià)格y（元/m2）隨樓層數(shù)x（樓）的變化而變化（x=1，2，3，4，5

10、，6，7，8），已知點(diǎn)（x，y）都在一個(gè)二次函數(shù)的圖像上（如上右圖），則6樓房子的價(jià)格為_(kāi)元/m2二、選擇題9二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列關(guān)系式不正確的是（ ）Aa0 Ca+b+c0 (第9題) (第12題) (第15題)10已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像過(guò)點(diǎn)A（1，2），B（3，2），C（5，7）若點(diǎn)M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像上，則下列結(jié)論中正確的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y30）交x軸A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0） （1

11、）求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，你能 判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；18如圖所示，m，n是方程x26x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且mn，拋物線y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（0，n） （1）求這個(gè)拋物線的解析式； （2）設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線 的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和BCD的面積； （3）P是線段OC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸，與拋物線交于點(diǎn)H，若直線BC把 PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)19某地計(jì)劃開(kāi)鑿一條單向行駛（從正中通過(guò)）的隧道，其截面是拋物線拱形ACB，而且能通過(guò)最寬3m，最高3.5m的廂式貨車按規(guī)定，機(jī)動(dòng)車通過(guò)隧道時(shí)車身距隧道壁的水平距離和鉛直距離最小都是0.5m為設(shè)計(jì)這條能使上述廂式貨車恰好完全通過(guò)的隧道，在圖紙上以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線拱形的表達(dá)式，隧道的跨度AB和拱高OC20已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像過(guò)如圖所示三點(diǎn) （1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2） 平行