開題報告書-金融畸形波的數(shù)學(xué)模型及求解-改

1、.題 目：金融畸形波的數(shù)學(xué)模型與求解學(xué)院： 理學(xué)院 專業(yè)： 信息與計算科學(xué) 學(xué)生XX： 訾垚垚 學(xué)號：12274060文獻綜述：一 孤立波的概念和研究歷史1834年英國工程師J.S.Russell騎馬在愛丁堡附近的一條運河旁看見兩匹馬拉著一條船在運河中快速行駛著,當這條船突然停頓時,河道中因船前進所推動的水團并沒有停頓，而是在船頭附近產(chǎn)生了一個光滑的、像小山包一樣的水波。這個水波最初大約30英尺長，1至1.5英尺高，離開船頭后以每小時8-9英里的速度向前運動,并且它的形狀和速度保持不變。他騎馬追出了1-2英里后才看到這個水波的高度逐漸減少, 最后在運河的一個拐彎處消失掉。1844年9月他在英國

2、科學(xué)促進會第14次會議上作了"Report on waves"的報告,生動形象地描述了他所觀察到的現(xiàn)象1.之后他在實驗室里進展了許多實驗,也觀察到了這樣的水波,并稱之為孤立波(Solitary waves).這是公認的有關(guān)孤立波的首次報道。從那以后，許多人都嘗試通過建立其數(shù)學(xué)模型從理論上來解釋這種現(xiàn)象，但一直末獲成功。直到1895年,荷蘭阿姆斯特丹大學(xué)的著名教授Korteweg和他的學(xué)生de Vries2仔細研究了淺水波運動,在長波近似和小振幅假定下建立了單向運動的淺水波運動方程,才解決了這個問題。但當時對孤立波的認識還不夠全面，有許多問題仍無法答復(fù)。如孤立波是否穩(wěn)定;兩個

3、孤立波碰撞后波速和波形是否改變;孤立波是否存在于流體以外的其他領(lǐng)域.20世紀50年代,Fermi,Pasta和Ulam提出了著名的FPu問題.1965年,美國Princeton大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家Martin D.Kruskal和NormanJ.Zabusky3從連續(xù)統(tǒng)一體的觀點出發(fā)解釋了FPu間題中的現(xiàn)象.在連續(xù)的情況下,FPu間題近似地可用KdV方程來描述.他們對KdV方程兩個波速不同的孤波解進展數(shù)學(xué)模擬,他們發(fā)現(xiàn)兩個孤立波碰撞后,不改變波形和傳播速度。由于這兩個孤立波的碰撞是彈性碰撞,又類似于粒子,因此他們稱之為孤立子.孤立子有時也稱為孤立波,它是指一大類非線性偏微分方程的許多具有特殊性質(zhì)的

4、解,以及與之相應(yīng)的物理現(xiàn)象。具體來說，孤立波解只存在于非線性色散方程之中，亦即非線性與色散是孤立波存在的必要條件。色散是指波的傳播速度與波的頻率和波長有關(guān)，它導(dǎo)致波包散開，而非線性卻導(dǎo)致波陣面卷縮，兩者共同作用的結(jié)果便形成穩(wěn)定的波包，即孤立波。這些波具有的物理性質(zhì)是(l)能量比擬集中于狹小的區(qū)域;(2)兩個孤立子相互作用時出現(xiàn)彈性散射現(xiàn)象,即波形和波速能恢復(fù)到最初。這準確地提醒了孤立波的本質(zhì).。之后,很多領(lǐng)域的科研工作者都開場對孤立子進展研究,許多關(guān)于孤立子的專著也相繼問世?，F(xiàn)在孤立子理論的研究已經(jīng)滲透到了很多領(lǐng)域,如物理學(xué)的許多分支(根本粒子，凝聚態(tài)物理，流體物理，等離子物理，超導(dǎo)物理，激光

5、物理，生物物理，大氣物理等)，生物學(xué)，天文學(xué)，化學(xué)，天文學(xué)，光學(xué)，海洋學(xué)等等。二 畸形波簡介畸形波rogue wave又被稱作奇異波(freak wave)，巨型波(giant wave)，怪物波(monster wave)或者殺手波killer wave等。這種波是由于在傳播過程中其非線性和色散的相互作用而產(chǎn)生的?，F(xiàn)在，畸形波還沒有唯一的定義，但是一種波被稱作畸形波意味著這種波的高度H即波峰到波谷的距離或者波峰高度c從海平面到波峰的距離超過了某一確定閥值，這一值與海洋類型有關(guān)。大體而言，巨型波的通用標準是H > 2Hs 或 c > 1.5Hs，這里Hs指有效波的高度。英國科學(xué)家D

6、raper4于1965年首次在科學(xué)文獻中提出畸形波freak rouge waves的概念之后，這一現(xiàn)象引起了非線性科學(xué)領(lǐng)域的研究者的關(guān)注，例如海洋學(xué)，非線性光學(xué)，BoseEinstein凝聚，大氣學(xué)，甚至金融領(lǐng)域。自20世紀六七十年代起，海洋學(xué)家便開場相信怪波的存在。科學(xué)家們與歐洲航天局，德國航空航天中心以及其他幾個歐洲的研究機構(gòu)合作，在1991年和1995年發(fā)射雷達衛(wèi)星用于測量波高。1995年元旦，XX中某一石油平臺承當了激光測量波浪高度的任務(wù)，并成功記錄了一個波高約26米的巨波，這證明了怪波的存在。2000年，科學(xué)家們在布雷斯特聚會，制定方案在全球X圍內(nèi)追蹤怪波的現(xiàn)象，用雷達衛(wèi)星進展怪波

7、探測，這一方案被稱作MaxWave。對于怪波，由于觀測條件的限制，人類至今還沒有完全了解這種現(xiàn)象，科學(xué)家們一直沒有對怪波事件達成共識，既不能給其下定義，也不能計算怪波發(fā)生的概率。目前對怪波的研究狀態(tài)根本上是初步的，并且是欠深入的。怪波可以被認為是自孤子以后，在非線性科學(xué)領(lǐng)域掀起的又一場新的“非線性科學(xué)革命。2007年，Solli,Ropers,Koonath等人9在Nature期刊上發(fā)表了研究成果。在分析非線性光纖中超連續(xù)譜的產(chǎn)生過程時，在特定波長處觀察到了某些幅度特別高的峰值，他們將其與海洋中的畸形波類比，稱之為“光學(xué)畸形波optical rogue waves.在非線性光學(xué)中，非線性薛定諤

8、方程可以很好的描述單模光纖中光孤子的傳播行為，而且可以傳播無限長的距離而不會有信息失真和波形畸變，具有很高的傳輸碼率。光學(xué)畸形波與海洋畸形波在形態(tài)和成因方面均有一定的相似性，而光學(xué)領(lǐng)域的研究可以在更為便利的實驗環(huán)境和條件下開展，其研究結(jié)果對海洋中的畸形波研究具有較高的參考價值 11 。三 金融畸形波介紹近年來的研究說明，畸形波現(xiàn)象在金融領(lǐng)域也存在。2021年，Yan 12首次給出了非線性期權(quán)定價模型的金融畸形波financial rouge wave解。這個模型可以代替非線性波的Black-Scholes 模型的期權(quán)定價模型。這些怪波解可以被用來描述金融市場及相關(guān)領(lǐng)域的怪波現(xiàn)象的物理機制。自從

9、期權(quán)交易產(chǎn)生以來，尤其是股票期權(quán)交易產(chǎn)生以來，學(xué)者們即一直致力于對期權(quán)定價問題的探討。1973年，美國芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black和Myron Scholes發(fā)表"期權(quán)定價與公司負債"13一文，提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價模型，在學(xué)術(shù)界和實務(wù)界引起強烈的反響。與此同時，MIT 的教授 Merton 也獨立地提出了一樣的模型。14這個模型已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注并在金融數(shù)學(xué)和金融工程中開啟了一個新的研究領(lǐng)域。BlackScholes模型可以被廣泛用于歐式期權(quán)的定價，但是不能用在其他國家期權(quán)的定價，例如美式期權(quán)和亞洲期權(quán)，因為他無法將這類期權(quán)的運動特征

10、或運動軌跡的相關(guān)性涵蓋進來。B-L公式告訴我們，期權(quán)價格是時間，股票價格和波動的函數(shù)，經(jīng)歷主義的研究說明公式計算得出的價格與觀察價格非常接近。然而，也有證據(jù)說明，基于波動是常量這一假設(shè)的B-L模型，無法解釋波動率偏離現(xiàn)象。為了更準確的給衍生品定價，一些研究人員宣稱，根據(jù)長期的數(shù)據(jù)觀察，波動會隨著執(zhí)行價格和時間而變化。如果假定波動是一個隨機過程而非固定值，他們建立一個包含二維擴散過程，波動以及期權(quán)價格的新模型，并且更能解釋經(jīng)歷主義觀察結(jié)果。不過，這個新模型距離代表復(fù)雜的現(xiàn)實金融市場還很遠，并且當在市場受到一些沖擊時，無法很好的預(yù)測期權(quán)價格。為了使B-L期權(quán)定價公式能更有效地適應(yīng)于不同的金融市場，

11、人們對它進展了很多方面的開展。 基于現(xiàn)代適應(yīng)性市場假設(shè)、 Elliott 波市場理論和量子神經(jīng)系統(tǒng)計算等理論，2021 年，澳大利亞學(xué)者 Ivancevic 提出用非線性的期權(quán)定價模型，即非線性 Schrodinger 方程來描述金融市場波動性的變化規(guī)律。為了滿足有效行為市場和他們必要的非線性復(fù)雜性，這里( S , t )表示期權(quán)價格波動函數(shù)，分布頻率系數(shù)是波動的(他是常量或者隨機過程)，Landau系數(shù)=(r,w)代表自適應(yīng)市場的潛在需求量。15四 研究內(nèi)容及價值論文中我們分析了耦合非線性波動，并研究了Ivancevic近期提出的期權(quán)定價模型。得出的結(jié)論是，股票波動和股票收益存在負相關(guān)性，并

12、且股票波動可以被當做一種耦合非線性波動用于替代BlackScholes期權(quán)定價模型。我們用解析的方法分析了耦合非線性波動的矢量金融畸形波和不含w-learning 的期權(quán)定價公式。此外，我們通過選取不同的參數(shù)展示了他們的動態(tài)行為。研究的結(jié)果可能在解釋一些實際的金融風暴中起到重要作用例如1997亞洲金融危機和現(xiàn)在的全球金融危機。此外，這些結(jié)果可能會進一步刺激相關(guān)研究，在金融市場和其他相關(guān)的非線性科學(xué)領(lǐng)域，矢量金融畸形波現(xiàn)象也有潛在的應(yīng)用價值研究方案：本論文主要基于非線性偏微分方程求解方法，探討金融畸形波的數(shù)學(xué)模型與求解。通過閱讀相關(guān)文獻，運用所學(xué)的微分方程根底知識，完成金融畸形波數(shù)學(xué)模型的研究，

13、設(shè)計求解算法并對畸形波進展模擬。首先，我們會總結(jié)有關(guān)文獻，對金融畸形波產(chǎn)生的背景，原理進展介紹；然后，針對金融市場中的價格問題，我們會給出具體的數(shù)學(xué)模型來描述金融畸形波，最后求解該模型并用計算機進展模擬。該論文會在金融畸形波的數(shù)學(xué)建模上進展詳細的分析，能推導(dǎo)具體求解過程，對方程解給出對應(yīng)金融解釋，最后進展計算機模擬，并通過選取不同的參數(shù)展示他們的動態(tài)行為。主要參考文獻：1Russell J S. Report on waves. Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Scienc

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