北京理工大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)5 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、精選文檔實(shí)驗(yàn)5 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析1、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 掌握拉普拉斯變換及其反變換的定義，并掌握MATLAB實(shí)現(xiàn)方法。2. 學(xué)習(xí)和掌握連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的定義及復(fù)頻域分析方法。3. 掌握系統(tǒng)零極點(diǎn)的定義，加深理解系統(tǒng)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)特性的關(guān)系。2、 實(shí)驗(yàn)原理與方法1. 拉普拉斯變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換定義為 拉普拉斯反變換定義為 在MATLAB中，可以采用符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱的laplace函數(shù)和ilaplace函數(shù)進(jìn)行拉氏變換和反拉氏變換。L=laplace(F)符號(hào)表達(dá)式F的拉氏變換，F(xiàn)中時(shí)間變量為t，返回變量為s的結(jié)果表達(dá)式。L=laplace(F,t)用t替換結(jié)果中的變量s。F=

2、ilaplace(L)以s為變量的符號(hào)表達(dá)式L的拉氏反變換，返回時(shí)間變量為t的結(jié)果表達(dá)式。F=ilaplace(L,x)用x替換結(jié)果中的變量t。除了上述ilaplace 函數(shù)，還可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆變換，具體原理如下：當(dāng) X (s)為有理分式時(shí)，它可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比：式（3）可以用部分分式法展成一下形式 通過查常用拉普拉斯變換對(duì)，可以由式（1-2）求得拉普拉斯逆變換。利用 MATLAB 的residue 函數(shù)可以將 X (s)展成式（1-2）所示的部分分式展開式，該函數(shù)的調(diào)用格式為：r,p,k = residue(b,a) 其中b、a 為分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量，r、p、k

3、 分別為上述展開式中的部分分式系數(shù)、極點(diǎn)和直項(xiàng)多項(xiàng)式系數(shù)。2. 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的拉氏變換 此外，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)還可以由系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉氏變換之比得到 單位沖激響應(yīng)反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)，而從復(fù)頻域反映了系統(tǒng)的固有性質(zhì)。由式（6）描述的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為s的有理函數(shù) 3.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的零點(diǎn)是指式（7）的分子多項(xiàng)式為零的點(diǎn)，極點(diǎn)指使分母多項(xiàng)式為零的點(diǎn)，零點(diǎn)使系統(tǒng)的值為零，極點(diǎn)使系統(tǒng)函數(shù)的值無窮大。通常將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)繪在s平面上，零點(diǎn)用表示，極點(diǎn)用表示，這樣得到的圖形稱為零極點(diǎn)的分布圖。由零極點(diǎn)的定義可知，零

4、點(diǎn)和極點(diǎn)分別指式（7）的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的根。利用MATLAB求多項(xiàng)式的根可以通過函數(shù)roots來實(shí)現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：r=roots(c) c為多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回值r為多項(xiàng)式的根向量。分別對(duì)式（7）的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式求根即可得到零極點(diǎn)。此外，在MATLAB中還提供了更簡便的方法來求取零極點(diǎn)和繪制系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖，即利用pzmap函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：pzmap(sys)繪出由系統(tǒng)模型sys描述的系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。p,z=pzmap(sys) 這種調(diào)用方法返回極點(diǎn)和零點(diǎn)，而不繪出零極點(diǎn)分布圖。其中sys為系統(tǒng)傳函模型，由t命令sys=tf(b,a)實(shí)現(xiàn)，b、a為

5、傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量。MATLAB還為用戶提供了兩個(gè)專用函數(shù)tf2zp和zp2tf來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型和零極點(diǎn)增益模型的轉(zhuǎn)換，其調(diào)用格式為：z,p,k=tf2zp(b,a) b,a=zp2tf(z,p,k)其中b、a為傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回值z(mì)為零點(diǎn)列向量，p為極點(diǎn)列向量，k為系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)形式的增益。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（1）已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng),輸入信號(hào)，是采用復(fù)頻域的方法求解系統(tǒng)的響應(yīng)，編寫MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)。使用卷積定理求解，先分別求的拉氏變換然后根據(jù)式（6）求出輸出，最后對(duì)進(jìn)行拉普拉斯反變換即可得到系統(tǒng)的響應(yīng)。MATLAB程序如下：syms

6、t;h=heaviside(t)-heaviside(t-2);x=heaviside(t);H=laplace(h);X=laplace(x);F=X.*H;f=ilaplace(F);f=ilaplace(F)f = t - heaviside(t - 2)*(t - 2)故系統(tǒng)響應(yīng)為（2） 已知因果連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別如下，試采用MATLAB畫出其零極點(diǎn)分布圖，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下:a = 1 2 2 1;b = 1;sys = tf(b,a);pzmap(sys);r,p,k = residue(b,a);syms sH = 1/(

7、s3+2*s2+2*s+1);h = ilaplace(H);impulse(sys);b = 1;a = 1 2 2 1;H,w = freqs(b,a);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H);xlabel(omega(rad/s);ylabel(Magnitude);title(|H(jomega)|);grid on;subplot(2,1,2);plot(w,angle(H);xlabel(omega(rad/s);ylabel(Phase);title(phi(omega);grid on;p= -1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000

8、- 0.8660iz = Empty matrix: 0-by-1系統(tǒng)沒有零點(diǎn)，極點(diǎn)為p=-1，-0.50.866i；系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖r = 1.0000 + 0.0000i -0.5000 - 0.2887i -0.5000 + 0.2887ip = -1.0000 + 0.0000i -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660ik = 由此得到依據(jù)基本拉式變換對(duì)可以得到 頻響曲線為：頻率響應(yīng)：b=1;a=1 2 2 1;H w=freqs(b,a);subplot(211);plot(w,abs(H);xlabel(omega(rad/s);ylabel(Magni

9、tude);title(|X(jomega)|);grid on;subplot(212);plot(w,angle(H);xlabel(omega(rad/s);ylable(Phase);title(phi(omgea);由于該因果系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都位于S 平面的左半平面，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下:a = 5 2 -3 3 3 2;b = 1 0 1;sys = tf(b,a);pzmap(sys);r,p,k = residue(b,a)r = 0.1277 + 0.0000i -0.0341 - 0.0492i -0.0341 + 0.0492i -0.0298

10、- 0.1226i -0.0298 + 0.1226ip = -1.1803 + 0.0000i 0.7391 + 0.6886i 0.7391 - 0.6886i -0.3489 + 0.4586i -0.3489 - 0.4586ik = 由此得到b = 1 0 1;a = 5 2 -3 3 3 2;H,w = freqs(b,a);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H);xlabel(omega(rad/s);ylabel(Magnitude);title(|H(jomega)|);grid on;subplot(2,1,2);plot(w,angle(H);xlabe

11、l(omega(rad/s);ylabel(Phase);title(phi(omega);grid on;由于該因果系統(tǒng)的所有極點(diǎn)不全位于S 平面的左半平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（3）已知連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)位置分別如下所示（設(shè)系統(tǒng)無零點(diǎn)），試用MATLAB繪制6中不同情況下，系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖，并繪制相應(yīng)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形，觀察并分析系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)位置對(duì)沖激響應(yīng)時(shí)域特性的影響。p=0MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下：syms t;b=1;a=1 0;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym(1/(s) );ht=ilaplace(hs);sub

12、plot(212);ezplot(ht);p=-2MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下：syms t;b=1;a=1 2;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym(1/(s+2) );ht=ilaplace(hs);subplot(212);p=2MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下：syms t;b=1;a=1 -2;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym(1/(s-2) );ht=ilaplace(hs);subplot(212);ezplot(ht);MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下：syms t;b=1;a=1

13、 0 4;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);hs=sym(1/(s2+4) );ht=ilaplace(hs);subplot(212);ezplot(ht);MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下：b=1;a=1 2 17;sys=tf(b,a);subplot(211);pzmap(sys);f=sym(1/(s2+2*s+17)F=ilaplace(f)subplot(212);syms t;ezplot(F)axis(-7 5 -50 100)圖像如下：MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下：b=1;a=1 -2 17;sys=tf(b,a);subplot(21

14、1);pzmap(sys);f=sym(1/(s2-2*s+17)F=ilaplace(f)subplot(212);syms t;ezplot(F)axis(-5 7 -100 50) 由以上六例，可以總結(jié)出，在無零點(diǎn)的情況下：當(dāng)極點(diǎn)唯一且在原點(diǎn)時(shí)，h(t)為常數(shù)；當(dāng)極點(diǎn)唯一且是負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，h(t)為遞減的指數(shù)函數(shù)；當(dāng)極點(diǎn)唯一且是正實(shí)數(shù)時(shí)，h(t)為遞增的指數(shù)函數(shù)；當(dāng)H（s）有兩個(gè)互為共軛的極點(diǎn)時(shí)，h(t)有一sint因子；當(dāng)H（s）有兩個(gè)互為共軛的極點(diǎn)且他們位于右半平面時(shí)，h(t)還有一et因子；當(dāng)H（s）有兩個(gè)互為共軛的極點(diǎn)且他們位于左半平面時(shí)，h(t)還有一e-t因子；（4） 已知3個(gè)連

15、續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù) 上述三個(gè)系統(tǒng)具有相同的極點(diǎn)，只是零點(diǎn)不同，試用MATLAB分別繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖及相應(yīng)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形，觀察并分析系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)位置對(duì)沖激響應(yīng)時(shí)域特性的影響。MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下：syms t;b=1;a=1 2 17;sys=tf(b,a);p,z=pzmap(sys);subplot(121);pzmap(sys);title(零極點(diǎn)圖);hs=sym(1/(s2+2*s+17) );ht=ilaplace(hs);subplot(122);ezplot(ht);title(沖激響應(yīng)h(t);MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下：syms t;b=1 8;a=1 2

16、 17;sys=tf(b,a);p,z=pzmap(sys);subplot(211);pzmap(sys);title(零極點(diǎn)圖);hs=sym(s+8)/(s2+2*s+17) );ht=ilaplace(hs);subplot(212);ezplot(ht);title(沖激響應(yīng)h(t);MATLAB程序及運(yùn)行結(jié)果如下：syms t;b=1 -8;a=1 2 17;sys=tf(b,a);p,z=pzmap(sys);subplot(211);pzmap(sys);title(零極點(diǎn)圖);hs=sym(s+8)/(s2+2*s+17) );ht=ilaplace(hs);subplot(212);