醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué). 正態(tài)分布及其應(yīng)用

1、.頻數(shù)分布表、圖頻數(shù)分布表、圖分組劃計(jì)分組劃計(jì)原始資料原始資料分布分布類型類型算術(shù)均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差幾何均數(shù)與對(duì)數(shù)值幾何均數(shù)與對(duì)數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)差的反對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的反對(duì)數(shù)中位數(shù)與四分位數(shù)間距中位數(shù)與四分位數(shù)間距不對(duì)稱不對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱1. 流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)系流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)系何保昌何保昌.3.4此圖的縱坐標(biāo)為頻率，橫坐標(biāo)為肺活量，稱此圖為頻率直方圖此圖的縱坐標(biāo)為頻率，橫坐標(biāo)為肺活量，稱此圖為頻率直方圖每一個(gè)直方條的面積每一個(gè)直方條的面積=頻率，各組段的頻率之和頻率，各組段的頻率之和=1，所以這個(gè)直方，所以這個(gè)直方圖的面積為圖的面積為1如果樣本量越大，每個(gè)組段的頻率就越穩(wěn)定，也就趨向概率。如果樣

2、本量越大，每個(gè)組段的頻率就越穩(wěn)定，也就趨向概率。由此我們可得到由此我們可得到:隨機(jī)抽一個(gè)隨機(jī)抽一個(gè)9歲男孩歲男孩,其肺活量落在各個(gè)組段的概率其肺活量落在各個(gè)組段的概率.5假定各組段的概率如下假定各組段的概率如下15.005.010.0)L15.2L89.1(0666.00333.00333.0)L15.2(0417.0)L11.1L98.0(肺活量肺活量肺活量PPP由此可知由此可知: :如果一個(gè)區(qū)間由若干組段構(gòu)成如果一個(gè)區(qū)間由若干組段構(gòu)成, ,計(jì)算肺活量落在計(jì)算肺活量落在某個(gè)區(qū)間的概率等于計(jì)算這個(gè)區(qū)間的中各個(gè)直方條圖的面某個(gè)區(qū)間的概率等于計(jì)算這個(gè)區(qū)間的中各個(gè)直方條圖的面積之和積之和. .只能計(jì)

3、算給定區(qū)間概率只能計(jì)算給定區(qū)間概率, ,不能計(jì)算任意區(qū)間概率不能計(jì)算任意區(qū)間概率. .對(duì)于上述直方圖對(duì)于上述直方圖, ,組距越小組距越小, ,組段越多組段越多, ,能夠計(jì)算的概率區(qū)能夠計(jì)算的概率區(qū)間就越多間就越多, ,當(dāng)組距逐漸減小當(dāng)組距逐漸減小, ,上述計(jì)算方法仍然成立上述計(jì)算方法仍然成立. .7 隨人數(shù)逐漸增多，組段不斷分隨人數(shù)逐漸增多，組段不斷分細(xì)，則頻數(shù)分布圖中的直條逐漸變細(xì)，則頻數(shù)分布圖中的直條逐漸變窄，就會(huì)逐漸形成一條高峰位于中窄，就會(huì)逐漸形成一條高峰位于中央央(均數(shù)所在處均數(shù)所在處)、兩側(cè)逐漸降低且左、兩側(cè)逐漸降低且左右對(duì)稱、不與橫軸相交的光滑曲線右對(duì)稱、不與橫軸相交的光滑曲線,

4、 ,近似于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線。近似于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線。 .8 在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域中，許多變量的頻在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域中，許多變量的頻數(shù)分布是中間數(shù)分布是中間( (靠近均數(shù)處靠近均數(shù)處) )頻數(shù)多，兩邊頻數(shù)多，兩邊頻數(shù)少，且左右對(duì)稱。如頻數(shù)少，且左右對(duì)稱。如這種變量的頻數(shù)分布這種變量的頻數(shù)分布規(guī)律可用概率論中的一種重要的隨機(jī)變規(guī)律可用概率論中的一種重要的隨機(jī)變量分布量分布正態(tài)分布正態(tài)分布(Normal distribution)(Normal distribution)加加以描述。以描述。 .9.10 正態(tài)分布曲線呈對(duì)稱的鐘形，正態(tài)分布曲線呈對(duì)稱的鐘形，在均數(shù)處最高，兩側(cè)逐漸低下，兩在均數(shù)處最高，兩

5、側(cè)逐漸低下，兩端在無(wú)窮遠(yuǎn)處與橫軸無(wú)限接近。端在無(wú)窮遠(yuǎn)處與橫軸無(wú)限接近。 若變量若變量 x 的頻率曲線對(duì)應(yīng)于數(shù)的頻率曲線對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線，則稱該變量學(xué)上的正態(tài)分布曲線，則稱該變量服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。 .11正態(tài)分布曲線的密度函數(shù)為：正態(tài)分布曲線的密度函數(shù)為： -X X+ 與與X范圍內(nèi)曲線下的面積相等，各占范圍內(nèi)曲線下的面積相等，各占50%；.16曲線下在區(qū)間曲線下在區(qū)間(，)的面積為的面積為68.27%，曲線下在區(qū)間曲線下在區(qū)間(1.64，1.64)的面積為的面積為90%，曲線下在區(qū)間曲線下在區(qū)間(1.96，1.96)的面積為的面積為95%，曲線下在區(qū)間曲線下在區(qū)間(2.58，

6、2.58)的面積為的面積為99%。.1768.27%士士范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的68.2768.27，也，也就是說(shuō)有就是說(shuō)有68.2768.27的變量值分布在此范圍內(nèi)。的變量值分布在此范圍內(nèi)。.18士士1.641.64范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的9090，也就是，也就是說(shuō)有說(shuō)有9090的變量值分布在此范圍內(nèi)。的變量值分布在此范圍內(nèi)。5%5%90%.192.5%2.5%95%士士1.961.96范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的9595，也就是說(shuō)有也就是說(shuō)有9595的變量值分布在此范圍內(nèi)。的變量值分布在

7、此范圍內(nèi)。.200.5%0.5%99%士士2.582.58范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的范圍內(nèi)的面積占正態(tài)曲線下面積的9999，也就是說(shuō)有也就是說(shuō)有9999的變量值分布在此范圍內(nèi)。的變量值分布在此范圍內(nèi)。.21曲線下的面積的計(jì)算曲線下的面積的計(jì)算 對(duì)于任意一個(gè)區(qū)間的曲線下面積，在知道變對(duì)于任意一個(gè)區(qū)間的曲線下面積，在知道變量值量值x對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)f (x)后，都可以后，都可以根據(jù)微積分的方法求出其面積的大小根據(jù)微積分的方法求出其面積的大小 ()( )d?baF xP axbf xx ()( )d?baF xP axbf xx.22實(shí)際工作中，常需要了解正態(tài)曲實(shí)際工作中，常

8、需要了解正態(tài)曲線下橫軸上某一區(qū)間的面積占總線下橫軸上某一區(qū)間的面積占總面積的百分?jǐn)?shù)，以便估計(jì)該區(qū)間面積的百分?jǐn)?shù)，以便估計(jì)該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分?jǐn)?shù)（頻數(shù)的例數(shù)占總例數(shù)的百分?jǐn)?shù)（頻數(shù)分布）或觀察值落在該區(qū)間的概分布）或觀察值落在該區(qū)間的概率。對(duì)于不同的參數(shù)率。對(duì)于不同的參數(shù)和和會(huì)產(chǎn)會(huì)產(chǎn)生不同位置、不同形狀正態(tài)分布，生不同位置、不同形狀正態(tài)分布，（x1，x2）范圍內(nèi)的面積也不同，）范圍內(nèi)的面積也不同，計(jì)算起來(lái)很麻煩。計(jì)算起來(lái)很麻煩。.23為了計(jì)算方便，對(duì)于正態(tài)或近似正態(tài)為了計(jì)算方便，對(duì)于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料，只要得出均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)分布的資料，只要得出均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成求標(biāo)差，可

9、通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下橫軸自準(zhǔn)正態(tài)曲線下橫軸自-到到z的面積。的面積。為了便于應(yīng)用，統(tǒng)計(jì)學(xué)家按為了便于應(yīng)用，統(tǒng)計(jì)學(xué)家按(z)編編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積表，制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積表，由此表可查出曲線下某區(qū)間的面積，由此表可查出曲線下某區(qū)間的面積，這樣就可對(duì)符合正態(tài)分布資料的頻這樣就可對(duì)符合正態(tài)分布資料的頻數(shù)分布作出估計(jì)。數(shù)分布作出估計(jì)。 三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.241. 標(biāo)準(zhǔn)化變換標(biāo)準(zhǔn)化變換 若若 x 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N ( ， 2) ，則，則 z就就服從均數(shù)為服從均數(shù)為0、標(biāo)準(zhǔn)差為、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，這種正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或這

10、種正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或 z 分分布，記為布，記為 N (0，12)，這一變換也稱為標(biāo)這一變換也稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換準(zhǔn)化變換。xZ.25N(,2)N（0，1）從一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布從一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布.26 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為221()2ZXe .27對(duì)上式求積分可得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量對(duì)上式求積分可得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z的分布函的分布函數(shù)。數(shù)。由于積分計(jì)算繁瑣，統(tǒng)計(jì)學(xué)家按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布由于積分計(jì)算繁瑣，統(tǒng)計(jì)學(xué)家按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)的累積概率分布函數(shù) (-Z)編制了附表編制了附表2（P315），標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積，由表），標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

11、分布曲線下的面積，由表可查出曲線下某區(qū)間的面積?？刹槌銮€下某區(qū)間的面積。.280Z.29標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表-2.62Z=-2.62z0.00 0.01 0.02-3.00.00130.00130.0013-2.90.00190.00180.0018-2.80.00260.00250.0024-2.70.00350.00340.0033-2.60.00470.00450.0044-2.50.00620.00600.0059Standardized Normal Probability Table(p261)P=0.0044概率概率.30查附表查附表2時(shí)注意事項(xiàng)：時(shí)注意事項(xiàng)：曲線下

12、橫軸上的總面積為曲線下橫軸上的總面積為100%或或1；表中曲線下面積為表中曲線下面積為-到到Z的面積；的面積；對(duì)于服從正態(tài)分布的變量對(duì)于服從正態(tài)分布的變量x，先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)，先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換（化變換（ ），然后借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分），然后借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得到任意布表可得到任意(x1, x2)范圍內(nèi)的面積或范圍內(nèi)的面積或頻數(shù)比例。頻數(shù)比例。XZ.31圖4.7 查表法求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積示意圖Z1 Z2.計(jì)算正態(tài)曲線下面積實(shí)例計(jì)算正態(tài)曲線下面積實(shí)例例例 4.21 已知已知z1=-1.76，z2=-0.25，欲求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)下，欲求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)下（-1.76 ， -0.25)范圍的面積。范圍的面積。 查表查表(-

13、1.76)=0.0392 ；(-0.25)=0.4013 則則D=(-0.25)- (-1.76)=0.3621(-z)-1z)(0z0z2性，即，可利用正態(tài)分布對(duì)稱對(duì)于查；范圍內(nèi)面積，可以直接中，對(duì)于在附表.例例4.22已知已知z1=-1.20，z2=1.60，欲求標(biāo)準(zhǔn)正，欲求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)下（態(tài)下（-1.20 ， 1.60)范圍的面積。范圍的面積。 查表查表(-1.20)=0.1151 ；(1.60)=1-0.0548=0.9452則則 D=(1.60)-(-1.20)=0.8301.曲線下面積分布規(guī)律曲線下面積分布規(guī)律標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 面積或概率面積或概率 -11 -

14、1.64-1.64 1.64 68.27% 90% -1.961.96 1.96 95% -2.582.58 2.58 99% .35.36.37.3811.2001.6721.580.298z 21.5001.6720.580.298z 21()( )0.28100.05710.223922.39%zzD .39.40.41.42 .43 單側(cè)下限單側(cè)下限-過(guò)低異常過(guò)低異常 單側(cè)上限單側(cè)上限-過(guò)高異常過(guò)高異常 雙側(cè)雙側(cè)-過(guò)高、過(guò)低均異常過(guò)高、過(guò)低均異常 單側(cè)下限單側(cè)下限異常異常正常正常單側(cè)上限單側(cè)上限異常異常正常正常 異常異常正常正常雙側(cè)下限雙側(cè)下限雙側(cè)上限雙側(cè)上限異常異常.44 XZSXZ

15、SXZS1lglglg()xxXZS.45表表4.6 參考值范圍的制定參考值范圍的制定 .46 X.47XX.48正常人病人假陽(yáng)性率假陰性率病人.49X.501.641.6721.640.2981.183(L)XS.51.52.536 .43)263%95282(110 .80 .40)%95(L959595fnfiLP.54正常人病人假陽(yáng)性率假陰性率 .55.56XX樣本編號(hào)、取樣時(shí)間XXX.57.5.如何判斷一組數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布：如何判斷一組數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布：1. 根據(jù)文獻(xiàn)報(bào)道根據(jù)文獻(xiàn)報(bào)道 例如：文獻(xiàn)報(bào)道中學(xué)生的體重、肺活量服從正態(tài)例如：文獻(xiàn)報(bào)道中學(xué)生的體重、肺活量服從正態(tài)分布，則可沿用文獻(xiàn)的作法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。分布，則可沿用文獻(xiàn)的作法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。2. 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或?qū)I(yè)知識(shí)判斷：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或?qū)I(yè)知識(shí)判斷： 例如：根據(jù)專業(yè)知識(shí)，同性別健康成人的紅細(xì)胞例如：根據(jù)專業(yè)知識(shí)，同性別健康成人的紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白含量、脈搏數(shù)都近似正態(tài)分布，而正數(shù)、血紅蛋白含量、