斐波那契數(shù)列-維基百科,自由的百科全書

1、斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科個書httpy/zhA/wiki/ 波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科個書條口討論人陸簡體漢m創(chuàng)建新賬戶3住錄閱讀編糾住石切史斐波那契數(shù)列m 維基百科，自由的百科全韋首頁分類索引特色內容新聞動態(tài)最近更改隨機條目播助幫助社區(qū)專頁方針與指引互助客棧詢何處字詞轉換IRC即時聊天聯(lián)系我們關于維基百科資助維基百科工具箱鏈入頁面相關更改上傳文件轉殊頁面打印版本永久鏈接頁面借息數(shù)據(jù)項引用本頁其他語言oAzarbaycancaBbJirapcKw費波那I兒I數(shù)列(意大利in: Successione di

2、Fibonacci) , 乂譯費 波拿契數(shù)、叟波那契數(shù)列、費氏數(shù)列、黃金分割效列。在數(shù)學上，費波那西數(shù)列是以遞歸的方法來定義： 7)= 0斤=1 Fn = F»i + Fn_2用文字來說，就是費波那西數(shù)列山o和1開始，之后的費波那西 系數(shù)就曲之前的兩數(shù)相加。首兒個費波那西系數(shù)是(OEIS A000045 ):K方形0, 1, 1,2, 3,5, 8, 13,21,34, 55,89, 144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765, 10946特別指出：0不是第一項，而是第零項。Bosa nski Catala Cesky Dansk Deutsch

3、EAAqviKd English Esperanto Espanol Eesti Euskara A川 Suomi FrariQais GaeilgeGaelg nniy目錄隱藏1源起2表達式2.1初等代數(shù)解法2丄1首先構建等比數(shù)列2.1.2求出數(shù)列2.13求數(shù)列進而得到 2.2線性代數(shù)解法2.2.1構建一個矩陣方程2.2.2求矩陣的特征值：223輅征向業(yè)2.2.4分解首向量2.2.5用數(shù)學歸納法證明2.2.6化簡矩陣方程2.2.7求A的表達式2.3近似值2.4用計算機求解3和黃金分割的關系4和自然的關系5恒等式6相關的數(shù)列6.1和盧代斯數(shù)列的關系6.2反費波那西數(shù)列63巴都萬數(shù)列6 4循環(huán)數(shù)

4、列7應用8相關猜想9程序參考10參考文獻11參見12外部鏈接httpy/zhA/wiki/ 波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科，自由的百科全書HrvatskiMagyar UJjbpbLBahasa Indonesia islen skaItaliano 口本語 QaraqalpaqshaKa3aiQua 社舌q Latina Lietuxuq LatvieSu MaKeOHCKM源起刪根據(jù)高徳納(Donald Ervin Knuth)的計算機稗序設計為術(The Art Of ComputerProgramming) , 1150年

5、印度數(shù)學家GopHa和金月在研究箱子包裝物件長闊剛好為1和2的町行方法 數(shù)目時，兇先描述這個數(shù)列。在西方，最先研究這個數(shù)列的人是比薩的列奧那多(又名費波那 西)，他描述兔子生長的數(shù)目時用上了這數(shù)列。第一個月初有一對剛誕生的兔子第二個月之后(第三個月初)它們町以生育每月毎對可生育的兔了會誕生下一對新兔了兔子永不死去假設在n月有可生育的兔子總共:>對，n+1月就總共有b對。在n+2月必定總共有j+b對：因為在n+2)1的 時候，前一月(n+1月)的b對兔子町以存留至第n+2月(在當月屬于新誕生的兔子尚不能生育)。而MoHronBahasa Melayu Nederla nds Norsk n

6、ynorsk Norsk bokmal Polski Piemontdis Portugues Romana PyccKWW Sicilianu新生育出的兔子對數(shù)等于所有在n月就已存在的a對表達式編刪為求得斐波那契數(shù)列的一般表達式，町以借助線性代數(shù)的方法。高中的初等數(shù)學知識也能求出。 初等代數(shù)解法編料已知 Q = 1 «2 = 1=Gn-1 + 4i_2Simple English Slovendma Slovenscina ShqipCpncxM srpski Svenska首先構建等比數(shù)列【編純設兀 + aan_! = (an_i + aa-2) 化簡得= (0 Q)5_l 十

7、a0CLn_2比較系數(shù)可得：(0 - Q = 1luuTagalogTurkleYkpaiHCbKa O'zbckcha TijngViet West-VlamsWinaray/編輯鏈接筒=1不妨設0 >0,a >0解得:(廬_1J Q _ 2-所以有尙 + aan_i =+ aa_2)> wan + aa為等比數(shù)列。求出數(shù)列s+aai【編紺】由以上可得：如+1 + aa.n = 2 + QQjb"=0n變形得：也吐1 + 2.巴=丄。令bn =字0n+l 十 000護求數(shù)列仇進而得到仏【編輯際+1 +許=b設，解得。故數(shù)列為等比數(shù)列http:zh.wiki

8、pedia.or"wiki/斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科全書http: zhA/wiki/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科全書Q九+1 + 入=（ + 入） A =PQ + 0bn + 入=1.故有http: zhA/wiki/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科全書構建一個矩陣方程編輯設為第n個月有生育能力的兔f數(shù)最，A.為這一月份的兔子數(shù)啟。0 11 1上式表達了兩個月之間，兔

9、了數(shù)目之間的關系。而耍求的是，A”的表達式。求矩陣的持征值：入編啊行列式：-A*U-A)1*1-A2-A-1當行列式的值為0,解得入廣1(1 + %)或入2丄(1 一 V5)2 2特征向量編輯將兩個持征值代入(;)一入)"()求特征向雖云得http: zhA/wiki/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科全書http: zhA/wiki/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科全書分解首向量編輯第一個月的情況是兔了一對，新生0對。http:

10、zhA/wiki/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科全書http: zhA/wiki/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科全書http: zhA/wiki/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:20斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科命書將它分解為用特征向用數(shù)學歸納法證明編輸httpy//wBci/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:201斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科

11、命書httpy//wBci/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:201斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科命書化簡矩陣方程醐用httpy//wBci/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:201斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科命書httpy//wBci/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:201斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科命書求A的表達式編粕現(xiàn)在在6的基礎上，可以很快求出的表達式，將兩個特征值代入6中1Ar1±1/z丄V/5兀+1_（;（1_蟲）嚴1htt

12、py//wBci/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:201斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科命書httpy//wBci/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:201斐波那契數(shù)列維慕百科.自由的百科命書近似值編幼百（1 + %）" Q 0.4472135955 1.618033988745"用計算機求解赭用可通過編程觀察斐波那契數(shù)列。分為兩類問題，一種已知數(shù)列中的某一項，求序數(shù)。第二種是已知序 數(shù)，求該項的值?？赏ㄟ^遞歸遞推的算法解決此兩個問題。事實上當n相當巨大的時候，O (n)的遞推/遞

13、歸非常 慢這時候要用到矩陣加速這一技巧。和黃金分割的關系編輸開普勒發(fā)現(xiàn)數(shù)列前、后兩項之比1/2 ,2/3,3/5 ,5/8 ,8/13 ,13/21 ,21/34 ,.，也組成了一個數(shù)列,會趨 近黃金分割：q a = - (1 H- =卩 u 1,618.Jn/斐波那契數(shù)亦可以用連分數(shù)來表示：?=岸？=1+丄1 1 2 1+|Fn =而黃金分割數(shù)亦町以用無限連分數(shù)表示:和自然的關系編輯許多的生物構成都和斐波那契數(shù)列有正相關。例如人體從腳底至頭頂之距離和從肚臍至腳底之距趟 近于上畏,向H葵的種了螺旋排列99%是凡。flTOO r(n-l)恒等式編相證明以下的恒等式有很多方法。以下會用組合論述來證

14、明。以表示成用多個1和多個2相加令其 和等于mat不失一般也 我們假設"1。凡+1是訃算了將1和2加到n的方法的數(shù)目。若第一個被加 數(shù)是1,有凡種方法來完成對nl的計算；若第一個被加數(shù)是2,冇F (n-1)來完成對n2的計算。丙 此，共有幾+凡“種方法來計算n的值。凡+盡 +尺十 A + +凡=耳+2 - 1計算用多個1和多個2相加令艮和等于n+1的方法的數(shù)目，同時最后一個加數(shù)是2的情卅如前所述，當n口0,有耳乜種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用2,就即1 + 1 + . + 1(n+1項)，于是我們從幾+2滅去1。1. 若第1個被加數(shù)是2,有個方法來計算加至"1的

15、方法的數(shù)目；2. 若第2個被加數(shù)是2、第1個被加數(shù)是1,宵個方法來計算加至n-2的方法的數(shù)目。3. 重復以上動作。4. 若第n4_l個被加數(shù)為2,它之前的被加數(shù)均為1,就有F (0)個方法來計算加至0的數(shù)目。 若該數(shù)式包含2為被加數(shù)，2的首次出現(xiàn)位氏必然在第1和n+1的被加數(shù)之間。2在不同位置的情況都考 慮到后，得出尸門+凡+尺為要求的數(shù)目。 -F1 + 2局 + 3/3 + - + 允幾=允 £i+2 Fn+3 + 2 Fl + E + 盡 + . + F271-I = F2nE + 兄 +尺 + + 尺 Ji = 2n+l 1 + + 凡 2 = FnFn+l相關的數(shù)列型費波那兩

16、數(shù)列是費波那兩n步數(shù)列步數(shù)為2的特殊情況，也和盧卡斯數(shù)列有關。和盧卡斯數(shù)列的關系編料反費波那西數(shù)列編卅反費波那西數(shù)列的遞歸公式如下：Gn+2 = Gn Gn+1如果它以11,之后的數(shù)是：1-12-3,5,-8,. 即是用n+1 = 2+1, F2n = 一。反費波那兩數(shù)列兩項之間的比會趨近一丄=-0 618。9httpy//wBci/ 斐波那契數(shù)列2013/10/25 15:46:201斐波那契數(shù)列維慕百科，自由的百科全書巴都萬數(shù)列m費波那西數(shù)列可以用一個接一個的正方形來表現(xiàn)，巴郁萬數(shù)列則是用一個接一個的等邊三角形來表 現(xiàn)，它啟幾=幾一2+E-3的關系。循環(huán)數(shù)列

17、編輯Cn+2=Cn+1-Cn設首項為0,第項為X,則形成數(shù)列0XX,0,X<XAX»X»0,X,X。呈現(xiàn)六個為一組的 循環(huán)。應用編鞫1970年，尤里馬季亞謝維奇指出了個角標的斐波那契函數(shù)y = F2x正是滿足Julia Robison假設的丟番圖函數(shù)，因而證明了希爾伯特第卜問題是不可解的。相關猜想編輯斐波那契數(shù)列中是否存在無窮多個索數(shù)？在斐波那契數(shù)列中，有素數(shù):2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597,28657, 514229, 433494437, 2971215073,99194853094755497, 1066340417491710595814

18、572169, 19134702400093278081449423917目前已知最大索數(shù)是第81839個斐波那契數(shù)，一共有17103位數(shù)。程序參考編料function fib(n)(var fib_n - function(curr, next z n)( if (n = 0) return curr; else return fib_n(nextz curr-next, n 1); return fib_n(Q, 1, n);alert(fib(40);參考文獻編輯 KNUTH. D. E 1997. The Art of Computer ProgrammmgArt of Computer Programming Volume 1: Fundamental Algorithms. Third Edition AddisonWesley Chapter 1.2.8克里福德A皮科夫.數(shù)學之戀.湖南科技出版社.參見編刪齊肯多夫定