信號(hào)與線性系統(tǒng)題解第二章

1、第二章習(xí)題答案收集自網(wǎng)絡(luò)2.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)如圖P2.1(a)所示。試畫出以下各信號(hào)的波形圖，并加以標(biāo)注。(a) x(t 2)(b) x(1 t)(c) x(2t 2)(2)根據(jù)圖P2.1(b)所示的信號(hào)h(t)，試畫出以下各信號(hào)的波形圖，并加以標(biāo)注。(a) h(t 3)(b) h(| 2)(c) h(1 2t) 根據(jù)圖P2.1(a)和(b)所示的x(t)和h(t)，畫出以下各信號(hào)的波形圖，并加以標(biāo)注。 x(t)h( t)(b) x(1 t)h(t 1)(c) x(2?h(t 4)Q)tb)圖 P2.1解：(1)各信號(hào)波形如以下圖所示：2-1Z1t10 12 3Q2|*x(t 2)21

2、(a)0A x(1 t)A x(2t 2)021 12/I'(b)(c)r 1J12/5 4 3 2 10 02 4 6 8廠20 1 1 92 2(2)各信號(hào)波形如以下圖所示:tt(c)(c)2.2 信號(hào)x(52t)的波形圖如圖P2.2所示,試畫出x(t)的波形圖，并加以標(biāo)注。解：波形如以下圖所示:H(52t)圖 P2.2x(52t) 1t1嚴(yán)t)IL0132532 20 1 2 3 4 5 6_2.3(1)離散時(shí)間信號(hào) x(n)如圖P2.3(a)所示，試畫出以下各信號(hào)的波形圖，并加以標(biāo)注。x(4n)(b)x(2 n1)?(n)x(-), n(c)30,其他n對(duì)圖P2.3(b)所示的

3、信號(hào)h(n)，試畫出以下個(gè)信號(hào)的波形，并加以標(biāo)注。(a) h(2 n)(b) h(n 2)(c) h(n 2) h( n 1) 根據(jù)圖P2.3(a)和(b)所示的x(n)和h(n)，畫出以下各信號(hào)的波形圖，并加以標(biāo)注。x(n2)h(12n)(b)x(1n)h( n4)(c)x(n1)h( n3)111 <* * 1110 12 3 4解:(1)(a)(b)各信號(hào)波形圖如以下圖所示:1/2圖 P2.3x(4 n)2 10 12 3 4(a)4 X>)0 12 32 10 12 3(c)(b)各信號(hào)波形圖如以下圖所示:(I3/2Aa+2)23/21/23 4 5 6 - n(a)-2-

4、1 0 1 3 #J 沁 -1¥*6-54；3才 I n I 1 -2-1 01 2« _1廠乜(b)6T T T T T TT T3 -W *5 4 3 2 1 01 212C1*2h(n 2) h(1 n)3各信號(hào)波形如以下圖所示:x(n 2)h(1 2n) 3/2x(1 n)h (n 4)23/21 “1/.2* 1 21。1 -1/ 21/2 3/4(a)1/410 12 3(b)x(n 1)h( n 3)1/2UL-0 12 3121/214 5 6 73/2(c)2.4(b)圖 P2.4(a)解:(b)2Zl0d x(t)(d)n'1Xe(n)1卜 f

5、4卜i1 x°(n)一-n4321一 n2 1 ()12 3 4* * 012 3 4"1t 1* 4f12.5 X(n)如圖P2.5所示，設(shè):yi(n)y2( n)x(2 n)x( n/2), n偶0, n奇畫出yi(n)和 y(n)的波形圖。Ax( n)圖 P2.5解:n4it*>2旳3)24pK4ir11肚* <I121。J£w_r R ii5-42 0216s2.6判斷以下說法是否正確？如果正確，那么求出每個(gè)信號(hào)基波周期之前的關(guān)系，如果不正確，那么舉出一個(gè)反例。(1) (a)假設(shè)x(t)是周期的，那么x(2t)也是周期的。(b) 假設(shè)x(2t)

6、是周期的，貝U x(t)也是周期的。(c) 假設(shè)x(t)是周期的，貝U x(t/2)也是周期的。(d) 假設(shè)x(t/2)是周期的，貝U x(t)也是周期的。x(n/2), n偶(2) 定義 yi(n) x(2 n), y2(n)六0, n可(a) 假設(shè)x(n)是周期的，貝U y1(n)也是周期的。(b) 假設(shè)yi(n)是周期的，那么x(n)也是周期的。(c) 假設(shè)x(n)是周期的，那么y2(n)也是周期的。(d) 假設(shè)y2(n)是周期的，那么x(n)也是周期的。解：(1)正確。假設(shè)x(t)的周期為T,那么x(2t)的周期為T/2。(b) 正確。假設(shè)x(2t)的周期為T，那么x(t)的周期為2T

7、。(c) 正確。假設(shè)x(t)的周期為T，那么x(t/2)的周期為2T。(d) 正確。假設(shè)x(t/2)的周期為T ,那么x(t)的周期為T/2。x(n /2),n偶(2)由 yi(n)x(2n), y2(n)0, n可(a) 正確。設(shè)x(n)的周期為N。如果N為偶數(shù)，那么(n)的周期為N/2 ；如果N為奇數(shù)，那么必須有2No 2N ,才能保證周期性，此時(shí)yi(n)的周期為N。 N。(b) 不正確。設(shè) x(n) g(n) h(n),其中 g(n) sin -，對(duì)所有 n ,n奇h(n) 3顯然x(n)是非周期的，但 (n)是周期的。0, n偶(c) 正確。假設(shè)x(n)的周期為N，那么y2(n)的周

8、期為2N。(d) 正確。假設(shè)y2(n)的周期為N，貝U N只能是偶數(shù)。x(n)的周期為N/2。2.7判斷以下各信號(hào)是否是周期信號(hào)，如果是周期信號(hào)，求出它的基波周期。x(t)2cos(3t/4)(b)x(n)cos(8 n/72)(c)x(t)ej( t o(d)x(n)ej(n/8 )(e)x(n)(n 3m)m 0(n 1 3m)(f)x(t)cos2 t u(t)(g) x(n) cos(n/4)cos( n/4)(h)x(t)Ev cos2 t u(t)(i) x(t) Ev cos(2t/4)u(t)(j)x(n)2cos( n/4) sin( n/8) 2sin( n/2/6)解：(

9、a)x(t)2cos(3t/4)，2周期信號(hào)，T。3(b)x(n)cos(8 n/72)，8周期信號(hào)，107N7(c)x(t)ej( t °，周期信號(hào),T 2。(d)x(n)ej(n/8 )，非周期信號(hào)，因?yàn)椤?2是無理數(shù)。(e) x(n)(nm3m)(n 13m)，設(shè)周期為N，那么有x(n N)m(n N3m) (nN 1 3m)，令 N 3k，( k 為整數(shù))那么 x(n 3k)mn3(m k)n 13(m k)，令 m k l 那么有x(n 3k)mn 3ln 13l顯然，x(n)是周期信號(hào)，其周期為N 3。(f) x(t)cos2 t u(t)，非周期信號(hào)。(g) . cos

10、n是非周期的，x(n)是非周期信號(hào)。41(h) x(t) Ev cos2 t u(t) (cos2 t) u(t) (cos2 t) u( t),周期的，周期 T 1。(i) x(t) Ev cos(2 t /4) u(t),非周期信號(hào)。(j) x(n)是周期信號(hào)，其周期就是cos 、in 和sin 的公共周期。4826周期為N 16。2.8 (a)設(shè)x(t)和y(t)都是周期信號(hào)，其基波周期分別為T1和T2。在什么條件下，和式x(t) y(t)是周期的？如果該信號(hào)是周期的，它的基波周期是什么？(b)設(shè)x(n)和y(n)都是周期信號(hào)，其基波周期分別為 弘和N?。在什么條件下，和式 x(n) y

11、(n)是周期的？如果該信號(hào)是周期的，它的基波周期是什么？解：(a) : x(t)， y(t)是周期的，x(t kT1)x(t) ， y(t遷)y(t)令f(t) x(t) y(t)，欲使f(t)是周期的，必須有s(tTJx(t To)y(tTo)x(t) y(t)f(t)T,lT。 kT, IT?即一1 一，其中k,l為整數(shù)。T2k這說明：只要x(t)和y(t)的周期之比一1是有理數(shù)，T2x(t)y(t)就疋疋周期的。其基波周期T0是,乙的最小公倍數(shù)。(b)x(n)和y(n)是周期的，x(nNi) x(n), y(n N2) y(n)令f(n)x(n) y(n)，欲使f(n)是周期的，必須有N

12、o kN, mN2(k,m為整數(shù))即N,1m N1gcd(N1, N2)N,N2kN2gcd(N1, N2)N2.n；與N2無公因子，mn1, k N2N0 N2NN1N2/gcd(N1,N2)2.9畫出以下各信號(hào)的波形圖：(a) x(t) (2 et)u(t)(b) x(t) e1 cos10 t u(t 1) u(t 2)2.10解:2(c) x(t) u(t 9)2(d) x(t) (t 4)圖 PS2.9，求:信號(hào)x(t)sintu t0(c)d2x(t)(b) X2(t)tx( )dh)f (-20 2(d)(a)捲dt2 x(t)解:dx(t) dtcost utu tsi ntt

13、tcost utu t2d x(t) dt2si ntu tu tcostttsi ntu tu tt|cos0t|cossi ntu tu tttd2M)昭x(t)x(t)(t) (t)x(t) sint u t u t(b) X2(t)x( )d2.11計(jì)算以下各積分：(a)si nt(t)dt(c)(t3t2)(t 1)dt(e)e()dt0t 01 cost 0 t2 t(b) e t (t 2)dt(d) u(t ?(t to)dt1 2(f)1 (t 4)dt解：(b)sint (t )dt sin 12 2et (t 2)dt e ( 2)e2(t to)dt u(to殳)(c)

14、同(b), 4(d) u(t )(e) e ( )dt e01(f) 02.12根據(jù)本章的討論，一個(gè)系統(tǒng)可能是或者不是：瞬時(shí)的；時(shí)不變的；線性的； 因果的；穩(wěn)定的。對(duì)以下各方程描述的每個(gè)系統(tǒng)，判斷這些性質(zhì)中哪些成立，哪些 不成立，說明理由。(a)y(t)ex(t)(b)y(n)x(n)x(n1)(c)y(n)x(n2)2x( n 17)(d)y(t)x(t 1)x(1 t)(e)y(t)x(t)sin 6t(f)y(n)nx(n)0,t 00,x(t) 0(g)y(t)(h) y(t)x(t)x(t 100),t0x(t)x(t 100), x(t) 0(i)y(n)x(2 n)(j)y(t)

15、 x(t/2)解：無記憶。輸出只決定于當(dāng)時(shí)的輸入。非線性。： ° eX't)e") y1(t)y2(t) y"t) y2(t)時(shí)不變。：ex(t to)y(t t0)因果。-無記憶系統(tǒng)必然是因果的。穩(wěn)定。丁 當(dāng) |x(t)|M 時(shí)，|y(t)| |exex(t)eM。(b) 記憶。：輸出不只決定于當(dāng)時(shí)的輸入。時(shí)不變。x(n n0)x(n n0 1) y(n n0)。因果。：輸出只與當(dāng)時(shí)和以前的輸入有關(guān)。穩(wěn)定。當(dāng)x(n)有界時(shí)，x(n 1)也有界，從而y(n)必有界。(c) 記憶。1 y x( 1) 2x( 16)，輸出與以前的輸入有關(guān)。時(shí)不變。x(nn0)

16、x(nn02)2x(nn017) y(nn0)。?線性。T系統(tǒng)滿足可加性和齊次性。因果。：輸出只和以前的輸入有關(guān)。穩(wěn)定。：當(dāng)x(n)有界時(shí)，y(n)定有界。(d) 記憶。一y(0) x( 1)x(1)，輸出與以前和以后的輸入有關(guān)。時(shí)變。-令y(t)ydt) y2(t)，其中y/t) x(t 1)是時(shí)不變的，而y2(t)x(1 t)是時(shí)變系統(tǒng)整個(gè)系統(tǒng)是時(shí)變的。線性。t系統(tǒng)滿足可加性和齊次性。非因果。y2(t)x(1 t)是非因果的。穩(wěn)定。x(t)有界時(shí),x(t 1)和x(1 t)都有界，從而y(t)必有界。(e) 無記憶。：y(t)只與當(dāng)時(shí)的輸入有關(guān)。時(shí)變。一 (sin6t)x(t t0) y(

17、t t0)sin6(t t0) x(t t0)線性。一系統(tǒng)滿足可加性和齊次性。因果。一無記憶系統(tǒng)必定是因果的。穩(wěn)定。：sin6t有界，當(dāng)x(t)有界時(shí)，y(t)必有界。(f) 無記憶。一 y(n)只與當(dāng)時(shí)的輸入有關(guān)。時(shí)變。- nx(n n0)y(n n0) (n n0)x(n n0)。線性。系統(tǒng)滿足可加性和齊次性。因果。：無記憶系統(tǒng)必定是因果的。不穩(wěn)定。x(n)有界但n 時(shí)，y(n) 。(g) 記憶。：y(0)x(0) x( 100)，輸出與以前的輸入有關(guān)。時(shí)變。-輸入為x(t T)時(shí)，相應(yīng)的輸出為W(t) 0，t 0x(t T) x(t T 100), t 00, t T而 y(t T)顯然

18、 y(t T) w(t)x(t T) x(t T 100), t T線性。：系統(tǒng)滿足可加性和齊次性。因果。：y(t)只和當(dāng)時(shí)以及以前的輸入有關(guān)。(h) 記憶。穩(wěn)定。一，x(t)有界時(shí)，x(t 100)也有界，從而y(t)必有界。x(t) 0時(shí)，y(t)不僅與當(dāng)時(shí)的輸入而且與以前的輸入有關(guān)。,x(t T) 0w(t)y(t T)時(shí)不變。一輸入為x(t T)時(shí)，相應(yīng)的輸出為x(t T) x(t T 100), x(t T) 0非線性。假設(shè) x1(t)0, x2(t)0, x3(t)x-i(t) x2(t)0那么有 y1(t) 0, y2(t) X2(t) X2(t 100), y3(t) 0顯然，

19、y3(t)y1(t)y2(t)，系統(tǒng)不滿足可加性。因果。一 y(t)只和當(dāng)時(shí)以及以前的輸入有關(guān)。穩(wěn)定。x(t)有界時(shí)，x(t 100)也有界，從而y(t)必有界。(i) 記憶。一 y( 1) x( 2)說明輸出與以前的輸入有關(guān)。時(shí)變。：輸入為x(n n0)時(shí)，輸出是x(n n0)的偶數(shù)位。顯然，輸出不等于 y(n n°)。線性。系統(tǒng)滿足可加性和齊次性。非因果。：y(1)x(2)，說明輸出與以后的輸入有關(guān)。穩(wěn)定。：x(n)有界時(shí)，x(2n)也有界，從而y(n)必有界。1(j) 記憶。一 y( 1) x()說明輸出與以后的輸入有關(guān)。時(shí)變。：輸入為x(t t0)時(shí)，系統(tǒng)的輸出為t1z(t)

20、 x(； to) X ：(t 2to)y(t 2to)y(t to)22線性。：系統(tǒng)滿足可加性和齊次性。非因果。y(t)與以后的輸入有關(guān)。穩(wěn)定。：x(t)有界時(shí)，x(t)也有界，從而y(t)必有界。2.13判斷以下每個(gè)系統(tǒng)是否是可逆的。如果是可逆的，那么寫出其逆系統(tǒng)；如果不是，那么找出使該系統(tǒng)具有相同輸出的兩個(gè)輸入信號(hào)。(a)y(t)x(t 4)(b)y(t)cos x(t)(c)y(n)nx(n)(d)y(t)tx( )d(e)y(n)x(n )x( n 1)(f)y(n)x(1 n)(g)y(t)dx(t) dt(h)y(t)x(2t)(i)y(n)x(2 n)(j)y(n)x(n/2),

21、0,n(禺n奇解：系統(tǒng)可逆。其逆系統(tǒng)為y(t) x(t4)。(b) 系統(tǒng)不可逆。一當(dāng)Xi(t)x(t) 2k時(shí)，系統(tǒng)的輸出為y1(t) cos x1(t)cos x(t) y(t)。這說明系統(tǒng)的輸入與輸出不是單純對(duì)應(yīng)的。(c)系統(tǒng)不可逆。：當(dāng)輸入為(n)或2 (n)時(shí)，系統(tǒng)的輸出都為零。(d)系統(tǒng)可逆。其逆系統(tǒng)為y(t)(e)系統(tǒng)不可逆。：當(dāng)輸入為(n)或(n1)時(shí)，系統(tǒng)的輸出都為零。(f)系統(tǒng)可逆。其逆系統(tǒng)為 y(n)x(1 n)。(g)系統(tǒng)不可逆。：當(dāng)x(t)為任意常數(shù)時(shí)，y(t)均為零。(h)系統(tǒng)可逆。其逆系統(tǒng)為y(t)x(2)。(i)系統(tǒng)不可逆。-只要x(n)和X2(n)的偶數(shù)位相同，

22、就會(huì)產(chǎn)生相同的輸出。(j)系統(tǒng)可逆。其逆系統(tǒng)為 y(n)x(2 n)。2.14對(duì)圖P2.14(a)所示的系統(tǒng)(圖中開平方運(yùn)算產(chǎn)生正的平方根)(a) 求出x(t)和y(t)之間的函數(shù)關(guān)系。(b) 判斷該系統(tǒng)的線性和時(shí)不變性。(c) 當(dāng)輸入x(t)如圖P2.14(b)所示時(shí)，響應(yīng)y(t)是什么?解：(a)由圖P2.14可得出y(t)x2(t) x2(t 1) 2x(t)x(t 1) x(t) x(t 1)(b)由(a)知，系統(tǒng)的輸入輸出不滿足可加性，故系統(tǒng)是非線性的。由(a)可看出，當(dāng)輸入為x(t to)時(shí)，輸出為y(t to)，故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。(d)由 可得出響應(yīng)y(t)如圖PS2.14所示

23、。圖 PS2.142.15判斷以下說法是否正確，并說明理由：(a) 兩個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)仍然是線性時(shí)不變系統(tǒng)。(b) 兩個(gè)非線性系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)仍然是非線性系統(tǒng)。解: (a)結(jié)論正確。設(shè)兩線性時(shí)不變系統(tǒng)如圖PS2.15所示級(jí)聯(lián)。當(dāng)x(t) ax1(t) bx2(t)時(shí), 那么有w(t) aw1 (t) bw2(t),于是y(t) ay1(t) by2(t),因此整個(gè)系統(tǒng)是線性的。假設(shè)輸入為x(t to)，那么由于時(shí)不變性可知系統(tǒng)1的輸出為w(t to)，這正是系統(tǒng)2的輸入，因此總輸出為y(t t0)。即整個(gè)系統(tǒng)是時(shí)不變的。圖 PS2.15(b)結(jié)論不對(duì)。如系統(tǒng)1為w(t) x(t) 3t，系統(tǒng)2

24、為y(t) w(t) 3t。雖然兩系統(tǒng)都不是線性的，但它們的級(jí)聯(lián)y(t) x(t)卻是線性的。2.16對(duì)圖P2.16所示的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，其3個(gè)子系統(tǒng)的輸入-輸出方程由以下各式給出:系統(tǒng) 1： y(n) x( n)系統(tǒng) 2： y(n) ax(n 1) bx(n) cx(n 1)系統(tǒng) 3： y(n) x( n)其中：a, b,c都是實(shí)數(shù)。(a) 求整個(gè)互聯(lián)系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系；(b) 當(dāng)a, b,c滿足什么條件時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)是線性時(shí)不變的；(c) 當(dāng)a, b,c滿足什么條件時(shí)，總的輸入-輸出關(guān)系與系統(tǒng)2相同；(d) 當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。嗣A系統(tǒng)1系統(tǒng)2系統(tǒng)3圖 P2.16解：

25、(a) y(n) z( n) aw( n 1) bw( n) cw( n 1)ax(n 1) bx( n) cx(n 1)(b) 對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c，整個(gè)系統(tǒng)都是 LTI系統(tǒng)。(c) 當(dāng)a c時(shí)，總的輸入輸出關(guān)系與系統(tǒng)2相同。(d) 當(dāng)a 0時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)是因果的。2.17某線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)圖P2.17(a)所示信號(hào)x1(t)的響應(yīng)是圖P2.17(b)所示的yjt)。分別確定該系統(tǒng)對(duì)圖P2.17(c)和(d)所示輸入X2(t)和X3(t)的響應(yīng)y2(t)和Xi(t)012 t(a)(b)M(t)/3 (t)202(c)圖 P2.17解：(b)* X2(t)為(t)X&2)y2(t)%(t)(d)y't 2)如圖 PS2.17(a)所示。2.18 (a)(b)如果該系統(tǒng)的輸入為圖 P2.18(b)所示的x(n)，求系y3(n)如圖 P2.18(a)所示。統(tǒng)的輸出y(n)。如果一個(gè)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)圖P2.18(a)所示的輸入x,n)有響應(yīng)y,n)，那么該系統(tǒng)對(duì) x2(n)和x3(n)的響應(yīng)是什么？i xjn)1 yi( n) X2 (n)1"0 12 320 1A ya(n)"(n)1TJ(a)T(b) 2圖 P2.18解：a申 xn3x-i (n)2x2( n) 2x3( n)y(n)3