第六章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、第六章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 學(xué)習(xí)目的和要求 學(xué)習(xí)本章，要求讀者掌握常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)、 p級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)的收斂性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法則及判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的萊布尼茲判別法；掌握冪級(jí)數(shù)的概念和運(yùn)算，熟悉常用函數(shù) 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并會(huì)用間接法將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)，求出其收斂半徑和收斂區(qū)域 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義 設(shè)已給數(shù)列 則式子 或其簡(jiǎn)寫 叫做無(wú)窮級(jí)數(shù),記前 無(wú)限增大時(shí)，若數(shù)列 具有有限的極限S. 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，其極限值S稱為級(jí)數(shù)的和，并記為 若 沒(méi)有極限，就稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散. 例如：幾何級(jí)數(shù) 則 當(dāng) 無(wú)極限.從而可得如下結(jié)論：若幾

2、何級(jí)數(shù)的公式比 時(shí)，則級(jí)數(shù) 收斂若 ，則此級(jí)數(shù)發(fā)散. 2無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) (1)        若級(jí)數(shù) ，則每一項(xiàng)乘以一個(gè)不為零的常數(shù) (2)        設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)： 則級(jí)數(shù) 收斂于和 (3)在級(jí)數(shù)的前面部分去掉或加上有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù)的斂散性，但是其級(jí)數(shù)和會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化 (4)收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和S 要求讀者了解上述基本性質(zhì)的證明，并熟練運(yùn)用上述諸性質(zhì) (5)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù) 趨于無(wú)窮大時(shí)，它的一般項(xiàng)

3、必趨近于零 因而若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，則級(jí)數(shù)一定發(fā)散，但反之不然，亦即如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零，則級(jí)數(shù)未必收斂 例如：調(diào)和級(jí)數(shù) 其一般項(xiàng) 但它是發(fā)散的. (6)級(jí)數(shù) 稱為 級(jí)數(shù)收斂。 3正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法(要求讀者能熟練使用下列判別法) 若級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)均為正數(shù)(即 )則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有如下收斂判別法： (1)比較判別法 設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 若級(jí)數(shù) 也發(fā)散 (2)比值判別法 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于 ， 則當(dāng) <1時(shí)級(jí)數(shù)收斂， >1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散， =1時(shí)待定4萊布尼茲判別法 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：1) ，則交錯(cuò)級(jí)數(shù) 收斂，且其 和 的近似值時(shí)，誤差 5絕對(duì)收斂和條件收斂 若

4、級(jí)數(shù) 各項(xiàng)的絕對(duì)值所成的級(jí)數(shù) 收斂,則級(jí)數(shù) 收斂，并稱這樣的級(jí)數(shù)叫做絕對(duì)收斂級(jí)數(shù) 如果級(jí)數(shù) 收斂，而它的各項(xiàng)取絕對(duì)值所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù) 為條件收斂級(jí)數(shù). 第二節(jié) 冪 級(jí) 數(shù) 形為 的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，而常數(shù) 叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 1冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 對(duì)冪級(jí)數(shù)，必有數(shù)R，使當(dāng) 時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而當(dāng) 時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，數(shù)R被稱為收斂半徑 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可如下求得： 設(shè)極限 是冪級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)的系數(shù). 例 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑 解 因?yàn)?則收斂半徑 2冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)已知兩冪級(jí)數(shù)： 其收斂區(qū)間分別為 ，則有如下運(yùn)算法則： (1)加法運(yùn)算 兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相加或相減后所得到的冪級(jí)數(shù)至少在原來(lái)兩個(gè)收斂區(qū)間中

5、較小的區(qū)間 內(nèi)是收斂的，其和差依次為 (2)乘法運(yùn)算 在區(qū)間( -R,R)內(nèi)成立 (3)微分運(yùn)算 在冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間( -A，A)內(nèi)任意一點(diǎn)x處，有 也就是說(shuō)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分，且收斂半徑不變 (4)積分運(yùn)算 在冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間(一A，A)內(nèi)任意一點(diǎn)x處，有 也就是說(shuō)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，且收斂半徑不變. 第三節(jié) 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù) 1泰勒公式 如果函數(shù) 內(nèi)具有直到 n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng) 可以表示為 次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng) 的和： 其中 之間的某個(gè)值 若 取0，則泰勒公式變?yōu)辂溈藙诹止? 2泰勒級(jí)數(shù) 設(shè)函數(shù) 具有各階導(dǎo)數(shù) 則稱級(jí)數(shù) 為函數(shù) 的泰勒級(jí)數(shù)若 的泰勒公式的余項(xiàng)

6、無(wú)限增大時(shí)極限為零，則上述 的泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)本身 3.常用函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式 4類似地，有上述函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)為 5用間接法將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展成冪級(jí)數(shù) 例將數(shù) 的冪級(jí)數(shù). 解 因 ,而 故得 第六章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 例1： 例2： 例3： 例4： 例5： 例6： 根據(jù)極限形式的比較審斂法，可知（B）中級(jí)數(shù)是收斂的； 例7：  例8： 第一步，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂必要性粗略觀察是否有 若有,則得出級(jí)數(shù)發(fā)散結(jié)論，否則進(jìn)行下一步。例9：判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù) 的斂散性，若收斂 ，指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂。 例10： 例11： 例12： 例13： 例14： 第六章 無(wú)窮級(jí)數(shù)單元測(cè)試一、選擇題1、若已知級(jí)數(shù)

7、收斂，Sn 是它的前n項(xiàng)部分和，則它的和是（）2、級(jí)數(shù) 收斂的充分必要條件是（ ）3、 是級(jí)數(shù) 收斂的（）A、充分條件 B、必要條件 C、充要條件 D、無(wú)關(guān)條件4、級(jí)數(shù) 的和S=（）5、若正項(xiàng)級(jí)數(shù) 發(fā)散，則一定有（）6、若級(jí)數(shù) 發(fā)散，則 （） 7、下列級(jí)數(shù)中收斂的是 （）8、下列級(jí)數(shù)中收斂的是（）9、在下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是 （）10、在下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是 （）11、下列級(jí)數(shù)中，發(fā)散的集數(shù)是 （ ）12、級(jí)數(shù) 滿足何條件時(shí)，該級(jí)數(shù)必收斂()13、若級(jí)數(shù) 收斂，則必有下列何式成立 （ ）14、在下面級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)是（）15、在下面級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)是（）16、冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間是（）17

8、、冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間是（）18、 的收斂區(qū)間是()19、冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間是 （）20、冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)是（）21、 的和函數(shù)是（）22、冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)是（）23、冪級(jí)數(shù) ， 的和函數(shù)是（）24、函數(shù) 在 x=1 處展成的泰勒級(jí)數(shù)是（）二、計(jì)算題(一）求冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間解：由 得到收斂半徑 R=1 當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)成為 ，是發(fā)散的 當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)成為 ，是發(fā)散的. 因此，收斂區(qū)間為（-1，1） 三、計(jì)算題(二）1、討論級(jí)數(shù) 解： 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 故由比較判別法， 收斂、2、判別級(jí)數(shù) 的斂散性。解：令 級(jí)數(shù)收斂3、判斷級(jí)數(shù) 的斂散性。解： 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 收斂4、判斷任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性，并指出是否絕對(duì)收斂。解：考慮各項(xiàng)的絕對(duì)值，對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 由比值審斂法 收斂 故