行列式計算的若干種方法講解

1、中南民族大學畢業(yè)論文（設計）學院:數(shù)學與統(tǒng)計學學院專業(yè): 統(tǒng)計學 年級:2008題目:行列式計算的若干方法學生姓名:曹金金 學號:08067005指導教師姓名:汪寶彬 職稱:講師2012年4月30日中南民族大學本科畢業(yè)論文（設計）原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導師的指導下獨立進行研究所取得的研究 成果.除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā) 表或撰寫的成果作品.本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔.作者簽名：年 月 日摘要 1關鍵詞 1Abstract 1Key words 11引言 22.1 排列 22.2 行列式白定義 22.2.1 二階、

2、三階行列式 22.2.2 n階行列式的定義 32.2.3 幾種特殊的行列式的定義 32.3 行列式的基本性質(zhì) 53幾種常見的行列式的計算方法 63.1 利用行列式定義直接計算 63.2 利用行列式的性質(zhì)計算 63.3 三角化法 73.4 降階法 83.5 利用范德蒙德行列式求解 103.6 數(shù)學歸納法 113.7 拆項法 123.8 析因子法 133.9 加邊法（升階法） 133.10 遞推公式法 143.11 超范德蒙行列式法 153.12 利用分塊計算行列式 164結(jié)論 16致謝 17參考文獻 17行列式計算的若干方法摘要：在線性彳t數(shù)中，行列式的求解是非常重要的.本文首先介紹行列式的定義

3、與性質(zhì)；然后通過實例給出了計算行列式的幾種方法.從文中可以看出，選擇合適的計算方法可有效的計算行列關鍵詞：行列式；性質(zhì)；計算方法Some Methods of Determinant CalculationAbstract： Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paperwe first introduce the definition and properties of determinant. Then several methodsof the calculation are given b

4、y some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant.Key words: determinant; property; the calculation methods1引言行列式最早出現(xiàn)在十六世紀關于線性方程組的求解問題，時至今日行列式的應用卻遠不如 此，它在消元法，矩陣論，坐標變換，多重積分中的變量替換，解行星運動的微分方程組，二次 型有廣泛應用，其中行列式的計算是個重要問題.利

5、用行列式的性質(zhì)與計算方法的技巧較易地解決初等數(shù)學中的一些較繁與較難解決的問題，如運用行列式分解因式，證明等式與不等式，以及在幾何方面的應用，從而體現(xiàn)用高等數(shù)學理論與方法解決初等數(shù)學問題的優(yōu)越性線性代數(shù)在各門學科中占據(jù)著重要地位，在大多數(shù)的理工科專業(yè)都開設這個課程，是所有理工科的基礎學科，而行列式在線性代數(shù)里是最為基礎且最重要的一章.行列式是研究線性代數(shù)的有力手段和重要工具，主要應用在線性方程組、二次型、矩陣的計算求解中，例如求解線性方程組、 求矩陣的秩、判斷向量線性相關、求矩陣的特征值等.許多實際和理論問題歸結(jié)為行列式計算.因此, 行列式尤為重要，跟其他理工學科相輔相成，然而行列式的計算往往是

6、極為復雜的，求解行列式 的算法要比解線性方程組的算法要少得多，所以在實際運用中，我們要掌握各種計算行列式的方 法，尋求最優(yōu)算法來計算行列式，從而解決各種實際問題行列式計算的基本思想：對于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定義計算.對于一般的行列式，我們主要有下面兩種計算思想：利用行列式的性質(zhì)進行行列式的初等變換，將其劃為上（或下）三角形行列式，進而得到結(jié)果.利用行列式按行（列）展開定理進行降階和遞推.在典型的計算 過程中一般兩種方法同時應用，先利用性質(zhì)化出盡可能多的零元素，然后再利用行（列）展開定理降 階，化為低階行列式進行計算.本文將介紹行列式的定義以及性質(zhì)，通過介紹行列式計算的基本方法一

7、一利用行列式定義直接計算、利用行列式的性質(zhì)計算、三角形化法、降階法、利用特殊行列式、數(shù)學歸納法、拆項法、析因子法、加邊法、遞推法、超范德蒙行列式法等.再應用實例計算行列式，理論和應用相結(jié)合，較全面的介紹行列式的幾種計算方法.2行列式的定義及性質(zhì)182.1 排列J定義1由n個不同自然數(shù)1，2，n組成的一個有序數(shù)組稱作為n級排列，n級排列的總數(shù)為n （n -1） （n -2）川 2 1 =n!定義2在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的大于后面的數(shù)，那么它 們就為一個逆序.一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù)定義3逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列

8、2.2 行列式的定義2.2.1 二階、三階行列式行列式是代數(shù)式的簡要記號，如下:a11a21a22= 422 a12 a21(2-1)alla12a13a21a22a23 = alia22a33 + a12a23a31 + a13a21a32a31a32a33(2-2) a13a22a31 a12a21a33 -a11a23a32分別是二階、三階行列式，兩式的左端表示行列式的記號，右端是行列式的全面展開式.行列式的元素有兩個下標，分別稱為行標和列標.如a32表示該元素位于第 3行、第2歹U.從上面的二級行列式和三級行列式的定義中可以看出，行列式的結(jié)果都是由一些乘積的代數(shù) 和，而且每一項乘積都是

9、由行列式中位于不同的行和不同的列中的元素組成，并且所有的展開式 恰好是由所有這種可能的乘積組成.每一項乘積所帶的符號是由排列的逆序數(shù)奇偶性原則決定的(當排列的逆序數(shù)為偶排列時，在三級行列式的展開式定義中，該項帶有正號，當排列的逆序數(shù) 為奇排列時，在三級行列式的展開式定義中，該項帶有正號)2.2.2 n階行列式的定義a11a 21IIIa n 1a12a 22HIa n 2III HI IIIIIIa 1 na 2 nHIa nn一. (一1) .(P1P2“'Pn)a1p1a 2p2 Hlanpn n !(2-3)27其中n!表示對所有n階排列p1 p2pn的種數(shù)進行相加，共有Pn=n

10、!項2.2.3 幾種特殊的行列式的定義在行列式計算中，往往會將行列式轉(zhuǎn)換成具有特殊形式的行列式，再進行計算，因此熟悉和 掌握這些特殊行列式及其計算公式對提高計算行列式的技巧和效率是非常重要的.(1)上(下)三角行列式等于它主對角線元素的乘積.a11a12a1na11a22a2na21a 22* *= a11a22 ann；mmannan1an2a11=a11al2ann.ann(2-4)(2)對角行列式等于它的主對角線元素的乘積,a22= a11a22ann.ann(2-5)(3)副對角線下(上)邊的元素全為。的行列式aiia2ia12a22ain= (1)(''aina2,n

11、/ani；(2-6)aniaina2,nla2nn n J 2-1aina2, n J HI ani.(2-7)ani an2IIIann(4) n階范德蒙德行列式(n之2 )111aia2a32ai-a2-2a3-n 1n 1n 1aia2a3an2 an二: ai _ aji <j ：i: <n(2-8)n a n稱為范德蒙德(Vandermonde)行列式，其中 口表示連乘.范德蒙德行列式的特點： 第一行全 為i;第二行的各個數(shù)各不相同； 后一行與前一行對應列的比值等于第二行對應列的元素；范德蒙德行列式為零的充要條件是ai,a2lll，an這n個數(shù)中至少有兩個相同.(5)箭形

12、行列式設 a。=0, j =2,3，n ,則ai2ai3aina22000a330-9-00annaiia12a13ainai Zajiai jj 2 ajja22a33an .(2-9)若存在某個或某些對角元akk =0(k >2 )可k行進行降階處理，箭形行列式有以下幾個形式:這幾個形式的都可類似方法化為三角行列式進行計算 .(6)分塊上(下)三角行列式等于它的主對角線上各方陣的行列式的乘積分塊上三角行列式，又稱 為上塊(準)三角行列式：AiA12AkA22A2k=Al| A22 一 ' Akk .(2-I0)Akkk其中對角塊det Ai為n階行列式，且 £ ni

13、=n, n為行列式的階，特別地，當 k = 2,i 1n2 = n -1時成立:分塊下三角行列式,aiiai20a22aa0an2aina2naanna22a=aii,an2a2nann又稱為下塊（準）三角行列式:AiAI2-AIi A221I Ak(2-II)AkiAk2（7 ） 分塊對行列式等于主對角線上各方陣的行列式的乘積AiA22=Ai A221|Akk .(2-I2)Akk2.3行列式的基本性質(zhì)(2-I3)性質(zhì)I行列式的行與列對應互換得到的新行列式，記彳DT , D| = DT性質(zhì)2任意對換行列式的兩行（或兩列）元素，其值變號 性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) k,

14、等于用數(shù)k乘此行列式推論 兩行（或兩列）元素對應相同或者有一行（或列）全為零的行列式，其值為零性質(zhì)4行列式中若有兩行（或兩列）對應元素成比例，其值為零性質(zhì)5行變換't +"s與列變換ct +'cs行列式的值不變.性質(zhì)6下列行列式成立aiiai2Main1 iJalini hiaiiai2IIIainaiia12HIainIMIII1n1n.1n11J I 1,III III III IHM III HI M%i +%ias2+as2 III %2 +asnJ 1 1+nn.nJ | 1J 1L 1 JJ fa 11 L Jasias2IIIas2asias2IIIas

15、nIIIIH 1*1 IHI 1 1J 1 IJ 11anian2IIIannanian2川annanian2山ann(2-I4)3幾種常見的行列式的計算方法3.1利用行列式定義直接計算例1計算行列式0川0100m200Dn 尸：一n -1m0000川00n解：Dn中不為零的項用一般形式表示為a1na2nN Ilian±ann 二n!.該項列標排列的逆序數(shù)t (n1 n 21n)等于(n -1)(n -2),故2(n _1 n J 2 )Dn =(1) 2 n !.(3-1)(3-2)3.2利用行列式的性質(zhì)計算例2 一個n階行列式Dn = aj的元素滿足aj - -aji ,i, j

16、 =1,2,|l,n,則稱Dn|為反對稱行列式，證明奇數(shù)階反對稱行列式為零證明：由aj = aji知a. a.,即(3-3)aii =0,i =1,2, |l|,n故行列式Dn可表示為Dn0&2a3-&20a23I一 a13一 a230 IIHIHIIII-ain- a2n- a3n I由行列式的性質(zhì) A =|A'ain a2 n a3n IH0(3-4)0一a12一&3IHal n0a12a13IIIain為0a23IHa2 n a120a23IIIa2n013a230IH一 a3n=(-1)n一 a13a230IIIa3nIIIIIIIHIIIHIinUIH

17、IIHIIIaina2na3nIH0一 a1n-a2n一 a3 nIII0DnDn,因而得Dn=一 Dn= (-1)n Dn當n為奇數(shù)時，得3.3三角化法2運用行列式的性質(zhì)把行列式變換成位于主對角線一側(cè)的所有元素全等于零，這樣得到的n n_J行列式等于主對角線上元素的乘積，對于次對角線上的情形， 行列式的值等于（-1廣7一與次對角線上所有元素的乘積例3計算行列式Dalll a alll aa III x解：把每行均加至第一行,提出公因式x+（n1）a ,再把第一行的-a倍分別加到第二行至第n行,D =x+(n1)a1 W 1 alll a x| aalll=x (n -1)ax -ax-ax

18、-aIIIIII=x (n -1)a(x -a)n_1例4計算n階行列式Dnn -1IHIHn 2n -1解：利用性質(zhì)7對行列式做變換,依次將第i行乘（-1剛到第i+1行（i = n 1,n 2,，1%再將第2,3，n列全加到第1列.得IIIIIIDn =IIIIIIIIIIII按a11履開,再將n -1階行列式的第Dn式，得-n1IIIIIIIIIIIIIII1行乘（_1 »口到其余各行后，將第1,2,，n2列全加到第n 1列,Ill 1 -n-nn山 -1-n,根據(jù)副對角線下三角為零的行列n _2-n -1 = -1233.4 降階法就是把一個階行列式化簡為個階行列式，然后以此類

19、推，直到把階行列式化為若干個式來計算.特別需要注意的是，按行或列展開時一定要使某一行或某一列含有充分多的零元素，這 樣才能有效減少運算量.（1） 一般降階法2階行列n階行列式D等于它的任一行（列）各元素與其對應代數(shù)余子式乘積的和，即D =£ ajAij,i =1,2,HI,n 或|D =£ aj Aj, j = 1,2用|, n .(3-5)行列式按一行（列）展開能將高階行列式轉(zhuǎn)化為若干低階行列式計算，稱為降級法.這是一種計算數(shù)字行列式的常用方法.值得注意的是，在使用時應先利用行列式的性質(zhì)，將某行（列）元素 盡可能多的變成零，然后再展開，計算才能更方便，對一些特殊構(gòu)造的行列

20、式可利用拉普拉斯定理降階計算.此法中由于n級行列式D的第i行構(gòu)成的k級子式C：個，所以對一般行列式能降階卻不能減少計算量.例5計算n階行列式Dnxy0HI000xyHI00+h-I+f1r000xyy00HI0x分析：該行列式的元素分布規(guī)律來看,可以用直接遞推降階法，找出Dn,再依次遞推出其他項，最終可求出Dn .解：根據(jù)行列式展開定理，將DnIHIHDn按第一行展開，則IIIIIIIIIIIIIHIH?0IIIIIIIIIIII將后面的行列式按第一列展開，則Dnnn=x yy -1IIIIIIn 1-1 yIIIIII(2)遞推降階法設n階行列式 D = aj n坨，欲求其值，由于交換行列式

21、的兩行(列)，行列式只改變符號,故a11 #0,現(xiàn)在令Nila22HIa2nlL . .a31111aln ), M =:+,N 二a32= +*IIIa3nqqJani -§2IIIann 一A = all , B - ( a|2a13遞推降階法可分為直接遞推和間接遞推.直接遞推關鍵是找出一個關于Dn_1的代數(shù)式來表示Dn ,依次從D|t |D21T D31T |t , Dn,逐級遞推便可以求出Dn的值.間接遞推即借助于行列式中元素的對稱性，交換行列式構(gòu)造出關于Dn和Dn的方程組，從而消去 Dn,就可以解得Dn .a +xaaIIIaa一yx0III000一yxIII00*4r*4

22、r000III一yx例6計算n階行列式Dn解：將Dn按第n列展開可得-y x1中Dn =x Dn/十a(chǎn)(1)/-y xc_I_ n 1=x Dn J +ay 一，x一y整理得,Dn =x Dn+ayn,； Dn=x Dn/ +ayn/;"|D2 =x D1 +ay1.將這 n1 個式 子兩邊分別同乘以1, x,x2，xn/后，再相加得 Dn| = xn口| + ayn+ ay© x+“| + ayxn/而D1 = a + x 則Dn , n nA, n _2n _2 , nkn=x+a(x +x y+|l + xy + y )這道例題也可以直接用一般的降階法直接展開，一般降

23、階法和遞推降階法之間是沒有很明確 的界定，往往在計算行列式中，是兩種方法融匯結(jié)合的如果一個行列式的元素分布上比較有規(guī)律，則可以設法找出n階行列式|Dn與低級行列式的關系依次類推，將行列式按行 (列)展開，達到降階的目的，最后將低階行列式計算即可3.5利用范德蒙德行列式求解412例7計算行列式1x11x12 x11x2 1x2x2IIIIIIIII1xn 1x2 xxnxnn 1 n _2x1x1n 1 n -2x2x2IIIn 1 n -2xn xn解：把第1行的1倍加到第2行,把新的第2行的一1倍加到第3行，以此類推直到把新的第 n一 1行的一1倍加到第n行,便得范德蒙行列式X2x1IIII

24、IIIIIxn2xn二:(xi -xj)1 ：j U _nn工x2IIIn 1 xn例8計算n+1階行列式DI =nana2nan +an也na2IIIan.%2a1n-b2 III dbin a2-b22 Hl a2b； IH III HIan 1 bn 1 川 an 1bn 1b： bn III bn中解：從第i行提取公因子nai (i=1,2,，n+1)就可以得到轉(zhuǎn)置 n+1階范德蒙行列式HIb1bHIn -1b 1b1na 12a 1n 1a 1na 1b 2b 2HIn -1b 2b 2na 22a 2n 1a 2 一na 2HIIHtilMlIMb n .1b n .11 k jn

25、 -1 b n+b nn .1a n -12a n -1! 1 In-1a n -1na n -1j%求解得d =nnai3.6數(shù)學歸納法14般是采用不完全歸納法，先分析猜想出行列式值的規(guī)律,得到一般性結(jié)論，然后再利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論的正確性.行列式Dn的特點是主對角線上元素含有三角函數(shù)，并且?guī)捉嗤?，沿主對角線兩側(cè)的元素全是1.例9計算Dn nOtpa + PIIIIIIIIIot分析：a-2不D2Dn所以考慮用數(shù)學歸納法證明原行列式的值等于猜想值 證明：當n=1時命題成立.假設n E k -1時命題成立.當n=k時，將Dk按第一列展開Dk+ BaPIII00a + PaPHI001a +

26、 PIH001a + PHI00a-r1-卜-OtP卜+-100IIIa + PaP00HI0( + POtp00IH1ct + P00HI1a +a=(a +P-o(P D= (ot + P )-aPk 1- k 1 k 1- k .1Of - - P - Ct -Pa -P,證明猜想值成立.當n = k時命題成立，對 /n w N有：Dn253.7拆項法就是利用行列式的性質(zhì),將行列式拆成若干個較容易計算的行列式，再分別計算xmmIHmm-mxmIHmm-m-mxIHmm*R1.*,4*4-m-m-mIH-mx的特點是主對角線的元素全部是例10行列式Dnx,上三角與卜三角的元素分別是x-m-

27、mm m | H m1m III mm m m+x-m-mmx-mm m xIIIHIHImmmmmmm 1HIm -,I1:4*+*000III0 x-mm一 m一 mIII-mmxmmIHm1-mxmIHm1m)|Dn+m-m-mxIIIm1-m-m-mIH4一 m1x + m2 m2 m(112 m0m和-m，二者互為相反數(shù).此類行列式常用拆分法來計算Dn=(x(x - m ) D nIIIIHIH(x - m ) D n1Dn "az")n (x -m)n根據(jù)行列式的性質(zhì)，行列式的行列互換時行列式的值不變，得Dn =(x +m) Dn-m(x - m)nJ(3-6)

28、(3-7)由式子(3-6), (3-7)消去 Dn i，得Dn1nn= 2(x m) (xe3.8析因子法410所謂析因子法，就是當行列式Dl=0時，求得方程的根，從而將行列式轉(zhuǎn)化為其因子和積這樣會大大減少計算量.該方法適用于主對角線上含X多項式的題型例11計算行列式1112-xD =2323解：由行列式的定義知D為x的4次多項式.當乂 = ±1時，1、2行相同，有D =0,二x=±1是D的根.當x = =2時，1、2行相同，有D =0,二x = =2是D的根.故D有四個一次因式，x+1,x1,x+2,x2.設 D =a(x 1)(x -1)(x 2)(x -2)令x=0則

29、d =1122123322113359=-12，即 a 1 (1) 2 (2) =72.a 3.: D = -3(x+1)(x1)(x+2)(x2)243.9加邊法（升階法）m行m列）得到一個新的加邊升階法是將所要計算的 n階行列式適當?shù)靥砑右恍幸涣校ɑ騨+1（ n + m）階行列式較易計n+1 （或n+m）階行列式，保持行列式的值不變，但要所得的 算，加邊法的一般做法是：a11a21*+an1IIIIHIIIann100+*0IIIanIIIa1nIHa2nIIIanna1 an a21 ran1a11a21*+an1IIIIIIIH10IH0a1nb1a11IHa1na2n=b2a21IH

30、a2n*i*iiannbnan1IHann(3-8)二1例12計算行列式解：D1 + a 111 - aD 二1111111 b11111 一 b1 a 1111 -a 1111 b1111111101 + a111011 -a110111 + b10111 1b1111 -b11111-1a000-10-a00-100b0-1000-ba2b3.10遞推公式法310特殊情況取 a = a2 = |M = an =1 或bi =b2 = | =bn遞推公式法就是先將行列式表示兩個（或幾個）低階同型的行列式的線性關系式，再用遞推關系及某些低階（2階，1階）行列式的值求出 的值該方法適用于行（列）

31、中0較多的或主對角線解：Dn =9 Dn4-40HI=9Dn_1-20D»5上、下方元素相同的題型.94例13計算行列式Dn|=0+*050HI095490工工95III04950 III III495 IH +' ，fq 4FHI HI HI 4該二階齊次線性遞歸式的特征方程為 x2=9x20,其根為4、5,既有Dn -5 Dnl|=4(|Dnl|-5 6 N )，于是有Dn-5Dn.二42(DnN 5 Dn q)= | =4 " 二(D2-5 Di ) =4n?(61-45) =4"同理有 Dn|_4Dn,=52( Dn/ _ 4 D0)=11 |=5

32、n 立(D2 _4Di) = 5n/(61_36) = 5n 所以，Dn 5 Dn=4n , Dn -4 Dn=5n .聯(lián)立兩式的Dn=5n+4n盤3.11超范德蒙行列式法39超范德蒙行列式法就是考察n+ 1階范德蒙行列式f (x),利用行列式Dn與f (x)某元素余子式的關系計算行列式的方法.該方法適用于Dn具有范德蒙行列式形式的題型例14計算行列式(超范德蒙德行列式11III1X1X2IIIXn) Dn2X12X2III2 xn!inNX1n _X22川n_2 XnnX1nX2IIIn xn解：考察n+1階范德蒙德行列式11III1X1x2IIIXnX12xfIIIX2f(x) = ，.+

33、1.一1X2X=(X -x1)(xX2)IH(X - Xn) |1 (Xi - Xj).1£j與由n 1 n 1 n 1X1 X2 Xnn nnX1X2III Xn顯然Dn就是行列式f(x)中元素的余子式Mn,n書.即Dn =Mn,n書=一 An,n «( An,n +為代數(shù)余子式)又由f(x)的表達式(及根與系數(shù)的表達式)知，f(x)中Xn”的系數(shù)為-(X1+X>HH +xn) KI (XiXj).1<jq-in即An,n+ =(X1+X2+川+Xn)口(XiXj).Dn,nd=(X1+X2+| +Xn)口(為一Xj).1 <j 1 in1<jiJ

34、iin3.12利用分塊計算行列式11分塊矩陣是行列式計算中的一個重要方法，這個計算方法就是通過分塊矩陣的行（列）的初 等變換將它化成準三角行列式，從而可以將它化成較低階行列式的乘積，再根據(jù)分塊矩陣的公式 進行計算求出彳T列式的值.例15計算5階行列式D5a2a3a4a5b2b3b4b5C2000d2000e2000bi=c1d18d1 d2Ge2解：先對行列式中的行列轉(zhuǎn)換得D5=(-1 Ma a2bi b2C1 C2：000：000-a a3a4a5:b3b4bs：000，一、，、，rd1由公式（2-10）式，得D5 =e1d2%a3 b3 0ada5b4b5 =0 .004結(jié)論行列式的計算方法靈活多變，但萬變不離其宗，在計算時一定要仔細觀察其類型特點，恰當 運用行列式計算的常用方法及技巧，一切便可迎刃而解選擇行列式