高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案（第二版）（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系）ch(11)

1、編輯ppt第六節(jié)第六節(jié) 連續(xù)函數(shù)的概念和性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的概念和性質(zhì)編輯ppt本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)引入一類重要的函數(shù)本節(jié)引入一類重要的函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), 并討論閉區(qū)并討論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì).一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)編輯ppt一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性 自然界中的很多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的自然界中的很多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的. 例如氣溫的變例如氣溫的變很小時(shí)很小時(shí), 溫度的變化溫度的變化 也很小也很小. 這就是這就是()( )T ttT t 化就是一個(gè)很明顯的例子化就是一個(gè)很

2、明顯的例子. 所謂的連續(xù)變化指的是所謂的連續(xù)變化指的是: 當(dāng)當(dāng)時(shí)間變化很小時(shí)時(shí)間變化很小時(shí), 氣溫的變化也很小氣溫的變化也很小. 具體地說(shuō)具體地說(shuō), 若以若以( )T ttt表示時(shí)刻表示時(shí)刻 時(shí)的溫度時(shí)的溫度, 當(dāng)時(shí)間變化很小時(shí)當(dāng)時(shí)間變化很小時(shí), 即即連續(xù)函數(shù)的本質(zhì)特征連續(xù)函數(shù)的本質(zhì)特征. 編輯ppt 定義定義1.7 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一個(gè)鄰域內(nèi)有的某一個(gè)鄰域內(nèi)有 yf x0 x0lim ( )xxf x定義定義, 如果如果 存在存在, 且等于且等于 即即0(),f x則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 是連續(xù)的是連續(xù)的, 此時(shí)又稱點(diǎn)此時(shí)又稱點(diǎn) 是函數(shù)是函數(shù)( )f x0 x0 x 的連續(xù)點(diǎn)

3、的連續(xù)點(diǎn).( )yf x00lim ( )( ),xxf xf x（1.6）編輯ppt（1.6）的等價(jià)形式是）的等價(jià)形式是: 000lim0.x xf xf x記記 0,xxx 稱其為自變量稱其為自變量 在在 的增量的增量, 因變量的因變量的x0 x增量記為增量記為00,yf xxf x 則（則（1.6）表示成）表示成xy yf xxyO0lim0.xy 編輯ppt 設(shè)設(shè) 若若 在區(qū)間內(nèi)每點(diǎn)連續(xù)在區(qū)間內(nèi)每點(diǎn)連續(xù), 則稱其則稱其,Da b f x lim,lim,xaxbf xf af xf b為區(qū)間上的為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù); 若若 且且 在在,Da b f x, a b上連續(xù)上連續(xù), 又

4、又則稱則稱 是閉區(qū)間是閉區(qū)間 上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). f x, a b 值得注意的是值得注意的是: 區(qū)間上的區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線而不間斷的曲線.編輯ppt例例1.35 證明函數(shù)證明函數(shù)sinyx為區(qū)間為區(qū)間, 上的連續(xù)上的連續(xù) 函數(shù)函數(shù).證證 設(shè)設(shè) 是區(qū)間是區(qū)間 內(nèi)的任意一點(diǎn)內(nèi)的任意一點(diǎn), 給給 以增量以增量 x, x, xsinsin2sincos,22xxyxxxx 因因 故故cos1,x 2sincos2 sin2,2222xxxxyxx 故當(dāng)故當(dāng) 有有0,x 0,y 相應(yīng)函數(shù)的增量為相應(yīng)函數(shù)的增量為編輯ppt由此證明了函數(shù)由此證明了

5、函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上為連續(xù)函上為連續(xù)函sinyx, 數(shù)數(shù).編輯ppt 結(jié)論結(jié)論1 基本初等函數(shù)在定義域中都是連續(xù)函數(shù)基本初等函數(shù)在定義域中都是連續(xù)函數(shù). 結(jié)論結(jié)論2 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù). 結(jié)論結(jié)論3 初等函數(shù)在定義域中的任何一個(gè)區(qū)間上都是初等函數(shù)在定義域中的任何一個(gè)區(qū)間上都是連續(xù)的連續(xù)的.編輯ppt例例1.36 求極限求極限2/4lim ln 1tan.xx解解 因函數(shù)因函數(shù) 2ln(1tan)f xx為初等函數(shù)為初等函數(shù), 點(diǎn)點(diǎn)4x屬于定義域內(nèi)的區(qū)間

6、屬于定義域內(nèi)的區(qū)間2/4lim ln 1tanln2.4xxf0,2因而因而編輯ppt二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn) ( )f x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 的某去心鄰域中有定義的某去心鄰域中有定義, 若若 不是不是0 x0 x 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn), 則稱則稱 是是 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn).( )f x0 x( )f x 間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型: 在在 處有定義處有定義, 但但 不存在不存在;( )f x0 x0lim ( )xxf x0 x( )f x 在在 處無(wú)定義處無(wú)定義; 0lim ( )xxf x0 x( )f x 在在 處有定義且處有定義且 存在存在, 但但00lim ( )( ).xxf

7、xf x編輯ppt例例1.37 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) e1( ),xf xxe1 0( ), 1 0 xxf xxx則函數(shù)則函數(shù) 在在 連續(xù)連續(xù).( )f x0 x 0 x 則函數(shù)在則函數(shù)在 處不連續(xù)處不連續(xù),但若重新定義但若重新定義編輯ppt連續(xù)連續(xù), 但若重新定義但若重新定義21 1( ),1 2 1xxf xxx例例1.38 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)21 1,1( )1 1,2xxxf xx則函數(shù)在則函數(shù)在 處不處不1x 則函數(shù)則函數(shù) 在在 處連續(xù)處連續(xù).( )f x1x 編輯ppt 在上面在上面2個(gè)例中可以看到個(gè)例中可以看到, 這兩個(gè)函數(shù)的共同特征為這兩個(gè)函數(shù)的共同特征為:函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在函數(shù)在該點(diǎn)的

8、極限存在, 但函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù). 我們把我們把這一類間斷點(diǎn)稱為這一類間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn). 其具體意義是其具體意義是: 我們可我們可以通過(guò)補(bǔ)充這一點(diǎn)的定義或修改這一點(diǎn)函數(shù)的定義值以通過(guò)補(bǔ)充這一點(diǎn)的定義或修改這一點(diǎn)函數(shù)的定義值, 使其成為連續(xù)函數(shù)使其成為連續(xù)函數(shù).編輯ppt例例1.39 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 21 0,( )1 0,xxf xxx則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí), 有有0 x 200lim( )lim11,xxf xx00lim( )lim11,xxf xx 即即: 函數(shù)在函數(shù)在 處的左右極限處的左右極限0 x xyo1121x 1x 存在但不相等存在但不相等.編輯ppt 從圖

9、形中可以看到從圖形中可以看到, 這類函數(shù)的幾何圖形在間斷點(diǎn)上這類函數(shù)的幾何圖形在間斷點(diǎn)上有一個(gè)跳躍現(xiàn)象有一個(gè)跳躍現(xiàn)象, 因而把這一類間斷點(diǎn)稱為因而把這一類間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).從圖中可以看出從圖中可以看出, 這類函數(shù)是不可能通過(guò)修改一點(diǎn)的函這類函數(shù)是不可能通過(guò)修改一點(diǎn)的函數(shù)值使其成為連續(xù)函數(shù)的數(shù)值使其成為連續(xù)函數(shù)的.編輯ppt例例1.40 函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處無(wú)定義處無(wú)定義, 但但 tanf xx2x/2lim tan,xx 稱稱 是函數(shù)是函數(shù) 的的無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn).2xtanx編輯ppt 可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)的特征是可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)的特征是, 函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)在這一

10、點(diǎn)的左右極限均存在左右極限均存在. 通常把這一類間斷點(diǎn)稱為通常把這一類間斷點(diǎn)稱為第一類間斷第一類間斷點(diǎn)點(diǎn), 除此之外的間斷點(diǎn)稱為除此之外的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).編輯ppt三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 設(shè)設(shè) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 上上, 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) 使得對(duì)使得對(duì)( )f xI00,x xI 0( )(),f xf x則稱則稱 為函數(shù)為函數(shù) 在區(qū)間上的在區(qū)間上的最大值最大值; 相反地相反地, 0()f x( )f x若對(duì)于每一個(gè)若對(duì)于每一個(gè) 都有都有xI0( )(),f xf x則稱則稱 為函數(shù)為函數(shù) 在區(qū)間上的在區(qū)間上的最小值最小值.0()f x( )f

11、xxI每一個(gè)每一個(gè) 都有都有編輯ppt最大值和最小值分別記為最大值和最小值分別記為0()max( ) ,x If xf x例如例如 函數(shù)函數(shù) 在整個(gè)數(shù)軸上的最小值為在整個(gè)數(shù)軸上的最小值為 ( )f xxx0, f xxxxyO但無(wú)最大值但無(wú)最大值.0()min( ) .x If xf x 編輯ppt定理定理1.4（最大值最小值定理）（最大值最小值定理） 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在證明從略證明從略. 從右邊的圖中可以看出從右邊的圖中可以看出, 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間上連在閉區(qū)間上連( )f x yf xxyOab該區(qū)間上一定有最大值和最小值該區(qū)間上一定有最大值和最小值.( )f x

12、 續(xù)續(xù), 則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 和和 處分別處分別取到最大值和最小值取到最大值和最小值. 編輯ppt 推論推論 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必然有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必然有界.編輯ppt定理定理1.5（介值定理）（介值定理） 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上上( )f x, a b間間 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得使得0,x0().f x, a b 該性質(zhì)從幾何上看是及其明顯的該性質(zhì)從幾何上看是及其明顯的.xyo ab0 x yf x連續(xù)連續(xù), 則對(duì)于介于則對(duì)于介于 與與 之間的任何實(shí)數(shù)之間的任何實(shí)數(shù) 在區(qū)在區(qū)( ) ( )f af b,編輯ppt0()0.f x推論推論 （零點(diǎn)定理）（零點(diǎn)定理） 若函數(shù)若函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù),( )f x, a b且且 異號(hào)異號(hào), 則在開(kāi)區(qū)間則在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)( ),( )f af b, a b0,x使得使得此時(shí)此時(shí) 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的零點(diǎn)的零點(diǎn). f x0 x編輯ppt例例1.41 證明方程證明方程 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)有唯一的根內(nèi)有唯一的根.e0 ( 1,1)xx證證 令令 ( )e ,xf xx11(1) ( 1)e 1 e1e0,ffe 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知, 存在存在 使得使得01,1 ,x 0()0.f x 又函數(shù)又函數(shù) 是單調(diào)增加函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù), 故零點(diǎn)