202X年高考數(shù)學總復習4.2.1等差、等比數(shù)列與數(shù)列的通項及求和課件理

1、數(shù)列大題-2-3-4-5-1.求通項公式的常見類型求通項公式的常見類型(1)an與與Sn的關系或的關系或Sn與與n的關系的關系,利用公式利用公式(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列求通項或轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列求通項.(3)由遞推關系式求數(shù)列的通項公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通項.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通項.-6-2.數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和的常用方法(1)公式法公式法:利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式.(2)錯位相減法錯位相減法:適合求數(shù)列適合求數(shù)列anbn的前的前n項和項和Sn,其中其中an,bn一個是等差數(shù)列一個是等差數(shù)列,另一個

2、是等比數(shù)列另一個是等比數(shù)列.(3)裂項相消法裂項相消法:即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和,通過累通過累加抵消中間假設干項的方法加抵消中間假設干項的方法.(4)拆項分組法拆項分組法:先把數(shù)列的每一項拆成兩項先把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項或多項),再重新組再重新組合成兩個合成兩個(或多個或多個)簡單的數(shù)列簡單的數(shù)列,最后分別求和最后分別求和.(5)并項求和法并項求和法:把數(shù)列的兩項把數(shù)列的兩項(或多項或多項)組合在一起組合在一起,重新構成一重新構成一個數(shù)列再求和個數(shù)列再求和,適用于正負相間排列的數(shù)列求和適用于正負相間排列的數(shù)列求和.3.數(shù)列單調(diào)性的常見題型及方

3、法數(shù)列單調(diào)性的常見題型及方法(1)求最大求最大(小小)項時項時,可利用可利用:數(shù)列的單調(diào)性數(shù)列的單調(diào)性;函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性;導數(shù)導數(shù).(2)求參數(shù)范圍時求參數(shù)范圍時,可利用可利用:作差法作差法;同號遞推法同號遞推法;先猜后證先猜后證法法.-7-4.數(shù)列不等式問題的解決方法(1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性.(2)放縮法:先求和后放縮;先放縮后求和,包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和,或者放縮后裂項相消再求和.4.2.1等差、等比數(shù)列與數(shù)列 的通項及求和-9-考向一考向二考向三考向四考向五等差、等比數(shù)列的通項及求和等差、等比數(shù)列的通項及求和例例1(2021全國全國,理理17)記記Sn為等差

4、數(shù)列為等差數(shù)列an的前的前n項和項和,a1=-7,S3=-15.(1)求求an的通項公式的通項公式;(2)求求Sn,并求并求Sn的最小值的最小值.解:(1)設an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通項公式為an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.解題心得對于等差、等比數(shù)列,求其通項及前n項和時,只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可.-10-考向一考向二考向三考向四考向五對點訓練對點訓練1等差數(shù)列等差數(shù)列an的公差不為零的公差不為零,a1=25,且且a1,a11

5、,a13成成等比數(shù)列等比數(shù)列.(1)求求an的通項公式的通項公式;(2)求求a1+a4+a7+a3n-2.解:(1)設an的公差為d. 即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首項為25,公差為-6的等差數(shù)列.-11-考向一考向二考向三考向四考向五可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題例例2等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,a1=3,且且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列成等

6、差數(shù)列.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式;(2)設設bn=log3an,求求Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1.解:(1)3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,4S2=3S1+S3,4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2,公比q=3,an=a1qn-1=3n.-12-考向一考向二考向三考向四考向五解題心得無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,b2n-1b2

7、n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n,Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)-13-考向一考向二考向三考向四考向五對點訓練對點訓練2設設an是公比大于是公比大于1的等比數(shù)列的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項和項和,S3=7,且且a1+3,3a2,a3+4構成等差數(shù)列構成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式;-14-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)由得 -15-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得a3n+1=23n,bn=ln 23n=3nln 2.bn+1-bn=3ln

8、 2,數(shù)列bn為等差數(shù)列.-16-考向一考向二考向三考向四考向五求數(shù)列的通項及錯位相減求和求數(shù)列的通項及錯位相減求和例例3an為等差數(shù)列為等差數(shù)列,前前n項和為項和為Sn(nN*),bn是首項為是首項為2的等比數(shù)的等比數(shù)列列,且公比大于且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求求an和和bn的通項公式的通項公式;(2)求數(shù)列求數(shù)列a2nb2n-1的前的前n項和項和(nN*).-17-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)設等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因為q

9、0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,數(shù)列an的通項公式為an=3n-2,數(shù)列bn的通項公式為bn=2n.-18-考向一考向二考向三考向四考向五(2)設數(shù)列a2nb2n-1的前n項和為Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述兩式相減,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4

10、n+1-19-考向一考向二考向三考向四考向五解題心得求數(shù)列通項的根本方法是利用等差、等比數(shù)列通項公式,或通過變形轉(zhuǎn)換成等差、等比數(shù)列求通項;如果數(shù)列an與數(shù)列bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,那么數(shù)列anbn的前n項和采用錯位相減法來求.-20-考向一考向二考向三考向四考向五對點訓練對點訓練3(2021浙江浙江,20)等比數(shù)列等比數(shù)列an的公比的公比q1,且且a3+a4+a5=28,a4+2是是a3,a5的等差中項的等差中項.數(shù)列數(shù)列bn滿足滿足b1=1,數(shù)列數(shù)列(bn+1-bn)an的前的前n項和為項和為2n2+n.(1)求求q的值的值;(2)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項公式的通項公式.解:(1)由a

11、4+2是a3,a5的等差中項,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.-21-考向一考向二考向三考向四考向五(2)設cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列cn前n項和為Sn, -22-考向一考向二考向三考向四考向五-23-考向一考向二考向三考向四考向五求數(shù)列的通項及裂項求和求數(shù)列的通項及裂項求和例例4數(shù)列數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,且對任意正整數(shù)且對任意正整數(shù)n,都有都有3an=2Sn+3成成立立.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式;解:(1)在3an=2Sn+3中,取n=1,得a1=3,且3an+1=2Sn+1+3,兩式相減,得3an+1-

12、3an=2an+1,an+1=3an.a10,數(shù)列an是以3為公比的等比數(shù)列,an=33n-1=3n.-24-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得bn=log3an=n, 解題心得對于等式中含有an,Sn的求數(shù)列通項的題目,一般有兩種解題思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把數(shù)列的通項拆成兩項之差,求和時中間的項能夠抵消,從而求得其和.注意抵消后所剩余的項一般前后對稱.-25-考向一考向二考向三考向四考向五對點訓練對點訓練4Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項和項和.an0, +2an=4Sn+3.(1)求求an的通項公式的

13、通項公式;所以an是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an=2n+1.-26-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由an=2n+1可知 設數(shù)列bn的前n項和為Tn,那么Tn=b1+b2+bn-27-考向一考向二考向三考向四考向五涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和例例5等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,且且a1=2,S5=30.數(shù)列數(shù)列bn的前的前n項項和為和為Tn,且且Tn=2n-1.(1)求數(shù)列求數(shù)列an,bn的通項公式的通項公式;(2)設設cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求數(shù)列求數(shù)列cn的前的前n項和項和.對數(shù)列bn:當n=1時,b1=T1=21

14、-1=1,當n2時,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,當n=1時也滿足上式.bn=2n-1.-28-考向一考向二考向三考向四考向五(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,設數(shù)列(-1)nanbn的前n項和為An,數(shù)列(-1)nln Sn的前n項和為Bn,那么An=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,那么-2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+n(-2)n+1,-得3An=1(-2)1+(-2)2+(-2)3+(-2)n-n(-2)n+1-29-考向一考向二考向三考向四考向五當n為偶數(shù)時,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);當n為奇數(shù)時,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(n+