202X年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)4.2.1等差、等比數(shù)列與數(shù)列的通項及求和課件理

1、數(shù)列大題-2-3-4-5-1.求通項公式的常見類型求通項公式的常見類型(1)an與與Sn的關(guān)系或的關(guān)系或Sn與與n的關(guān)系的關(guān)系,利用公式利用公式(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列求通項或轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列求通項.(3)由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通項.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通項.-6-2.數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和的常用方法(1)公式法公式法:利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式.(2)錯位相減法錯位相減法:適合求數(shù)列適合求數(shù)列anbn的前的前n項和項和Sn,其中其中an,bn一個是等差數(shù)列一個是等差數(shù)列,另一個

2、是等比數(shù)列另一個是等比數(shù)列.(3)裂項相消法裂項相消法:即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和,通過累通過累加抵消中間假設(shè)干項的方法加抵消中間假設(shè)干項的方法.(4)拆項分組法拆項分組法:先把數(shù)列的每一項拆成兩項先把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項或多項),再重新組再重新組合成兩個合成兩個(或多個或多個)簡單的數(shù)列簡單的數(shù)列,最后分別求和最后分別求和.(5)并項求和法并項求和法:把數(shù)列的兩項把數(shù)列的兩項(或多項或多項)組合在一起組合在一起,重新構(gòu)成一重新構(gòu)成一個數(shù)列再求和個數(shù)列再求和,適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和.3.數(shù)列單調(diào)性的常見題型及方

3、法數(shù)列單調(diào)性的常見題型及方法(1)求最大求最大(小小)項時項時,可利用可利用:數(shù)列的單調(diào)性數(shù)列的單調(diào)性;函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).(2)求參數(shù)范圍時求參數(shù)范圍時,可利用可利用:作差法作差法;同號遞推法同號遞推法;先猜后證先猜后證法法.-7-4.數(shù)列不等式問題的解決方法(1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性.(2)放縮法:先求和后放縮;先放縮后求和,包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和,或者放縮后裂項相消再求和.4.2.1等差、等比數(shù)列與數(shù)列 的通項及求和-9-考向一考向二考向三考向四考向五等差、等比數(shù)列的通項及求和等差、等比數(shù)列的通項及求和例例1(2021全國全國,理理17)記記Sn為等差

4、數(shù)列為等差數(shù)列an的前的前n項和項和,a1=-7,S3=-15.(1)求求an的通項公式的通項公式;(2)求求Sn,并求并求Sn的最小值的最小值.解:(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通項公式為an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以當(dāng)n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.解題心得對于等差、等比數(shù)列,求其通項及前n項和時,只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可.-10-考向一考向二考向三考向四考向五對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1等差數(shù)列等差數(shù)列an的公差不為零的公差不為零,a1=25,且且a1,a11

5、,a13成成等比數(shù)列等比數(shù)列.(1)求求an的通項公式的通項公式;(2)求求a1+a4+a7+a3n-2.解:(1)設(shè)an的公差為d. 即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首項為25,公差為-6的等差數(shù)列.-11-考向一考向二考向三考向四考向五可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題例例2等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,a1=3,且且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列成等

6、差數(shù)列.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式;(2)設(shè)設(shè)bn=log3an,求求Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1.解:(1)3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,4S2=3S1+S3,4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2,公比q=3,an=a1qn-1=3n.-12-考向一考向二考向三考向四考向五解題心得無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,b2n-1b2

7、n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n,Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)-13-考向一考向二考向三考向四考向五對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練2設(shè)設(shè)an是公比大于是公比大于1的等比數(shù)列的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項和項和,S3=7,且且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式;-14-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)由得 -15-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得a3n+1=23n,bn=ln 23n=3nln 2.bn+1-bn=3ln

8、 2,數(shù)列bn為等差數(shù)列.-16-考向一考向二考向三考向四考向五求數(shù)列的通項及錯位相減求和求數(shù)列的通項及錯位相減求和例例3an為等差數(shù)列為等差數(shù)列,前前n項和為項和為Sn(nN*),bn是首項為是首項為2的等比數(shù)的等比數(shù)列列,且公比大于且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求求an和和bn的通項公式的通項公式;(2)求數(shù)列求數(shù)列a2nb2n-1的前的前n項和項和(nN*).-17-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因為q

9、0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,數(shù)列an的通項公式為an=3n-2,數(shù)列bn的通項公式為bn=2n.-18-考向一考向二考向三考向四考向五(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n-1的前n項和為Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述兩式相減,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4

10、n+1-19-考向一考向二考向三考向四考向五解題心得求數(shù)列通項的根本方法是利用等差、等比數(shù)列通項公式,或通過變形轉(zhuǎn)換成等差、等比數(shù)列求通項;如果數(shù)列an與數(shù)列bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,那么數(shù)列anbn的前n項和采用錯位相減法來求.-20-考向一考向二考向三考向四考向五對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3(2021浙江浙江,20)等比數(shù)列等比數(shù)列an的公比的公比q1,且且a3+a4+a5=28,a4+2是是a3,a5的等差中項的等差中項.數(shù)列數(shù)列bn滿足滿足b1=1,數(shù)列數(shù)列(bn+1-bn)an的前的前n項和為項和為2n2+n.(1)求求q的值的值;(2)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項公式的通項公式.解:(1)由a

11、4+2是a3,a5的等差中項,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.-21-考向一考向二考向三考向四考向五(2)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列cn前n項和為Sn, -22-考向一考向二考向三考向四考向五-23-考向一考向二考向三考向四考向五求數(shù)列的通項及裂項求和求數(shù)列的通項及裂項求和例例4數(shù)列數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,且對任意正整數(shù)且對任意正整數(shù)n,都有都有3an=2Sn+3成成立立.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式;解:(1)在3an=2Sn+3中,取n=1,得a1=3,且3an+1=2Sn+1+3,兩式相減,得3an+1-

12、3an=2an+1,an+1=3an.a10,數(shù)列an是以3為公比的等比數(shù)列,an=33n-1=3n.-24-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得bn=log3an=n, 解題心得對于等式中含有an,Sn的求數(shù)列通項的題目,一般有兩種解題思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把數(shù)列的通項拆成兩項之差,求和時中間的項能夠抵消,從而求得其和.注意抵消后所剩余的項一般前后對稱.-25-考向一考向二考向三考向四考向五對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項和項和.an0, +2an=4Sn+3.(1)求求an的通項公式的

13、通項公式;所以an是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an=2n+1.-26-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由an=2n+1可知 設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn,那么Tn=b1+b2+bn-27-考向一考向二考向三考向四考向五涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和例例5等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,且且a1=2,S5=30.數(shù)列數(shù)列bn的前的前n項項和為和為Tn,且且Tn=2n-1.(1)求數(shù)列求數(shù)列an,bn的通項公式的通項公式;(2)設(shè)設(shè)cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求數(shù)列求數(shù)列cn的前的前n項和項和.對數(shù)列bn:當(dāng)n=1時,b1=T1=21

14、-1=1,當(dāng)n2時,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,當(dāng)n=1時也滿足上式.bn=2n-1.-28-考向一考向二考向三考向四考向五(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,設(shè)數(shù)列(-1)nanbn的前n項和為An,數(shù)列(-1)nln Sn的前n項和為Bn,那么An=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,那么-2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+n(-2)n+1,-得3An=1(-2)1+(-2)2+(-2)3+(-2)n-n(-2)n+1-29-考向一考向二考向三考向四考向五當(dāng)n為偶數(shù)時,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);當(dāng)n為奇數(shù)時,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(n+