推理和證明高考題x(含答案)

1、高二數(shù)學(xué)理科第二章推理與證明高考題選L （2011年高考江西卷理科7）觀察下列各式:55=3125, 56=15625, 57 =78125,則520n的末四位數(shù)字為（）A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 81252 . （2011年高考江西卷理科10）如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M, N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（）3 2012高考江西】觀察下列事實：lxl+lyl=l的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為4 , lxl+lyl=2 的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為8,

2、lxl+lyl=3的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為12則lxl+lyl=20的不同整數(shù)解（x, y）的個數(shù)為（）A.76B.80C.86D.92 4【2012高考陜西】觀察下列不等式 131 + r <一22 21151 + + -r<->22333,11152232423照此規(guī)律，第五個不等式為5【2012高考湖南】對于 eN*,將表示為 = 4x2* xZ*" + q x2+a0x2°, 當(dāng)，=攵時 =1 ,當(dāng)OWi4攵一 1時/為?；?,定義2如下：在的上述表示中，當(dāng)旬必，S,，山中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bi 否則瓦=0.(1) b2+b4+b(y+b

3、=；(2)記G”為數(shù)列/瓦中第m個為0的項與第m+個為0的項之間的項數(shù)，則大的最大值 是.6【2012高考湖北】傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面點或用小石子表示數(shù).他們研究過 如圖所示的三角形數(shù)：1 3610將三角形數(shù)1,3610,記為數(shù)列“),將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組 成一個新數(shù)列E .能夠推測：(1) 2 0 2是數(shù)列。 中的第 項：(2fe -i=.(用 k 表示)Y7. (2011年高考山東卷理科15)設(shè)函數(shù)f(x) = (x > 0),觀察：x + 2x y；(x) = /(%) = -, x + 2%(x) = /"(x) =X3x +

4、 4x力=/5")=ff<x) = f (&*) =X15x + 16根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng) e N+ 且 N 2 時，fn (x) = /(£(幻)=8. (2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(x, y)為整點，下列命題中準(zhǔn)確的是(寫出所有準(zhǔn)確命題的編號).存有這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點如果k與b都是無理數(shù)，則直線y = kx+b不經(jīng)過任何整點直線/經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)/經(jīng)過兩個不同的整點直線)，=履+。經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與。都是有理數(shù)存有恰經(jīng)過一個整點的直線9.

5、(2011年高考湖北卷理科15)給個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)W4時, 在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： n=2B H H由此推斷，當(dāng)門=6時，黑色正方形目不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有種:(結(jié)果用數(shù)值表示) 10. (2011年高考陜西卷理科13)觀察下列等式1 = 12+34-4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為.11. (2011年高考湖南卷理科16)對于“eV,將表示為n = a0 x 2k + x2k + a2 x 2A-2 + . + ak1 x 21 +

6、 ak x2°,當(dāng) i=O 時，0=1,當(dāng) 攵時,a,為0或L記/()為上述表示中s為0的個數(shù)(例如：1 = 1x2。' 4= 1x22+0x21+0x2。，故/ =0, /(4)=2),則127(1)7(12)=：(2) Z2"")=.n-l12.【2102高考福建】某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常 數(shù)：sin2130+cos217°sin 13°cos 17°； sin5°+cos2l 50sin 15°cos 150； sin? 180+cos2l 2°sin 1

7、8°cos 120；(4)sin2( 18°) 4- cos248°sin( 18°)cos48°：(§)sin2( - 25°)+cos2550 - sin( - 25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)：(2)根據(jù)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.13. (2011年高考安徽卷理科19)(I )設(shè) Nl,證明 x + y + 4+ + xy, xy x y(11) <a<b<c ,證明 log。b + log, c + logr

8、a < log/? a + log/? + logfl c.14. (2011年高考湖南卷理科22)已知函數(shù)/(1)=/, g(x)=x + yx.求函數(shù)力(x) = /(x)-g(x)的零點個數(shù)，并說明理由：(口)設(shè)數(shù)列%)(£ N)滿足q=a(a>0)J®+J=g(%),證明：存有常數(shù)M, 使得對于任意的 wN'，都有。” 4M.2011年高考試題數(shù)學(xué)(理科)推理與證明1. （2012年高考江西卷理科7）觀察下列各式:55=3125, 56 =15625, 5? =78125,則5?°" 的末四位數(shù)字為A. 3125 B. 562

9、5 C. 0625 D. 8125【答案】D【解析】觀察發(fā)現(xiàn)塞指數(shù)是奇數(shù)的，結(jié)果后三位數(shù)字為125,故排除B、C選項;而52。” >3125 故A也不準(zhǔn)確，所以選D.2. （2011年高考江西卷理科10）如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的 逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi) 壁的一周，點M, N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是答案：A解析：由題意可知，X和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點，黨小圓沿著大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動時，點M沿著直線向右移動，而點N先沿著直線 向下移動，再沿著直線向上移動，故選A.8. （2011年高考安徽卷理

10、科15）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（K y）為整點，下列命題中準(zhǔn)確的是 （寫出所有準(zhǔn)確命題的編號）.存有這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點如果k與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點直線/經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)/經(jīng)過兩個不同的整點直線丁=辰+。經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與。都是有理數(shù)存有恰經(jīng)過一個整點的直線 【答案】【命題意圖】本題考查直線方程，考查邏輯推理水平.難度較大.【解析】而心令v = x+L滿足I：;k = 6、b = 4i, v = V2.V + V2 . Jr 2點（一1,0）：準(zhǔn)確，設(shè)y = H是過原點的直線，若此直線過兩個整點（內(nèi),y）

11、,（，為），則仃y = kx1, y2 =匕、，兩式相減得y - y2 = %（內(nèi)一），則點（占一馬，凹一乃）也在直線），=履上，通過這種方法能夠得到直線/經(jīng)過無窮多個整點，通過上下平移y =履得對于y =奴+6也成立；錯誤，"M與b都是有理數(shù)時，令y = x+顯然不過任何整點：2準(zhǔn)確.如：有線y = y/2x恰過一，個整點【解題指導(dǎo)】：這類不定項多選題類型，難度非常大，必須每一個選項都有充足的把握確定 其正誤，解題時須耐心細致。9. （2011年高考湖北卷理科15）給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)nW4時， 在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

12、0OBRHUB BnBiMB GEBnMQi 12 3 4 = = = = n n n nnHdnHB由此推斷，當(dāng)"6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有 種.（結(jié)果用數(shù)值表示）答案：21, 43解析：根據(jù)著色方案可知，n=6時，若有3個黑色正方形則有3種，有2個黑色正方形 有4+3+2+1+1=11種，有1個黑色正方形有6種；有0個黑色正方形有1種，所以共有 3+11+6+1=21 種.n=6時，當(dāng)至少有2個黑色正方形相鄰時，畫出圖形可分為:有2個黑色正方形相鄰時，共23種，有3個黑色正方形相鄰時，共12種，有4個黑色正方形相鄰時，共5種

13、，有5個黑色正方形相鄰時，共2種，有6個黑色正方形相鄰時，共1種.故共有 23+12+5+2+1=43 種.10. (2011年高考陜西卷理科13)觀察下列等式2+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第個等式為【答案】 + (，+1) + ( + 2) + + (3 2) = (2 -1)【解析】：第個等式是首項為，公差1,項數(shù)為2 1的等差數(shù)列，即 + 5 + 1) + ( + 2) + -,+(3”-2)=(2-1)+(2"一"："7 741=(2/2 1)2211. (2011年高考湖南卷理科16)對于 wN*,將表

14、示為n = a0x2k +a x2A"! +«2 x2i-2 +-+akx2 +ak x2。，當(dāng) i = 0 時,a, =,當(dāng)時，凡為0或1.記/()為上述表示中巴為0的個數(shù)(例如：1 = 1x2°,4 = 1x22+0x21+0x2°,故/(1)=0, /=2),則(1)/(12)=；(2)答案：/(12)= 2; X2""1 = 1093 答案：(1) 2； (2) 1093解析：(1)因 12 = 1x23+1x22+0x21+0x2°,故"12) = 2；(2)在2進制的%(%22)位數(shù)中，沒有0的有1個，

15、有1個0的有CL個，有2個。的有個，有機個0的有個，有攵一1個0的有。；二；=1個，故對所有2進制為k位數(shù)的數(shù)，在所求式中的的和為: 1-2°+ C12+ C3 2? + +。£； 2'7= 3J 01277又127 = 27 -1恰為2進制的最大7位數(shù)，所以工2/(n) = 2° + >人=1093。 -1A-213. (2011年高考安徽卷理科19)(本小題滿分12分)(I )設(shè)x 21, vNl,證明 x+y+ -!"<!«+_L + xy, xy x y(II ) <a<b<c , log b +

16、ogh c + Iogc a < ogh a + logc b + logfl c.【命題意圖】：本題考查不等式的基本性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)換底公式等基本知識, 考查代數(shù)式恒定變形水平和推理論證水平。【證明】:(【)因為xNLyNl,所以要證明：x + y+ < + + xy xy x y只要證明：xy(x +y) + l < y + x + (xy)2只要證明：(xy)2 -l + (x+y)-xy(x+y)>0只要證明：(個- 1)(個+1 -x- y) 2 0 只要證明：(沖_l)(x_l)(y_l)N0 因為上式顯然成立，所以原命題成立.(II)設(shè)logRr

17、 , logft c-y ,則 k)g, a =，一 =-!- =!= >logflc log- 1- logclogj? xy1叫a log” blog/二一，log 尸一，log°Cf , y yA所要證明不等式即為x + y +-« L +冷，XV x.9： c>b>a> , ：. x = lognb >1, y = oghc 21,由(I)知所證明的不等式成立.14. (2011年高考湖南卷理科22)(本小題滿分13分)已知函數(shù)/'(X)= /, g(x) = x + j7.（I）求函數(shù)Mx）= /（x）g（x）的零點個數(shù)，并說

18、明理由：（口）設(shè)數(shù)列%）（"）滿足。 =。（。0）J（%+J=g（%）,證明：存有常數(shù) M, 使得對于任意的 wN:都有* 4 M.解：（I）由力（x）=x3-X-五知，xwo,y）,而力（0）= 0,且/?（1） = 一1 0 , 耳2）= 6應(yīng)0,則x = 0為力（工）的一個零點，且力在（1,2）內(nèi)由零點， 所以力（X）至少有兩個零點.,1 -1 -11 -2解法 1 hx) = 3x2 - -x 2,記0(元)=3/-1一工工則d(x) = 6x +-x 2 當(dāng)XW（0,M）時,“（x）0,所以就9在（0,48）上單調(diào)遞增,則0）在（0,例）上至多有又因為夕（1）0, /y一個零點,。，則3（x）在 彳內(nèi)有零點.所以9）在（0,+oc）上有且只有一個零點，記此零點為修，則當(dāng)xw（0，M）時，0（x）3（X） = O;當(dāng)X£（X*c）時, 見） 8G J = 0;所以，當(dāng)再）時,成）單調(diào)遞減,而力（0）= 0,則力（1）在（0,再內(nèi)無零點；當(dāng)X£（X*o）時, 力（6單調(diào)遞增，則力（6在（內(nèi),”）內(nèi)至多只有一個零點，從而/?（6在（0,引力）上至多有一個零點.綜上所述，力（工）有且只有兩個零點._n_1 _3解法 2 由（工）二工/一1一X2 ,記夕（1）=/ - 1-