電磁場與電磁波第七章習題及參考答案

1、習題7-1、如果Ez,Hz已知，由無源區(qū)的麥克斯韋方程，求圓柱坐標系中E IE I H I H與Ez,Hz 的關系。解：設 EEo( , )e jkzz ； H Ho( , )ejkzzE JkzE ；上 ZJkzH2在圓柱坐標系中展開無源區(qū)的麥克斯韋方程1 HZJkzH1 EZJkzEJkzHHZJkzEEZ由以上幾式得kc2(JkzEZEZ生)式中k2EZJkEZ7-2證明(證明：7.2-6) 式為(7.2-4)式的解。由(7.2-6)式 V(Z) Vo e Z VoeV(Z)可得：V''(Z) (Voe Z Voe z) 2因此dvr2V 0 即(7.2-4)式dz7-2

2、、從圖7.2-2的等效電路，求(7.2- 5 )和(7.2-6)式對應的傳輸線方程的時域形式。解：圖 7.2-2dV(z) dzd(z) dz 串聯(lián)支路上的電壓為PljV iRdz Lidzd-dt并聯(lián)支路上的電流為i uGidz CIdZdUdt由(1)和(2)式得ZIl(Z)YIV(Z)dVdidV(iR1L1)dzdt(3)di(uG1 C1 U)dz1 dt(4)兩邊同除dz得dVIdi X(iR1L1)(5)dzdtdidu、(UGICl )(6)dzdt(5 )、(6)式就是(7.2- 5 )和(7.2-6)(7.2-(7.2-(1)式對應的傳輸線方程的時域形式。Z 二十二=TJ

3、J1-F1卩*刖I/4 Ci7-3、由 2- 10 )、(7.2-3) 、(7.2-4) 和2- 9 )式推導2- 11 )和(7.2-1 2)式。7-6、型號為SYV 5 2 2的同軸電纜內(nèi)導體外徑為 0.68mm,外導體內(nèi)徑為2.2mm,內(nèi)ZIRIj LIYiGi j Cl代入 ,Z1Y1并等式兩邊平方得j2R1G12LiCi(C1R1 L1G1)令等式兩邊實部和虛部分別相等，得R1G1LI CI2(C1 Rl L1G1)解以上兩方程，得2- 11 ).2【.(R122l1)(g12C12) (R1G1S).；(R22l12)(G122 2 2C1) (R1G1L1C1)2- 12 )7-

4、4、證明(7.2-13)式為(7.2-7)式的解。解V(Z) V0 eZ V°ez2d V(Z) dz22V(z)即d2V2d 2Vdz02.2的7-5、同軸線內(nèi)導體外徑為 d 3.04mm,外導體內(nèi)徑為7mm,內(nèi)外導體之間為 非磁性介質(zhì)，求特性阻抗。解：特性阻抗 Z 60 rInb 60、1 In 7/233.74 。 r a V 2.23.04/2外導體之間為r 1.99的非磁性介質(zhì)，求特性阻抗。解：特性阻抗 Z 60 rina 60 i；9in049937-7、特性阻抗為75的傳輸線，終端負載為 ZL 50 。求：（1）終端的反射系數(shù)；（2）傳輸線上的電壓駐波比；（3）距終端l

5、/8, /4,3 /8, /2,處的輸入阻抗。解：（1）終端的反射系數(shù)ZLZ50 751 .ZZL75 505（2）電壓駐波比16/51.5 ；14/5ZL jZ tan 丨(3)距終端丨輸入阻抗Zin Z Z jZ L tan 丨其中 12/ l 2 1/7-8、特性阻抗為ZC300 的傳輸線,終端接負載ZL300j300 ,波長為Im。所以，Zin ( /8)69.2328.84 jZin ( /4)112.5Zin (3 /8)69.23 28.84 jZin ( /2)50Zin ( )50求終端反射系數(shù)、駐波比、電壓波節(jié)點及波腹點的位置。解：終端反射系數(shù)ZL ZCj300ZC ZL

6、600j3000.447ej63'4 ；駐波比2.62；18 8v/f 3 10 /3 10 1m電壓波腹點位置Imin nn/2 0.176m24電壓波節(jié)點的位置ImaX min 門/20.426m47-9、特性阻抗為75 的傳輸線，終端負載為 ZL ,測得距終端負載 20cm處是電壓波節(jié)點, 30Cm處是相鄰的電壓波腹點，電壓駐波比為2,求終端負載。設入射電壓波為 V 10e 負載處Z 0,寫出總電壓、電流波。解：距終端負載 20 cm處是電壓波節(jié)點，30 Cm處是相鄰的電壓波腹點，相鄰的電壓波腹點和波節(jié)點距離為 302010 Cm ,那么終端就是電壓波節(jié)點。4 1040 Cm21

7、 11丄，由于終端就是電壓波節(jié)點，因此13ZL ZZZLZLZ 75/2傳輸線上的總電壓電流波可寫為V(Z) V°(ejzej Z)I(Z) VMejZ ejz)Z7-10、特性阻抗為75 的傳輸線，終端負載為ZL ,測得距終端負載20Cm處是電壓波腹點,30 Cm處是相鄰的電壓波節(jié)點，電壓駐波比為2 ,求終端負載。解 距終端負載20 cm處是電壓波腹點，30 cm處是相鄰的電壓波節(jié)點，相鄰的電壓波腹點和波節(jié)點距離為302010 Cm，4 1040 Cm那么終端就是電壓波腹點。21 11丄，由于終端就是電壓波節(jié)點，因此13ZL ZZLZL1507-11、特性阻抗為75 的傳輸線，終端

8、負載為ZL ,測得距終端負載30 Cm處是相鄰的電壓波節(jié)點，電壓駐波比為2 ,求終端負載。解210cm處是電壓波腹點,30 1020 Cm，80 Cm4電壓波腹點到終端的距離I max為l max取n 0,則l max1080終端反射系數(shù)為j /2ZLZLZLFZ*Z (4 j3) 751 j15537-12、特性阻抗為Z的傳輸線，終端接一負載，設終端負載處電壓和電流分別為VO 和 1 0 ，證明傳輸線上任一位置的電壓 V(Z)和電流I(Z)和V0和I0的關系可寫為V(Z)cos( Z) jZ sin( Z) VOI (Z)jsin( Z) cos( Z) °解 設一段長為I、特性阻

9、抗為Z的無損耗傳輸線，左端接信號源，右端接負載 ZL ,如圖所示。信號源產(chǎn)生沿Z方向傳輸?shù)碾妷翰ê碗娏鞑閂Vo e j z(1)j Z圖無損耗傳輸線部分被反射。反射電壓電流波可寫為部分被負載吸收,VeV(Z)I(Z)cos( Z)jsin( Z)jZ sin( Z) v0 cos( Z) IoVVo ej Z(3 )VojZIej(4 )Z傳輸線上的總電壓電流波可寫為V(Z)Voe j zVo ej Z(5)Voj ZVoj ZI(Z)ee入射電壓電流波傳輸?shù)截撦d后,在終端Z 0，VoVoVo(7)IVoVoIo “(8)ZZ解得Vo2 (VOZIo)(9)VoVOZIo)(io)將(9)、

10、(io)代入(5)、(6)式得87-13、用一段特性阻抗為ZC 50 , P 1.50 10 m/s ,終端短路的傳輸線,f 300MHZ的頻率上形成（1） C 1.60 10 3 PF的電容;（2）L 2.65 10 2 H的電感。求短路傳輸線的長度。解： Vz f 1/2m， l 4 l，Zin(I) jZtan I(1) Zin(I)j50 tan I,可得:j2 fC電容 I 0.125m(2) Zin(I) j50tan I j2 fL ,可得：電感 I 0.0625m507-15、某儀器的信號輸入端為同軸接口，輸入阻抗為75,如果要使特性阻抗為 ZC7-14、如果以上電感、電容用開

11、路傳輸線實現(xiàn)，傳輸線應多長?解：Zin(I)jZctg I（1）Zin (I)j 50ctg I,可得j2 fC電容I 0.375m（2）Zin(I)j 50ctg Ij2 fL ,可得:電感I 0.3125m當l/4 v/ f /40.25m 時，Zin(I)Z2Zl,可得ZZLZC. 75 50 61.23 為所求。Zin(I)ZC 50ZL 75ZZLjZtan lZ jZ L tan I7-16、某天線的輸入阻抗為 75 j37.5 ,天線作為負載與特性阻抗為ZC75的傳輸線相連。要使傳輸線上無反射，應如何進行阻抗匹配變換？解：這里用兩種解法。(1)采用如圖所示的方法，先用特性阻抗為Z

12、C 75長為I1的傳輸線，將負載的復阻抗轉(zhuǎn)換為電阻 R ,然后用長度為I2/4特性阻抗為Z的傳輸線，使其輸入阻抗等于ZC 75 ,即實現(xiàn)傳輸線匹配。終端反射系數(shù)為ZLZLZCZC(75j37.5)75(75j37.5)750.2425ej 0.422傳輸線l1輸入端的反射系數(shù)為(l1)j 2 l1Le0.2425ej(2 l1 0.422 )為使傳輸線l1輸入端的輸入阻抗為電阻，傳輸線l1輸入端的反射系數(shù)應為實數(shù)，由上式得(a)當 l10.1445 時，(h)0.2425 ,1.64傳輸線l 1輸入端的輸入阻抗為R ZCl45.73ZZeR 58.57(b)當 l10.3945 時，(l1)0

13、.2425 ,1.64傳輸線11輸入端的輸入阻抗為R ZC123Z ZC R 96(2)先用特性阻抗為ZC 75長為Ii的短路傳輸線并聯(lián)在負載兩端，以抵消負載導納的虛部，然后用長度為2/4特性阻抗為Z的傳輸線接在負載與傳輸線之間，使其輸入阻抗等于ZC 75 ,即實現(xiàn)傳輸線匹配。負載導納為YL1ZLGLjBL175j37.545 7525 75為抵消負載導納的虛部，短路傳輸線的輸入導納應為Yin1jZctan( h)jBL2 l由此得 tan(1)2.5計算得 l10.189并聯(lián)短路傳輸線后，負載阻抗變?yōu)镽'l1GL75 54用長度為12/4特性阻抗為Z的傳輸線進行阻抗變換ZZcR

14、9;L83.857-17、推導矩形波導中 TE波場分量(7.4 佝式。解：Ez 0；H z(x, y,z) Ho(x, y)ejkzz2 2tHz(,y,z) kcHz(,y,z)0 ;用分離變量法：令 Hz(,y) X()Y(y)代入第三式可得：(X)X (X)k×,Y (y)Y(y)ky ；其中 k； k；所以 X (x) CICoSkXX c2 Sin kxxY(y) C3 coskyy C4Sin kyHz(x, y,z)(Cl COSkXXC2 Sin kxx)(C3 COSkyy C4 Sinky y)e JkZZ由邊界條件,0邊界,Hx(0,y,z)EZjkzH-Z)X

15、H(a,y,z)KF(JEZjkH-Z)X0邊界,Hy(X,0,z)EZjkb邊界,Hy(XlblZ)于是，可得k最終得到HXHyEXEZXjkzH-Z)ynbH Z H0cos( x)COS(- ab，kya.kzH 0 Z mP.kZH0m,n0,1,2y)e JkZZ(A)sin( x)cos( J y)e JkZZ aab()COS(- X)Sin(±y)e JkZZbabH 0 nmnjkzzjp (E)COS(IrX)SinUy)eEyj*mkc7-18、電磁波在分別位于X 0,a處的無限大理想導體平板之間的空氣中沿Z方向傳輸。求()sin(丄 X)CoS(L y)e j

16、kzzaab解：無限大理想導體平板之間波沿Z方向傳輸，那么場與 y無關TE波的各電磁場分量以及各模式的截止波長、相速、波導波長和波阻抗。 解：無限大理想導體平板之間波沿Z方向傳輸，那么場與 y無關對于TE波，EZ 0, H Z可以表示為H z(x,z) Ho(x)e jkzZ( 1)式中Ho(x)滿足方程H°(x)dx2kcH°(x)(2)解方程得HO(X) Cl cos(kCX) C2 Sin(kCX)HZ的通解為H z(x, Z) C1 cos(kcx)C2 Sin(kcx)ejkzZ上式代入1- 10 b)式Ey2(jkzEZHZ考慮到EZ 0 ,得Ey 占(jkCk

17、g sin( kcX) k© cos(kcX)F面由理想導電壁的邊界條件Et 0 ,確定上式中的幾個常數(shù)。在2個理想導電壁上,Ey是切向分量，因此有(1) 在X 0的理想導電壁上，由 Ey(X 0,z) 0,得C2 0(2) 在X a的理想導電壁上，由Ey(X a, Z) 0,得kca m即由此，得kc am 1,2,3,HZ(X) Z) H0cos(x)e(5)aImkc（6）akz 、. k2 k：（7）將（5）式代入 1- 10 ）式，就得到波導中TE波的其他場分量Eyjsin()emajkzZHX 占(jkzdkcXjasin( jma2kc2akz.k2 k：k1 ( C)

18、2ZTMEyHXkz1 ( c)2VPkz1 ( )2C2kz1( C)2Z方向傳輸。求7-19、電磁波在分別位于 X 0,a處的無限大理想導體平板之間的空氣中沿TM波的各電磁場分量以及 TM 1模式的截止波長、相速、波導波長和波阻抗。對于TM波，HZ O, EZ可以表示為Ez(x, Z)Eo(x)e jkzz(1)式中Eo（x）滿足方程d2dx2Eo(x) kEo(x)0(2)解方程得EO(X) OI cos(kCX) C2 Sin(kCX)EZ的通解為Ez(x,Z) ccos(kcx) C2Sin(kcx)e jkzZ F面由理想導電壁的邊界條件EtO ,確定上式中的幾個常數(shù)。在2個理想導

19、電壁上,(2)在X0的理想導電壁上，由EZ(X 0,z) 0,得CI0(2)在Xa的理想導電壁上，由EZ(X a, Z) 0 ,得kca m即mkc, ma1,2,3,由此,得EZ是切向分量，因此有Ez(x,z)(5)mjkzZE0 Si n(x)ea(6)kc(7)將（5）式代入 1- 10 ）式，就得到波導中TM波的其他場分量2 2aEXk:(jkz'EZ)X1EZHy,2(jZ)kcXCjkzcos(-)e jkzzmaj UACOS(Je jkzzmakcmkzkck 1 ()2ZTMEX()2CVPkz2kz1 ( )2C1 ( )2CTMi模式的截止波長、相速、波導波長和波

20、阻抗C 2aVP 1(2a)2gEXkzTZTMHt 亠 ZI（2a）7-20、矩形波導尺寸為58.2mm 29.1mm,中間為空氣，當f 4.5GHz的電磁波在其中傳輸時，求有那些傳導模式，并求這些模式的g， P，C。如果波導中填滿r 2.2，r1的介質(zhì)，又有哪些傳導模式?解：O v/ f1/150.0667m66.7mm ；c,TE102a116.4mmc,TE20a58.2mmc,TE012b58.2mmc,TE02b29.1mmc,TM111112a52.05mm1b2c,TE302a338.8mmc,TE032b319.4mmTE21c,TM 2141.15mmC TE 12TM 1

21、2CTE 22TM 22可見，僅可傳41a2 b2TE10如果波導中填滿28.23mm4b226.02mm4b2模式。2.2, r1的介質(zhì)，則0 v/ fV( . r f)33.3mm可傳 TE10 , TE20, TE01 , TE11TM 11, TM 21, TE21, TE30 模式。2cTE01 2a 0.08 m7-21、截面積為4cm的空氣填充方波導，對于f 10GHz的波，有那些傳導模式?CTE11CTM 112a20.05657 mCTE 20CTE 02a 0.04 m解f 10GHz ,0.03 mfcTE10cTE21cTE122aCTM 21 CTM 12 0.035

22、8 m.5CTE 22CTM 222a 0.02828 m 8cTE30CTE 03Ia 00267 mTE0、 TE01、 TE1、 TM、TE21、 TE12、TM 21、TM 127-22、矩形波導尺寸為1.5cm 0.7cm，解：波長與尺寸的關系為2a中間為空氣，求單模傳輸?shù)念l率范圍。所以,f1 2a故范圍為10GHz，f220GHz,1020GHz 。7-23、空氣填充的矩形波導尺寸為 中形成駐波，相鄰波節(jié)點距離為22.86mm 10.16mm ,單模傳輸，當終端短路時，波導 23mm ,求電磁波頻率。解：已知 g 2%n 46mm ；所以,32.42mm1必c/9.25GHZ7-2

23、4、正方形波導填充r 2的非磁性理想介質(zhì)，頻率為3GHz的波工作于主模，群速為108ms。計算波導截面尺寸。解:2.121 m/s f 3GHz，V 3 100.07071 mf f ,2VP1加'dkz d1VJ(廠)2 VVg1dkzd7-25、1I2Y(2a)1(2a)2V. 1(一)22.121108X 2a1(0.07071)22 108 m/s2a0.070710.148 m1 (2.221)2頻率分別為f13997MHZ與f24003MHZ電磁波在空氣填充的矩形波導58.2mm 7mm中，單模傳輸，傳播了 1000米，求兩不同頻率的時延差是多少。3997MHZC0.075

24、06 m f14003MHZ2a 0.1164C0.07494 m兩不同頻率的時延差是t-L1 ( 1)2CVp1丄LC：1 (二)2Vp23.33106 0.76430.765292.94 10 9 S7-26、工作波長為28mm的電磁波在尺寸為58.2mm 29.1mm的空氣填充的矩形波導中多模傳輸，傳播了1000米，求TE10和TE20兩模式的時延差是多少。28mm，C 2a 0.1164 m， C a0.0582 mt丄Vp1Vp2LI3.33610 0.970.8767 1 ()260.31 10 S1( CI)21 ()c21解： CI f 75mm應滿足a 2a ,所以a 75m

25、m， a 75I237.5mm，可取 a 50mm, b 25mm。7-28、設計矩形波導，使頻率在(4 0.3)GHZ之間的電磁波能單模傳播，并至少在兩邊留有10 %的保護帶。解：f14 0.3 3.7GHz, f2 4 0.3 4.3GHZ ；設TE10波截止頻率為fc1 , TE20波截止頻率為fc2 ,則flfc1(1 0.1)2C- 1.1Cf2 fc2(1 0.1)0.9a可得：a 44.6mm, a 62.8mm故選擇a 50mm, b 25mm ,可滿足要求。7-29、無限長矩形波導 a b中Z 0為空氣，Z 0段為r 1.5的理想介質(zhì)，頻率為 f的電磁波沿Z方向單模傳播，僅考慮主模時，求 解：Z 0區(qū)域的駐波比。0段波阻抗乙反射系數(shù)Z JZ2乙駐波比7-30、矩形波導尺寸為58.2mm 7mm ,工作頻率為3 106Vm ,求該波導能傳輸?shù)淖畲蠊β?。解?c/ f 75mm4GHz ,空氣的