“數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運用

1、博學(xué)而篤志，切問而近思 “數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運用一、以數(shù)助形“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，而這兩個方面是緊密聯(lián)系的體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中， 包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個方面“數(shù)”與“形”好比數(shù)學(xué)的“左右腿”全面理解數(shù)與形的關(guān)系，就要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩個方面來體會此外還應(yīng)該注意體會“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢與局限性，相互補充“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非”華羅庚的這四句詩很好地總結(jié)了“數(shù)形結(jié)合、優(yōu)勢互補”的精要，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位要在解題中有

2、效地實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點，從“以數(shù)助形”角度來看，主要有以下兩個結(jié)合點：（1）利用數(shù)軸、坐標系把幾何問題代數(shù)化（在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問題代數(shù)化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等 例1已知平面直角坐標系中任意兩點和之間的距離可以用公式計算利用這個公式計算原點到直線的距離解：設(shè)是直線上的任意一點，它到原點的距離是當時，所以原點到直線的距離為【說明】建立坐標系，利用坐標及相關(guān)公式處理一些幾何問題，有時可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點）在高中“解析

3、幾何”里，我們將專門學(xué)習(xí)利用坐標將幾何問題代數(shù)化例2已知的三邊長分別為、和（m、n為正整數(shù)，且）求的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）【分析】已知三角形三邊求面積一般稱為“三斜求積”問題，可用“海倫公式”計算，但運用“海倫公式”一般計算比較繁，能避免最好不用本題能不能避免用“海倫公式”，這要看所給的三角形有沒有特殊之處代數(shù)運算比較過硬的人可能利用平方差公式就可以心算出來：，也就是說，的三邊滿足勾股定理，即是一個直角三角形“海倫公式”：三角形三邊長為a、b、c，p為周長的一半，則三角形的面積S為：解：由三邊的關(guān)系：所以是直角三角形所以的面積【說明】利用勾股定理證明垂直關(guān)系是比較常用的“以數(shù)助形”的手

4、法另外，熟練的代數(shù)運算在這道題中起到了比較重要的作用代數(shù)運算是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個基本功，就像武俠小說中所說的“內(nèi)功”，沒有一定的內(nèi)功，單單依靠所謂的“武林秘笈”是起不了多少作用的例3直線與拋物線相交，兩交點的橫坐標分別為、，直線與x軸的交點的橫坐標為求證：【分析】本題是研究拋物線和直線相交的相關(guān)問題，只是由于a、b、c的符號不確定，導(dǎo)致拋物線和直線在坐標系中位置不確定，考慮問題需要進行分類討論，比較麻煩如果將問題代數(shù)化，看成有關(guān)方程的問題，進行相關(guān)的計算，就省去了分類的麻煩解：直線與x軸的交點的橫坐標為，直線與拋物線兩交點的橫坐標分別為、，、為關(guān)于x的一元二次方程的兩個不等實根，例4將如圖的五個邊

5、長為1的正方形組成的十字形剪拼成一個正方形【分析】這是一類很常見的問題如果單單從“形”的角度來思考，恐怕除了試驗，沒有其它更好的辦法了但是如果我們先不忙考慮怎樣剪裁，而是先從“數(shù)”的角度來算一下，我們不難利用面積算出剪拼出來的正方形邊長應(yīng)該是現(xiàn)在我們只需要在圖中找出來一段邊長為的線段，以此為一邊作一個正方形（如圖），我們就不難設(shè)計出各種剪裁方法了【說明】有人把這種方法叫做“面積法”，其實“面積法”這個名字并沒有揭示這類方法的所有本質(zhì)“面積”是剪拼問題中的一個“不變量”，幾乎所有的剪拼問題，都可以先抓住“面積”這個不變量來進行“數(shù)”的計算另一方面，“面積”本身就是從“數(shù)”的角度來刻畫“圖形”的大

6、小特征的一個概念因此，所謂“面積法”，實際上就是“數(shù)形結(jié)合”這種數(shù)學(xué)思想的一種具體體現(xiàn)二、以形助數(shù)幾何圖形具有直觀易懂的特點，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問題，常常會產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅幾何直觀運用于代數(shù)主要有以下幾個方面：（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：正方形的分割圖可以用來記憶完全平方公式；將兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式；等等（2）利用數(shù)軸或坐標系將一些代數(shù)表達式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問題，或者簡化代數(shù)運算比如：絕對值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點之間的距離；數(shù)

7、的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實數(shù)的取值范圍；互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱（更一般地：實數(shù)與在數(shù)軸上關(guān)于對稱，換句話說，數(shù)軸上實數(shù)關(guān)于的對稱點為）；利用函數(shù)圖像的特點把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對稱軸、開口、判別式、兩根之間的距離，等等；一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與軸的交點；函數(shù)解析式中常數(shù)項的幾何意義是函數(shù)圖像與軸的交點（函數(shù)在時有意義）；銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例例5已知正實數(shù)，求的最小值分析：可以把整理為，即看作是坐標系中一動點到兩點（0，2）和（2，1）的距離之和，于是本問題轉(zhuǎn)化為求最短距離問題

8、解：，令、A（0，2）和B（2，1），則作B點關(guān)于x軸的對稱點，則y的最小值為例6已知，求證：【分析】根據(jù)正切函數(shù)的意義不難構(gòu)造出滿足條件的角、（如圖），怎樣構(gòu)造這兩個角的和是解決這個問題的關(guān)鍵將圖（1）中下面的圖翻轉(zhuǎn)到上圖的下面，就形成了如圖（2）的圖形，角也就構(gòu)成了證明：如圖（2），連接，易證：，從而是等腰直角三角形，于是： 圖（1） 圖（2）例7求函數(shù)的最小值【分析】如圖，設(shè)數(shù)軸上表示數(shù)1、2、3、x的點分別為A、B、C、P（P為動點），則表示P到A、B、C三點之間的距離之和，即容易看出：當且僅當點P和點B重合時，最小，所以例8若關(guān)于x的方程的兩根都在1和3之間，求k的取值范圍【分析】令

9、，其圖象與x軸的橫坐標就是方程的解由的圖象可知，要使兩根都在1和3之間，只須：，同時成立，由此即可解得或其中，表示時的函數(shù)值解：令，由題意及二次函數(shù)的圖象可知：即解得：或【說明】一元二次方程，一元二次不等式均與二次函數(shù)有密切的關(guān)系，有關(guān)二次方程、二次不等式中較繁難的問題運用二次函數(shù)的圖象來解決常常會起到意想不到的效果例9若，且，求證：方程有兩個相異實數(shù)根【分析】首先可以想到的思路當然是證明，但這并不容易注意到二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，把“二次方程有兩個相異的實根”這個代數(shù)命題“翻譯”成幾何命題就是“二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點”考慮到此時，拋物線開口向上，這個幾何命題可以進一步等價轉(zhuǎn)化成“二

10、次函數(shù)的圖象有一部分位于x軸的下方，再把它翻譯成代數(shù)命題就是“二次函數(shù)至少在某一點上的函數(shù)值小于0”證明：考查函數(shù)，此拋物線開口向上又，即，當時，二次函數(shù)的值故拋物線與x軸有兩個交點，從而方程有兩個不等實根例10已知：對于滿足的所有實數(shù)p，不等式恒成立，求x的取值范圍【分析】不等式可以變形為考查二次函數(shù)和一次函數(shù)原不等式的幾何意義是“二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上方”原題條件的幾何意義是“無論實數(shù)p取之內(nèi)的什么實數(shù)，二次函數(shù)的圖象總是在一次函數(shù)的圖象的上方”把原題所求的問題重新表述一下，就是：當x取那些實數(shù)時，可以保證“無論實數(shù)p取之內(nèi)的什么實數(shù)，二次函數(shù)的圖象總是在一次函數(shù)的圖象的上方”

11、這個命題正確現(xiàn)在我們研究這兩個函數(shù)的圖象（如圖）：二次函數(shù)的圖象是一條固定不變的拋物線但是一次函數(shù)的圖象隨之p的變化繞（1，0）旋轉(zhuǎn)，當，時，是與x軸重合的一條直線；當，是一條截距為4的直線，它與拋物線的交點坐標為（1，8）當實數(shù)q取遍之內(nèi)的所有實數(shù)時，直線所過了圖中的陰影區(qū)域結(jié)合圖形，我們再一次把原問題重新表述一下：當x取哪些實數(shù)時，可以保證“二次函數(shù)的圖象總是在圖中的陰影區(qū)域的上方”觀察圖象，我們不難得到或，所以原問題的結(jié)論就是：x的取值范圍是或【說明】本題一開始為什么要對不等式作這樣的變形？希望大家在完全理解這道題的解題思路后認真思考一下這個問題，習(xí)慣對這類問題的反思在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常

12、重要利用函數(shù)圖象解決不等式問題是一種比較常見的數(shù)形結(jié)合的方法，這種方法的要點是把不等式變形成兩個可以畫出圖象的函數(shù)（值）比較初三數(shù)學(xué) “數(shù)形結(jié)合”習(xí)題（1）1已知平面直角坐標系中任意兩點和之間的距離可以用公式計算利用這個公式計算原點到直線的距離2已知的三邊長分別為、和（m、n為正整數(shù)，且）求的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）3直線與拋物線相交，兩交點的橫坐標分別為、，直線與x軸的交點的橫坐標為求證：4將如圖的五個邊長為1的正方形組成的十字形剪拼成一個正方形5已知正實數(shù)，求的最小值6已知，求證：7求函數(shù)的最小值8若關(guān)于x的方程的兩根都在1和3之間，求k的取值范圍9若，且，求證：方程有兩個相異實數(shù)根

13、 初三數(shù)學(xué) “數(shù)形結(jié)合”習(xí)題（2）1設(shè)，則直線與拋物線的位置關(guān)系是（ ）A有兩個不重合的交點 B有且只有一個公共點C沒有公共點 D無法確定2在下列長度的四組線段中，不能組成直角三角形的是（ ）A3、3、 B、C8、15、17 D3.5、4.5、5.53文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了60米，此時小明的位置在（ ）A玩具店 B文具店 C文具店西邊40米 D玩具店東邊60米4已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點依次在原點的右邊和左邊，那么（ ）A B C D5函數(shù)的最小值為（ ）A8

14、B5 C3 D26已知函數(shù)和的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）A B C D 6題圖 7題圖7如圖所示，在中，點D在BC上，則 ， 8在數(shù)軸上數(shù)a和3的對應(yīng)點分別為點A和點B，點A到原點的距離為1.5，則點A關(guān)于點B的對稱點所對應(yīng)的數(shù)是 9有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面4米，橋下的水深為2米為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18米問水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下順利航行？10如圖，已知內(nèi)接于圓O，AD是圓O直徑交BC于E求證：11如圖所示，已知矩形AOBC中，以O(shè)為坐標原點，OB、OA分別在x軸、y軸上，A（0，4），以AB為軸對稱后，使C點落在D點處，求D點坐標12已知兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），線段AB中點坐標可用公式（，）計算現(xiàn)已知M（1，2），N（5，14）（1）計算MN中點的