合情推理及其在教學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、合情推理及其在教學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1、合情推理的含義 合情推理就是人們根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在情感的影響下，運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、聯(lián)想、直覺等非演繹的（或非完全演繹的）思維形式，構(gòu)作出關(guān)于合乎情理的認(rèn)知過程2、合情推理走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂的含義 素質(zhì)教育的重點(diǎn)是創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的培養(yǎng)，這正是合情推理所具備的重要功能合情推理能幫助人們比較迅速地發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，提供研究的線索和方法，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的主要途徑合情推理能促進(jìn)學(xué)生以一個(gè)創(chuàng)造者、發(fā)明者的身份去探究知識(shí)，無疑在心理上將會(huì)產(chǎn)生一種極大的滿足和喜悅，從而激發(fā)興趣，促進(jìn)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性合情推理使學(xué)生熟悉了掌握知識(shí)的過程和方法，提高了觀察與分析問題的能力

2、，使得教學(xué)過程變成了學(xué)生積極參與的智力活動(dòng)的過程，鍛煉和培養(yǎng)了他們深刻的思維能力，從而促進(jìn)創(chuàng)造能力的提高，難怪世界上許多著名數(shù)學(xué)家、教育家對(duì)合情推理都給予了積極的評(píng)價(jià)如“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)（牛頓）”“要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你必須是一個(gè)好的猜想家（波利亞）”等等3、合情推理與演繹推理 在數(shù)學(xué)中，從推理的結(jié)果來區(qū)分，有演繹推理和合情推理前者通常叫證明，所得結(jié)論是可靠的，后者所得的結(jié)論是不能最終肯定的，只能叫猜想或假說自從希臘的哲學(xué)之父泰勒斯把演繹方法引入數(shù)學(xué)以后，演繹證明就構(gòu)成了數(shù)學(xué)的靈魂淺于深入的演繹的演繹推理能夠挖掘出前提中蘊(yùn)藏得很深的結(jié)論，它使數(shù)學(xué)的理論形成了嚴(yán)密的體系為數(shù)學(xué)

3、及至科學(xué)的發(fā)展起了至關(guān)重要的作用但演繹推理從本質(zhì)上講，不能為我們提供新的知識(shí)，彭加勒說：“邏輯學(xué)與發(fā)現(xiàn)、發(fā)明沒有關(guān)系”這句話雖然說得有些過份，但卻突出地指出了演繹作用的局限性至于合情推理，它的特點(diǎn)是使人富于聯(lián)想、創(chuàng)造但由于合情推理得出的結(jié)論往往超出前提控制范圍，前提就無力保證結(jié)論為真，因此，合情推理只能是或然性的推理，它的正確性需用演繹方法加以證明一般地說，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論是建立在演繹推理之上的，但數(shù)學(xué)的結(jié)論及相應(yīng)的證明方法則又是靠合情推理去發(fā)現(xiàn)的因此，演繹推理與合情推理是相輔相成的關(guān)系，兩者既對(duì)立，又統(tǒng)一，是辯證的統(tǒng)一體4、合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)研究表明，知識(shí)的同化過程類似

4、于假設(shè)檢驗(yàn)的過程這就是說，學(xué)生是在選擇性知覺的基礎(chǔ)上先對(duì)有關(guān)事物的意義進(jìn)行猜測(cè)，然后根據(jù)各方面的感性和理性認(rèn)識(shí)來檢驗(yàn)猜測(cè)的正確性，如認(rèn)為不可靠，猜想被推翻，則要重新建立猜想，進(jìn)行反省，直至完成所以合情推理能促進(jìn)知識(shí)的同化，加速知識(shí)的發(fā)生和遷移傳統(tǒng)的教材，教學(xué)過分強(qiáng)調(diào)演繹推理，不利于思維的創(chuàng)新，因此，它必須改革，那么，如何著眼于學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，加強(qiáng)合理推理的滲透？41 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論 明確目標(biāo)，是研究問題的起點(diǎn)用合情推理去發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，等于明確了方向，從而使思維更具體，變形或推理越具有目的性和針對(duì)性 例如，平面解析幾何“圓的一般方程”一節(jié)的教學(xué)中，我運(yùn)用合情推理設(shè)計(jì)了如

5、下教學(xué)過程 （1）提出問題將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開得到一般方程+=0 那么反過來，形如的方程表示的曲線是不是圓？（2）試驗(yàn)、猜想 當(dāng)同學(xué)們對(duì)教師得出的問題躍躍欲試的時(shí)候，教師趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方程中的系數(shù)、取特殊值進(jìn)行試驗(yàn)，得出猜想： 方程表示的曲線是圓或點(diǎn)，也可能不表示任何圖形 （3）證明 有了猜想的結(jié)論，猜想正確性的證明也就變成了學(xué)生自發(fā)的需要于是學(xué)生對(duì)方程進(jìn)行配方變形得到： (+)+(+)= 當(dāng)+4>0時(shí)，方程表示以（，）為圓心，為半徑的圓；當(dāng)+4=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（，）；當(dāng)+4<0時(shí)，方程不表示任何圖形 以上的教學(xué)過程，由于學(xué)生親自參與探究，經(jīng)過自證的思維活動(dòng)而獲得了知識(shí)因

6、此印象也特別深刻，同時(shí)也有助于理解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì) 42 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)解題途徑和解題方法 教師可以經(jīng)常地引導(dǎo)學(xué)生“從最簡(jiǎn)單的開始！”以此作為座右銘，為歸納、猜想提供一個(gè)適當(dāng)?shù)某霭l(fā)點(diǎn)和立足點(diǎn)，讓學(xué)生主動(dòng)、積極地去猜想 經(jīng)常地引導(dǎo)學(xué)生尋找可以類比的合適對(duì)象，然后，可借鑒類比對(duì)象的一些結(jié)果，鼓勵(lì)學(xué)生作大膽的猜測(cè)，培養(yǎng)學(xué)生不妨猜一猜的意識(shí) 引導(dǎo)學(xué)生在沒有答案（或結(jié)論）時(shí)，可先猜測(cè)一下答案（或結(jié)論）；猜測(cè)答題的形式，答題的范圍；猜測(cè)中間結(jié)論；猜測(cè)解題的方向，以形式思路；對(duì)某思路的能解性作出估計(jì)；在演繹試推中提倡推中有猜，猜中有推，培養(yǎng)學(xué)生“不妨猜一猜”的良好習(xí)慣 例如，的重心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為所在

7、平面上任一點(diǎn)，那么，使+取最小值的點(diǎn)是 猜想1 根據(jù)題意，點(diǎn)可能是的的特殊點(diǎn)，如內(nèi)心、重心、外心及的三個(gè)頂點(diǎn)等但外心可排除，它可能落到形外ABC圖1猜想 2 類比猜測(cè)，考慮特殊情況，即對(duì)于線段，使+取最小值的點(diǎn)應(yīng)為的中點(diǎn)，據(jù)此，可排除的三個(gè)頂點(diǎn)考慮一般情形的（如圖1），當(dāng)點(diǎn)向邊趨近時(shí)，其內(nèi)心并非一定趨近于邊的中點(diǎn)，據(jù)此可排除內(nèi)心 于是猜想，這樣的點(diǎn)可能是重心，事實(shí)上，可以根據(jù)題意“重心在坐標(biāo)原點(diǎn)”的條件也可以猜想與重合，因?yàn)榈闹匦膶?duì)三頂點(diǎn)的相對(duì)位置上是最勻稱的 猜想 3 如圖2，+=+2（中線性質(zhì)） =+2+2而=+2ABCDGP圖22=2+24，因?yàn)?=，=所以+=3+2+2至此，可按上述方

8、法進(jìn)行推導(dǎo)，或者利用對(duì)稱性也可猜測(cè)到中間結(jié)論： （）=（）+3從而，僅當(dāng)時(shí)，+的值最小43 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理將問題推廣 數(shù)學(xué)研究的很多問題都是某種形式的推廣運(yùn)用合情推理將問題進(jìn)行推廣，既符合數(shù)學(xué)知識(shí)本身發(fā)展的規(guī)律，也符合學(xué)生個(gè)體心理發(fā)展的規(guī)律例如，一元次函數(shù)奇偶性的判斷首先讓學(xué)生判斷下列函數(shù)的奇偶性=5+3 =5 =+1 =+2+1然后請(qǐng)學(xué)生猜想： （1）一次函數(shù)=+在什么情況下是奇函數(shù)？（2）二次函數(shù)=+在什么情況下是偶函數(shù)？接著讓學(xué)生對(duì)猜想的結(jié)論進(jìn)行證明證明后再讓學(xué)生第二次猜想： 一元次函數(shù)=+在什么條件下是偶函數(shù)？在什么件下是奇函數(shù)？當(dāng)學(xué)生通過對(duì)一元三次函數(shù)，一元四函數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)，可得到和證明下面的結(jié)論：一元次函數(shù)=+當(dāng)=0（無奇次項(xiàng)）是偶函數(shù)；當(dāng)=0（無偶次項(xiàng)）是奇函數(shù)此時(shí)，學(xué)生心里充滿著無限的快樂，這是因?yàn)樗麄円步?jīng)歷了一次象“數(shù)學(xué)家”一樣去探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和方法的發(fā)明創(chuàng)造的過程，從而激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣5、結(jié)束語合情推理