第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu)

1、1第三部分第三部分 代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容主要內(nèi)容l 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)-二元運(yùn)算及其性質(zhì)、代數(shù)系統(tǒng)和子代數(shù)二元運(yùn)算及其性質(zhì)、代數(shù)系統(tǒng)和子代數(shù)l 半群與群半群與群-半群、獨(dú)異點(diǎn)、群半群、獨(dú)異點(diǎn)、群l 環(huán)與域環(huán)與域-環(huán)、整環(huán)、域環(huán)、整環(huán)、域l 格與布爾代數(shù)格與布爾代數(shù)-格、布爾代數(shù)格、布爾代數(shù) 2第九章第九章 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)主要內(nèi)容主要內(nèi)容二元運(yùn)算及其性質(zhì)二元運(yùn)算及其性質(zhì)l 一元和二元運(yùn)算定義及其實(shí)例一元和二元運(yùn)算定義及其實(shí)例l 二元運(yùn)算的性質(zhì)二元運(yùn)算的性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)l 代數(shù)系統(tǒng)定義及其實(shí)例代數(shù)系統(tǒng)定義及其實(shí)例l 子代數(shù)子代數(shù)l 積代數(shù)積代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)39.

2、1 二元運(yùn)算及其性質(zhì)二元運(yùn)算及其性質(zhì)定義定義9.1 設(shè)設(shè)S為集合，函數(shù)為集合，函數(shù)f：S SS 稱為稱為S上的上的二元運(yùn)算二元運(yùn)算，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)稱為二元運(yùn)算稱為二元運(yùn)算l S中任何兩個(gè)元素都可以進(jìn)行運(yùn)算，且運(yùn)算的結(jié)果惟一中任何兩個(gè)元素都可以進(jìn)行運(yùn)算，且運(yùn)算的結(jié)果惟一l S中任何兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果都屬于中任何兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果都屬于S，即，即S對(duì)該運(yùn)算封閉對(duì)該運(yùn)算封閉例例1 (1) 自然數(shù)集合自然數(shù)集合N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上的二元運(yùn)算，但上的二元運(yùn)算，但減法和除法不是減法和除法不是(2) 整數(shù)集合整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法都是上的加法、減法和乘法都是Z上的二元運(yùn)算，上的二元運(yùn)算，而

3、除法不是而除法不是(3) 非零實(shí)數(shù)集非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法和除法都是上的乘法和除法都是R*上的二元運(yùn)算，而上的二元運(yùn)算，而加法和減法不是加法和減法不是4實(shí)例實(shí)例(4) 設(shè)設(shè)Mn(R)表示所有表示所有n 階階(n2)實(shí)矩陣的集合，即實(shí)矩陣的集合，即 則矩陣加法和乘法都是則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運(yùn)算上的二元運(yùn)算. (5) S為任意集合，則為任意集合，則、 為為P(S)上二元運(yùn)算上二元運(yùn)算. (6) SS為為S上的所有函數(shù)的集合，則合成運(yùn)算上的所有函數(shù)的集合，則合成運(yùn)算 為為SS上二元運(yùn)算上二元運(yùn)算. njiRaaaaaaaaaaRMijnnnnnnn,.,2 , 1,)(212222

4、1112115一元運(yùn)算的定義與實(shí)例一元運(yùn)算的定義與實(shí)例定義定義9.2 設(shè)設(shè)S為集合，函數(shù)為集合，函數(shù) f:SS 稱為稱為S上的上的一元運(yùn)算一元運(yùn)算，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)稱一元運(yùn)算稱一元運(yùn)算. 例例2 (1) 求相反數(shù)是整數(shù)集合求相反數(shù)是整數(shù)集合Z,有理數(shù)集合有理數(shù)集合Q和實(shí)數(shù)集合和實(shí)數(shù)集合R上上的一元運(yùn)算的一元運(yùn)算 (2) 求倒數(shù)是非零有理數(shù)集合求倒數(shù)是非零有理數(shù)集合Q*,非零實(shí)數(shù)集合非零實(shí)數(shù)集合R*上一元運(yùn)算上一元運(yùn)算 (3) 求共軛復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)集合求共軛復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)集合C上的一元運(yùn)算上的一元運(yùn)算 (4) 在冪集在冪集P(S)上規(guī)定全集為上規(guī)定全集為S，則求絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算，則求絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算是是P(S)上的上的一元運(yùn)

5、算一元運(yùn)算. (5) 設(shè)設(shè)S為集合，令為集合，令A(yù)為為S上所有雙射函數(shù)的集合，上所有雙射函數(shù)的集合，A SS，求一，求一個(gè)雙射函數(shù)的反函數(shù)為個(gè)雙射函數(shù)的反函數(shù)為A上的一元運(yùn)算上的一元運(yùn)算. (6) 在在n(n2)階實(shí)矩陣的集合階實(shí)矩陣的集合Mn(R)上，求轉(zhuǎn)置矩陣是上，求轉(zhuǎn)置矩陣是Mn(R)上上的一元運(yùn)算的一元運(yùn)算.6二元與一元運(yùn)算的表示二元與一元運(yùn)算的表示1算符算符可以用可以用 , , , , , 等符號(hào)表示二元或一元運(yùn)算，稱為算等符號(hào)表示二元或一元運(yùn)算，稱為算符符. 對(duì)二元運(yùn)算對(duì)二元運(yùn)算 ，如果，如果 x 與與 y 運(yùn)算得到運(yùn)算得到 z，記做，記做 x y = z對(duì)一元運(yùn)算對(duì)一元運(yùn)算 ,

6、x的運(yùn)算結(jié)果記作的運(yùn)算結(jié)果記作 x. 2表示二元或一元運(yùn)算的方法表示二元或一元運(yùn)算的方法: 解析公式和運(yùn)算表解析公式和運(yùn)算表公式表示公式表示 例例 設(shè)設(shè)R為實(shí)數(shù)集合，如下定義為實(shí)數(shù)集合，如下定義R上的二元運(yùn)算上的二元運(yùn)算 ： x, yR, x y = x. 那么那么 3 4 = 3， 0.5 ( 3) = 0.57運(yùn)算表：表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算運(yùn)算表：表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算 運(yùn)算表運(yùn)算表 二元運(yùn)算的運(yùn)算表二元運(yùn)算的運(yùn)算表 一元運(yùn)算的運(yùn)算表一元運(yùn)算的運(yùn)算表8 例例3 設(shè)設(shè) S=P(a,b)，S上的上的 和和 運(yùn)算運(yùn)算的運(yùn)算表如下的運(yùn)算表如下 運(yùn)算表的實(shí)例運(yùn)算表的實(shí)例9二元運(yùn)算的性質(zhì)二

7、元運(yùn)算的性質(zhì)定義定義9.3 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運(yùn)算上的二元運(yùn)算,(1) 若對(duì)任意若對(duì)任意x,yS 有有 x y=y x, 則稱運(yùn)算在則稱運(yùn)算在S上滿足上滿足交換律交換律.(2) 若對(duì)任意若對(duì)任意x,y,zS有有 (x y) z=x (y z), 則稱運(yùn)算在則稱運(yùn)算在S上滿上滿足足結(jié)結(jié) 合律合律.(3) 若對(duì)任意若對(duì)任意xS 有有 x x=x, 則稱運(yùn)算在則稱運(yùn)算在S上滿足上滿足冪等律冪等律.定義定義9.4 設(shè)設(shè) 和和 為為S上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算, (1) 若對(duì)任意若對(duì)任意x,y,zS有有 (x y) z=(x z) (y z)， z (x y)=(z x) (z y),

8、則稱則稱 運(yùn)算對(duì)運(yùn)算對(duì) 運(yùn)算滿足運(yùn)算滿足分配律分配律. (2) 若若 和和 都可交換都可交換,且對(duì)任意且對(duì)任意x,yS有有 x (x y)=x，x (x y)=x, 則稱則稱 和和 運(yùn)算滿足運(yùn)算滿足吸收律吸收律. 10實(shí)例實(shí)例Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為為n階實(shí)階實(shí)矩陣集合矩陣集合, n 2；P(B)為冪集；為冪集；AA為從為從A到到A的函數(shù)集，的函數(shù)集，|A| 2集合集合運(yùn)算運(yùn)算交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律冪等律冪等律Z,Q,R普通加法普通加法+普通乘法普通乘法 有有有有有有有有無無無無Mn(R)矩陣加法矩陣加法+矩陣乘法矩陣乘法 有有無無有

9、有有有無無無無P(B)并并 交交 相對(duì)補(bǔ)相對(duì)補(bǔ) 對(duì)稱差對(duì)稱差 有有有有無無有有有有有有無無有有有有有有無無無無AA函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合 無無有有無無11 集合集合 運(yùn)算運(yùn)算分配律分配律吸收律吸收律Z,Q,R普通加法普通加法+與乘法與乘法 對(duì)對(duì)+可分配可分配+對(duì)對(duì) 不分配不分配無無Mn(R)矩陣加法矩陣加法+與乘法與乘法 對(duì)對(duì)+可分配可分配+對(duì)對(duì) 不分配不分配無無P(B)并并 與交與交 對(duì)對(duì) 可分配可分配 對(duì)對(duì) 可分配可分配有有交交 與對(duì)稱差與對(duì)稱差 對(duì)對(duì) 可分配可分配無無實(shí)例實(shí)例Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為為n階實(shí)階實(shí)矩陣集合矩陣集合, n 2

10、；P(B)為冪集；為冪集；AA為從為從A到到A的函數(shù)集，的函數(shù)集，|A| 212特異元素：?jiǎn)挝辉?、零元特異元素：?jiǎn)挝辉?、零元定義定義9.5 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運(yùn)算上的二元運(yùn)算,(1) 如果存在如果存在el (或或er) S，使得對(duì)任意，使得對(duì)任意 xS 都有都有 el x = x (或或 x er = x)，則稱則稱el (或或er)是是S中關(guān)于中關(guān)于 運(yùn)算的運(yùn)算的左左(或或右右)單位元單位元. 若若eS關(guān)于關(guān)于 運(yùn)算既是左單位元又是右單位元，則稱運(yùn)算既是左單位元又是右單位元，則稱e為為S上上關(guān)于關(guān)于 運(yùn)算的運(yùn)算的單位元單位元. 單位元也叫做單位元也叫做幺元幺元.(2) 如果存在如果存在 l

11、 (或或 r)S，使得對(duì)任意，使得對(duì)任意 xS 都有都有 l x = l (或或 x r = r)，則稱則稱 l (或或 r)是是S 中關(guān)于中關(guān)于 運(yùn)算的運(yùn)算的左左(或或右右)零元零元. 若若 S 關(guān)于關(guān)于 運(yùn)算既是左零元又是右零元，則稱運(yùn)算既是左零元又是右零元，則稱 為為S上關(guān)上關(guān)于運(yùn)算于運(yùn)算 的的零元零元.13可逆元素和逆元可逆元素和逆元(3) 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運(yùn)算上的二元運(yùn)算, 令令e為為S中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算 的單位元的單位元. 對(duì)于對(duì)于xS，如果存在，如果存在yl (或或yr)S使得使得 yl x=e（或（或x yr=e）則稱則稱yl (或或 yr)是是x的的左逆元左逆元（或（或

12、右逆元右逆元）. 關(guān)于關(guān)于 運(yùn)算，若運(yùn)算，若yS 既是既是 x 的左逆元又是的左逆元又是 x 的右逆元，則稱的右逆元，則稱 y為為x的的逆元逆元. 如果如果 x 的逆元存在，就稱的逆元存在，就稱 x 是是可逆的可逆的.14實(shí)例實(shí)例集合集合運(yùn)算運(yùn)算單位元單位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法+普通乘法普通乘法 01無無0 x逆元逆元 xx逆元逆元x 1(x 1 給定集合給定集合)Mn(R)矩陣加法矩陣加法+矩陣乘法矩陣乘法 n階全階全0矩陣矩陣n階單位矩陣階單位矩陣無無n階全階全0矩陣矩陣X逆元逆元 XX的逆元的逆元X 1（X可逆）可逆）P(B)并并 交交 對(duì)稱差對(duì)稱差 BB無無的逆元

13、為的逆元為B的逆元為的逆元為BX的逆元為的逆元為X15惟一性定理惟一性定理定理定理9.1 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運(yùn)算，上的二元運(yùn)算，el和和er分別為分別為S中關(guān)于運(yùn)算的中關(guān)于運(yùn)算的左和右單位元，則左和右單位元，則el = er = e為為S上關(guān)于上關(guān)于 運(yùn)算的惟一的單位運(yùn)算的惟一的單位元元.證：證： el = el er (er為右單位元為右單位元) el er = er (el為左單位元為左單位元)所以所以el = er , 將這個(gè)單位元記作將這個(gè)單位元記作e. 假設(shè)假設(shè)e 也是也是 S 中的單位元，則有中的單位元，則有 e =e e = e. 惟一性得證惟一性得證.類似地可以證明關(guān)于零元的

14、惟一性定理類似地可以證明關(guān)于零元的惟一性定理.注意：注意：l 當(dāng)當(dāng) |S| 2，單位元與零元是不同的；，單位元與零元是不同的；l 當(dāng)當(dāng) |S| = 1時(shí)，這個(gè)元素既是單位元也是零元時(shí)，這個(gè)元素既是單位元也是零元. 16定理定理9.2 設(shè)設(shè) 為為S上可結(jié)合的二元運(yùn)算上可結(jié)合的二元運(yùn)算, e為該運(yùn)算的單位元為該運(yùn)算的單位元, 對(duì)于對(duì)于xS 如果存在左逆元如果存在左逆元 yl 和右逆元和右逆元 yr, 則有則有 yl = yr= y, 且且 y是是 x 的惟一的逆元的惟一的逆元.證：由證：由 yl x = e 和和 x yr = e 得得 yl = yl e = yl (x yr) = (yl x)

15、 yr = e yr = yr令令yl = yr = y, 則則 y 是是 x 的逆元的逆元. 假若假若 yS 也是也是 x 的逆元的逆元, 則則 y = y e = y (x y) = (y x) y = e y = y所以所以 y 是是 x 惟一的逆元惟一的逆元.l 說明：對(duì)于可結(jié)合的二元運(yùn)算，可逆元素說明：對(duì)于可結(jié)合的二元運(yùn)算，可逆元素 x 只有惟一的逆只有惟一的逆 元，記作元，記作 x 1 惟一性定理惟一性定理179.2 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)定義定義9.6 非空集合非空集合S和和S上上k個(gè)一元或二元運(yùn)算個(gè)一元或二元運(yùn)算f1,f2, fk組成組成的系統(tǒng)稱為的系統(tǒng)稱為代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng), 簡(jiǎn)稱代

16、數(shù)，記做簡(jiǎn)稱代數(shù)，記做.實(shí)例：實(shí)例：(1) ,是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，+和和分別表示普通分別表示普通加法和乘法加法和乘法. (2) 是代數(shù)系統(tǒng)，和是代數(shù)系統(tǒng)，和分別表示分別表示 n 階階(n2)實(shí)矩實(shí)矩陣的加法和乘法陣的加法和乘法. (3) 是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，Zn0,1,n-1， 和和 分別表示分別表示模模n的加法和乘法，對(duì)于的加法和乘法，對(duì)于x,yZn，x y=(xy)modn，x y=(xy)modn(4) 是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)， 和和 為并和交，為并和交，為絕對(duì)補(bǔ)為絕對(duì)補(bǔ)18代數(shù)系統(tǒng)的成分與表示代數(shù)系統(tǒng)的成分與表示構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)的成分：構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)的成分：l 集合（也叫載體，規(guī)定了

17、參與運(yùn)算的元素）集合（也叫載體，規(guī)定了參與運(yùn)算的元素）l 運(yùn)算（這里只討論有限個(gè)二元和一元運(yùn)算）運(yùn)算（這里只討論有限個(gè)二元和一元運(yùn)算）l 代數(shù)常數(shù)（通常是與運(yùn)算相關(guān)的特異元素：如單位元等）代數(shù)常數(shù)（通常是與運(yùn)算相關(guān)的特異元素：如單位元等）研究代數(shù)系統(tǒng)時(shí)，如果把運(yùn)算具有它的特異元素也作為系統(tǒng)研究代數(shù)系統(tǒng)時(shí)，如果把運(yùn)算具有它的特異元素也作為系統(tǒng)的性質(zhì)之一，那么這些特異元素可以作為系統(tǒng)的成分，叫做的性質(zhì)之一，那么這些特異元素可以作為系統(tǒng)的成分，叫做代數(shù)常數(shù)代數(shù)常數(shù). 例如：代數(shù)系統(tǒng)例如：代數(shù)系統(tǒng)：集合：集合Z, 運(yùn)算運(yùn)算+, 代數(shù)常數(shù)代數(shù)常數(shù)0代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)：集合：集合P(S), 運(yùn)算運(yùn)算和和，無

18、代數(shù)常數(shù)，無代數(shù)常數(shù) 19代數(shù)系統(tǒng)的表示代數(shù)系統(tǒng)的表示(1) 列出所有的成分：集合、運(yùn)算、代數(shù)常數(shù)（如果存在）列出所有的成分：集合、運(yùn)算、代數(shù)常數(shù)（如果存在） 如如, (2) 列出集合和運(yùn)算，在規(guī)定系統(tǒng)性質(zhì)時(shí)不涉及具有單位元列出集合和運(yùn)算，在規(guī)定系統(tǒng)性質(zhì)時(shí)不涉及具有單位元 的性質(zhì)（無代數(shù)常數(shù)）的性質(zhì)（無代數(shù)常數(shù)） 如如, (3) 用集合名稱簡(jiǎn)單標(biāo)記代數(shù)系統(tǒng)用集合名稱簡(jiǎn)單標(biāo)記代數(shù)系統(tǒng) 在前面已經(jīng)對(duì)代數(shù)系統(tǒng)作了說明的前提下使用在前面已經(jīng)對(duì)代數(shù)系統(tǒng)作了說明的前提下使用 如代數(shù)系統(tǒng)如代數(shù)系統(tǒng)Z, P(B) 20同類型與同種代數(shù)系統(tǒng)同類型與同種代數(shù)系統(tǒng)定義定義9.7 (1) 如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算的個(gè)數(shù)

19、相同，對(duì)應(yīng)運(yùn)算的元數(shù)相如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算的個(gè)數(shù)相同，對(duì)應(yīng)運(yùn)算的元數(shù)相同，且代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)也相同，則稱它們是同，且代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)也相同，則稱它們是同類型的同類型的代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)系統(tǒng).(2) 如果兩個(gè)同類型的代數(shù)系統(tǒng)規(guī)定的運(yùn)算性質(zhì)也相同，則稱如果兩個(gè)同類型的代數(shù)系統(tǒng)規(guī)定的運(yùn)算性質(zhì)也相同，則稱為為同種的同種的代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng). 例如例如 V1=, V2=, 為為 n 階全階全0矩陣，矩陣，E為為 n 階單位矩陣階單位矩陣, V3=l V1, V2, V3是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，它們都含有是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，它們都含有2個(gè)二元運(yùn)算個(gè)二元運(yùn)算, 2個(gè)代數(shù)常數(shù)個(gè)代數(shù)常數(shù).l V1, V2是同種的代數(shù)系統(tǒng)，是

20、同種的代數(shù)系統(tǒng)，V1, V2與與V3不是同種的代數(shù)系統(tǒng)不是同種的代數(shù)系統(tǒng)21V1V2V3+ 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合+ 滿足消去律滿足消去律 滿足消去律滿足消去律 對(duì)對(duì) + 可分配可分配+ 對(duì)對(duì) 不可分配不可分配+ 與與 沒有吸收律沒有吸收律+ 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合+ 滿足消去律滿足消去律 不滿足消去律不滿足消去律 對(duì)對(duì) + 可分配可分配+ 對(duì)對(duì) 不可分配不可分配+ 與與 沒有吸收律沒有吸收律可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合不滿足消去律不滿足消去律 不滿足消去律不滿足消去律對(duì)對(duì)可分配可分配對(duì)對(duì)可分配

21、可分配與與滿足吸收律滿足吸收律運(yùn)算性質(zhì)比較運(yùn)算性質(zhì)比較22子代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)系統(tǒng)定義定義9.8設(shè)設(shè)V=是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，B是是S的非空子的非空子集，如果集，如果B對(duì)對(duì)f1, f2, , fk 都是封閉的，且都是封閉的，且B和和S含有相同的代含有相同的代數(shù)常數(shù)，則稱數(shù)常數(shù)，則稱是是V的的子代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱子代，簡(jiǎn)稱子代數(shù)數(shù). 有時(shí)將子代數(shù)系統(tǒng)簡(jiǎn)記為有時(shí)將子代數(shù)系統(tǒng)簡(jiǎn)記為B.實(shí)例實(shí)例N是是的子代數(shù)，的子代數(shù)，N也是也是的子代數(shù)的子代數(shù)N 0是是的子代數(shù)，但不是的子代數(shù)，但不是的子代數(shù)的子代數(shù)說明：說明：l 子代數(shù)和原代數(shù)是同種的代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)和原代數(shù)是同種的代數(shù)系統(tǒng)l 對(duì)于任何代數(shù)系統(tǒng)

22、對(duì)于任何代數(shù)系統(tǒng)V=，其子代數(shù)一定存在，其子代數(shù)一定存在. 23關(guān)于子代數(shù)的術(shù)語關(guān)于子代數(shù)的術(shù)語(1) 最大的子代數(shù)最大的子代數(shù)：就是：就是V本身本身(2) 最小的子代數(shù)最小的子代數(shù)：如果令：如果令V中所有代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的集合是中所有代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的集合是 B，且，且B對(duì)對(duì)V中所有的運(yùn)算都是封閉的，則中所有的運(yùn)算都是封閉的，則B就構(gòu)成了就構(gòu)成了V的的 最小的子代數(shù)最小的子代數(shù)(3) 最大和最小的子代數(shù)稱為最大和最小的子代數(shù)稱為V 的的平凡的子代數(shù)平凡的子代數(shù)(4) 若若B是是S的真子集，則的真子集，則B構(gòu)成的子代數(shù)稱為構(gòu)成的子代數(shù)稱為V的的真子代數(shù)真子代數(shù).例例 設(shè)設(shè)V=,令令 nZ=nz | z

23、 Z,n為自然數(shù)，則為自然數(shù)，則nZ是是V的子的子 代數(shù)代數(shù) 當(dāng)當(dāng)n=1和和0時(shí)，時(shí)，nZ是是V的平凡的子代數(shù)，其他的都是的平凡的子代數(shù)，其他的都是V的非的非 平凡的真子代數(shù)平凡的真子代數(shù). 24積代數(shù)積代數(shù)定義定義9.9 設(shè)設(shè)V1=和和V2=是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，是同類型的代數(shù)系統(tǒng)， 和和 為二元運(yùn)算，在集合為二元運(yùn)算，在集合A B上如下定義二元運(yùn)算上如下定義二元運(yùn)算 ， , A B，有，有 = 稱稱V=為為V1與與V2的的積代數(shù)積代數(shù)，記作，記作V1 V2. 這時(shí)也稱這時(shí)也稱V1和和V2為為V的的因子代數(shù)因子代數(shù). 25積代數(shù)的性質(zhì)積代數(shù)的性質(zhì)定理定理9.3 設(shè)設(shè)V1=和和V2=是同類型的代

24、數(shù)系統(tǒng)，是同類型的代數(shù)系統(tǒng)， V1 V2=是它們的積代數(shù)是它們的積代數(shù). (1) 如果如果 和和 運(yùn)算是可交換（可結(jié)合、冪等）的，那么運(yùn)算是可交換（可結(jié)合、冪等）的，那么 運(yùn)算也是可交換（可結(jié)合、冪等）的運(yùn)算也是可交換（可結(jié)合、冪等）的(2) 如果如果 e1 和和 e2（ 1和和 2）分別為）分別為 和和 運(yùn)算的單位元（零運(yùn)算的單位元（零元），那么元），那么（）也是）也是 運(yùn)算的單位元（零運(yùn)算的單位元（零元）元）(3) 如果如果 x 和和 y 分別為分別為 和和 運(yùn)算的可逆元素，那么運(yùn)算的可逆元素，那么也也是是 運(yùn)算的可逆元素，其逆元就是運(yùn)算的可逆元素，其逆元就是 269.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與

25、同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)定義定義9.10 設(shè)設(shè)V1=和和V2=是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，f:AB，且，且 x, y A 有有 f(x y) = f(x) f(y), 則稱則稱 f 是是V1到到V2的的同態(tài)同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài).同態(tài)分類：同態(tài)分類：(1) f 如果是單射，則稱為如果是單射，則稱為單同態(tài)單同態(tài)(2) 如果是滿射，則稱為如果是滿射，則稱為滿同態(tài)滿同態(tài)，這時(shí)稱，這時(shí)稱V2是是V1的的同態(tài)像同態(tài)像， 記作記作V1 V2(3) 如果是雙射，則稱為同構(gòu)，也稱代數(shù)系統(tǒng)如果是雙射，則稱為同構(gòu)，也稱代數(shù)系統(tǒng)V1同構(gòu)同構(gòu)于于V2， 記作記作V1 V2 (4) 如果如果V1=

26、V2，則稱作，則稱作自同態(tài)自同態(tài)27實(shí)例實(shí)例(1) 設(shè)設(shè)V1=, V2=其中其中Z為整數(shù)集，為整數(shù)集，+為普通加法；為普通加法；Zn=0,1,n 1， 為模為模n加加. 令令 f : ZZn，f (x)=(x)mod n 那么那么 f 是是V1到到V2的滿同態(tài)的滿同態(tài)(3) 設(shè)設(shè)V=，其中，其中Z為整數(shù)集，為整數(shù)集，+為普通加法為普通加法. a Z，令，令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那么那么 fa 是是V的自同態(tài)的自同態(tài). 當(dāng)當(dāng)a=0時(shí)稱時(shí)稱 f0 為零同態(tài)；當(dāng)為零同態(tài)；當(dāng)a= 1時(shí)，時(shí)，稱稱 fa 為自同構(gòu)；除此之外其他的為自同構(gòu)；除此之外其他的 fa 都是單自同態(tài)都是單自同態(tài).

27、(2) 設(shè)設(shè)V1=, V2=，其中，其中R和和R*分別為實(shí)數(shù)集與非分別為實(shí)數(shù)集與非零實(shí)數(shù)集，零實(shí)數(shù)集，+ 和和 分別表示普通加法與乘法令分別表示普通加法與乘法令 f : RR*，f (x)= ex 則則 f 是是V1到到V2的單同態(tài)的單同態(tài). 28第九章第九章 習(xí)題課習(xí)題課主要內(nèi)容主要內(nèi)容l 代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成：非空集合、封閉的二元和一元運(yùn)算、代代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成：非空集合、封閉的二元和一元運(yùn)算、代數(shù)常數(shù)數(shù)常數(shù) l 二元運(yùn)算性質(zhì)和特異元素：交換律、結(jié)合律、冪等律、分二元運(yùn)算性質(zhì)和特異元素：交換律、結(jié)合律、冪等律、分配律、吸收律、單位元、零元、可逆元和逆元配律、吸收律、單位元、零元、可逆元和逆元l 同類

28、型的與同種的代數(shù)系統(tǒng)同類型的與同種的代數(shù)系統(tǒng)l 子代數(shù)的定義與實(shí)例子代數(shù)的定義與實(shí)例l 積代數(shù)的定義與性質(zhì)積代數(shù)的定義與性質(zhì)l 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)29基本要求基本要求l 判斷給定集合和運(yùn)算能否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)判斷給定集合和運(yùn)算能否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)l 判斷給定二元運(yùn)算的性質(zhì)判斷給定二元運(yùn)算的性質(zhì)l 求而二元運(yùn)算的特異元素求而二元運(yùn)算的特異元素l 了解同類型和同種代數(shù)系統(tǒng)的概念了解同類型和同種代數(shù)系統(tǒng)的概念l 了解子代數(shù)的基本概念了解子代數(shù)的基本概念l 計(jì)算積代數(shù)計(jì)算積代數(shù)l 判斷函數(shù)是否為同態(tài)映射和同構(gòu)映射判斷函數(shù)是否為同態(tài)映射和同構(gòu)映射30練習(xí)練習(xí)11設(shè)設(shè) 運(yùn)算為運(yùn)算為Q上的二元

29、運(yùn)算，上的二元運(yùn)算， x, y Q, x y = x+y+2xy, (1) 判斷判斷 運(yùn)算是否滿足交換律和結(jié)合律，并說明理由運(yùn)算是否滿足交換律和結(jié)合律，并說明理由.(2) 求出求出 運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.(1) 運(yùn)算可交換，可結(jié)合運(yùn)算可交換，可結(jié)合. 任取任取 x, y Q, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x,任取任取 x, y, z Q, (x y) z = (x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x+(y+z+2yz)+2x(y+z

30、+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz31(2) 設(shè)設(shè) 運(yùn)算的單位元和零元分別為運(yùn)算的單位元和零元分別為 e 和和 ，則，則對(duì)于任對(duì)于任意意 x 有有 x e = x 成立，即成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于由于 運(yùn)算可交換，所以運(yùn)算可交換，所以 0 是幺元是幺元.對(duì)于任意對(duì)于任意 x 有有x = 成立，即成立，即 x+ +2x = x+2x = 0 = 1/2 給定給定 x，設(shè)，設(shè) x 的逆元為的逆元為 y, 則有則有 x y = 0 成立，即成立，即 x+y+2xy = 0 (x 1/2 )因此當(dāng)因此當(dāng)x 1/2時(shí)時(shí)， 是是x的逆元的逆元. xxy21 xx21 解答解答322下面是三個(gè)運(yùn)算表下面是三個(gè)運(yùn)算表(1) 說明那些運(yùn)算是可交換的、可結(jié)合的、冪等的說明那些運(yùn)算是可交換的、可結(jié)合的、冪等的. (2) 求出每個(gè)運(yùn)算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元求出每個(gè)運(yùn)算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元練習(xí)練習(xí)233解解答解答(1) * 滿足交換律，滿足結(jié)合律，不滿足冪等律滿足交換律，滿足結(jié)