湖州師院第二屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷專業(yè)組

1、湖州師院第二屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷(專業(yè)組)競(jìng)賽時(shí)間：2004年11月7日8:00-11:00下屬學(xué)院-專業(yè)-班級(jí)-學(xué)號(hào)-成績(jī)-一二三四五六一、 計(jì)算題1、求的值。（選自廣東省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解：=令 則原式2、計(jì)算積分（選自98年高數(shù)二碩士研究生入學(xué)試題）解： 原式（均為收斂的廣義積分，奇點(diǎn)） =3、 函數(shù)在上可導(dǎo)， 且滿足等式，求導(dǎo)數(shù)（選自98年高數(shù)二碩士研究生入學(xué)試題）解： 由題設(shè)知方程兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得到 令則有 又有及將代入原方程得到 因此 4、 求積分值（選自高等數(shù)學(xué)雙博士課堂）解： 因?yàn)?故不是瑕點(diǎn)。但此反常積分還是可以這樣處理：而 故 二、 設(shè)有曲線，過(guò)原點(diǎn)作其切線，求由此曲

2、線，切線，軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積。（98年高數(shù)二碩士研究生入學(xué)試題）解： 設(shè)切點(diǎn)為則過(guò)原點(diǎn)的切線方程為，再以點(diǎn)代入，解锝，則上述切線方程為由曲線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的旋轉(zhuǎn)面的面積 由直線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)面的面積 因此，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積為 三、計(jì)算曲面積分，其中為拋物面位于內(nèi)的部分的上側(cè)。（選自高等數(shù)學(xué)雙博士課堂）解： 不是封閉曲面，作輔助面，取下側(cè)，則構(gòu)成一封閉曲面，由高斯公式 為所圍成的區(qū)域）又 所以 四、設(shè)是區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，（）。證明數(shù)列的極限存在。（1999年全國(guó)碩士研究生入學(xué)試題，1983年清華大學(xué)碩士研究生入學(xué)試題）證： 由題設(shè)可得，故 ，即數(shù)列有下界。 又 故數(shù)列單調(diào)下降。由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知數(shù)列的極限存在。五、求半徑為的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者。（選自第一屆北京市大學(xué)生（非理科）數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解： 設(shè)圓心到此內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的圓心角分別為，則設(shè)所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形的面積分別為 圓內(nèi)接三角形面積 令得 或當(dāng)此時(shí)圓內(nèi)接三角形縮為此三角形邊界上的一段直線段，所以當(dāng) 此時(shí)為最大。即圓的內(nèi)接三角形中面積最大者是內(nèi)接正三