厚壁圓筒的彈塑性分析82442

1、外壓厚壁圓筒的彈塑性分析： 黃達(dá)飛學(xué)號：指導(dǎo)老師：林智育時(shí)間：2011-6-25問題描述半徑為a,外半徑為b的厚壁圓筒，在外表面處作用有均勻壓力 p (如圖1(a),圓筒材料為理想彈塑性的(如圖1 (b)。隨著壓力p的增加，圓筒的 及r都不斷增加，若圓筒處于平面應(yīng)變狀態(tài)下，其z也在增加。當(dāng)應(yīng)力分量的 組合達(dá)到某一臨界值時(shí)，該處材料進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，并逐漸形成塑性區(qū)，隨著 壓力的繼續(xù)增加，塑性區(qū)不斷擴(kuò)大，彈性區(qū)相應(yīng)減小，直至圓筒的截面全部進(jìn)入 塑性狀態(tài)時(shí)即為圓筒的塑性極限狀態(tài)。 當(dāng)圓筒達(dá)到塑性極限狀態(tài)時(shí)，其外壓達(dá)到 最大值，即載荷不能繼續(xù)增加，而圓筒的變形也處于無約束變形狀態(tài)下， 即變形 是個(gè)不

2、定值，或者說瞬時(shí)變形速度無窮大。為了使討論的問題得以簡化，本文中限定討論軸對稱平面應(yīng)變問題，并設(shè)彈性分析1.基本方程平面軸對稱問題中的未知量為,u,它們應(yīng)該滿足基本方程及相應(yīng)的邊界條件，其中平衡方程為(1)d rrdr r幾何方程為本構(gòu)方程為邊界條件為dudr1r rEEs Fr，在力的邊界S上(2)(3)(4)2.應(yīng)力的求解取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，利用平衡方程和以應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程聯(lián)立求解，可以求得應(yīng)力分量的表達(dá)式為ClC2rCiC2(5)如圖1（a）所示半徑為a,外半徑為b的厚壁圓筒，在外表面處受外壓 p, 表面沒有壓力，相應(yīng)的邊界條件為將以上邊界條件代入式（5），則可以求得兩個(gè)常數(shù)

3、為2 Ja b p2 2b aC P CC1 b2 a2，C2則應(yīng)力分量為2 2b p 1 ar 2212(6)b a rb2p b2 a2上式和彈性常數(shù)無關(guān)，因而適用于兩類平面問題三、彈塑性分析1.屈服條件在塑性理論中，常用的屈服條件是米澤斯（Mises ）屈服條件，其表達(dá)式為:2 2 2 6rrzz2rz由于厚壁圓筒為軸對稱平面應(yīng)變問題，貝U有rzz均為主應(yīng)力，且由0以及 1/2，可以得到，代入Mises(8)屈服條件其表達(dá)式為1.1552.彈塑性分析當(dāng)壓力p較小時(shí)，厚壁圓筒處于彈性狀態(tài)，由式（6)可求出應(yīng)力分量2 a2r2 a 2 r(9)Pe21.155b2b2(10)b2pr . 2

4、2b a_b2p b2在r a處|r|有最大值，即筒體由壁開始屈服，若此時(shí)的壓力為 Pe，由式（8）和（9）可以求得彈性極限壓力為當(dāng)p pe時(shí)，圓筒處于彈性狀態(tài)；當(dāng)p pe時(shí)，在圓筒壁附近出現(xiàn)塑性區(qū),并且隨著壓力的增大，塑性區(qū)逐漸向外擴(kuò)展，而外壁附近仍然為彈性區(qū)。由于應(yīng)力組合r的軸對稱性，塑性區(qū)和彈性區(qū)的分界面為圓柱面。設(shè)筒體處于彈塑性狀態(tài)下的壓力為Pp，彈塑性分界半徑為rp，分別考慮兩個(gè)變形區(qū)（圖2），也可將兩個(gè)區(qū)域按兩個(gè)厚壁圓筒分別進(jìn)行討論，設(shè)彈性區(qū)和塑性區(qū)的相互作用力為q，即為求彈性區(qū)的應(yīng)力分量，將彈性區(qū)作為半徑為rp，外半徑為b,承受外壓Pp，壓q的厚壁圓筒。由圓筒的彈性分析公式可以求

5、得彈性區(qū)（rp r b）的應(yīng)力分量為2 2 2 2rpb Pp q 1 rpq b Pp722?22b rp r b rp2. 2rpb Pp q 1b2 rp2 .2rpq b Ppbrp(11)為求解塑性區(qū)的應(yīng)力分量，將彈性區(qū)作為半徑為a,外半徑為rp，承受外壓q的厚壁圓筒。應(yīng)滿足平衡方程和屈服條件，即dr1.155由上面兩式可得r C 1.155 slnr由于在r= rp處壓力為q，即q，代入可得C q 1.155 s In匚，代入r rp表達(dá)式，并利用屈服條件求得，即塑性區(qū)（a r rp）的應(yīng)力分量為rpr q 1.155 s In -rr （ 12）I pq 1.155 s In 1

6、r上式（11）和（12）中的rp和q是未知量，由徑向應(yīng)力邊界條件確定他們之間的關(guān)系。在塑性區(qū)的r=a處壓力為0,即r r a 0，代入式（12）的第一式可得rpq 1.155 s In（13）a2在彈性區(qū)的r= rp處剛達(dá)到屈服，由屈服條件| r -p s 1.155 s可得rp 1.155 sb2 rp2Pp 1.155 sln- 2（ 14）a2rpb上式給出了 Pp r-，當(dāng)給定Pp可以確定r-，或者給定r-后也可以確定P-。將式（13）、（ 14）確定的q代入式（11）、（ 12），則可以得到r-表示的彈性區(qū)（r-r b）和塑性區(qū)（a r r-）的應(yīng)力分量2.2 2 2r-b- q 1

7、 r-q b -(15) 2 2 2 2b r- r b r-2. 2 2 2r-b - q 1 r-q b p- 2 2 2 2b r- r b r-rr(16)1.155 sin1.155 sln arrprp1.155 sin1.155 s in1 ar隨著壓力的增加，塑性區(qū)不斷擴(kuò)大，當(dāng)rp=b時(shí)，整個(gè)截面進(jìn)入塑性狀態(tài)，即圓筒達(dá)到塑性極限狀態(tài)，此時(shí)的壓力不能繼續(xù)增加，該臨界值稱為塑性極限壓力，以pi表示。將rp=b代入式（14），得p 1.155 sin（17）a令式（16）中的rp =，則得壓力達(dá)到pi時(shí)的應(yīng)力分量，此時(shí)整個(gè)截面進(jìn)入塑性狀態(tài)。r 1.155 sinar（18） a1.1

8、55 s In 1r取a 5， 15， s 200，rp 10，則由式（10）、（ 13）、（ 14）、（ 17）可得pe 102.7， q 160， pp 166.5， pI253.8（19）將式（19）代入式（9）、（ 15）、（ 16）、（ 18）中可以得到在pe、Pp、pi作用下的應(yīng)力分布如圖3所示。(a) Pe作用下的應(yīng)力分布(b) pp作用下的應(yīng)力分布(c) Pl作用下的應(yīng)力分布圖3應(yīng)力分布三種狀態(tài)下均有0 , r 0,且r絕對值的最大值在筒體的外壁處,而 的絕對值的最大值則隨著外壓的增加而由壁移動到外壁。四、有限元分析由于厚壁圓筒具有中心對稱性，且所受的載荷也具有中心對稱性，所以

9、其應(yīng) 力分布同樣具有中心對稱性；厚壁圓筒是平面應(yīng)變狀態(tài)。為了計(jì)算簡便，可以將模型簡化為1/4的平面圓環(huán)，并且加上適當(dāng)?shù)妮d荷邊 界條件和位移邊界條件，其abaqus模型如圖4所示。圖4厚壁圓筒的abaqus模型定義材料的屈服極限為s 200，戈扮成四節(jié)點(diǎn)四邊形平面應(yīng)變單元(如圖5),定義不同大小的外壓p提交計(jì)算圖5厚壁圓筒的有限元網(wǎng)格當(dāng)p 100時(shí)，p Pe，圓筒處于彈性狀態(tài)，計(jì)算結(jié)果如圖6,可以看出整個(gè)模型處于彈性狀態(tài)沒有塑性應(yīng)變。(a) Mises應(yīng)力分布云圖(b)塑性應(yīng)變分布云圖圖6彈性狀態(tài)計(jì)算結(jié)果當(dāng)p 150時(shí)，pe p Pl，圓筒處于彈塑性狀態(tài)，計(jì)算結(jié)果如圖7,可以看出模型外壁附近部分處于彈性狀態(tài)沒有塑性應(yīng)變，而壁附近部分處于塑性狀態(tài)，有塑性應(yīng)變。(a) Mises應(yīng)力分布云圖(b