知識(shí)講解萬有引力理論的成就基礎(chǔ)

1、萬有引力理論的成就【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用2會(huì)用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量3理解并運(yùn)用萬有引力定律處理天體問題的思路、方法【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、萬有引力與重力要點(diǎn)詮釋：地球?qū)ξ矬w的引力是物體受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力這是因?yàn)榈厍蛟诓煌５刈赞D(zhuǎn)，地球上的一切物體都隨著地球的自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這就需要向心力這個(gè)向心力的方向是垂直指向地軸的，它的大小是，式中的r是物體與地軸的距離，是地球自轉(zhuǎn)的角速度這個(gè)向心力來自哪里?只能來自地球?qū)ξ矬w的引力F，它是引力F的一個(gè)分力，如圖所示，引力F的另一個(gè)分力才是物體的重力mg 在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

2、角速度相同，而圓周的半徑r不同，這個(gè)半徑在赤道處最大，在兩極最小(等于零)緯度為處的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力(R為地球半徑)由公式可見，隨著緯度的升高，向心力將減小，作為引力的另一個(gè)分量，重力則隨緯度的升高而增大，在兩極處rRcos90°0，所以在兩極，引力等于重力在赤道上，物體的重力、引力和向心力在一條直線上，方向相同，此時(shí)重力等于引力與向心力之差，即此時(shí)重力最小從圖中還可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力mg才指向地心 (1)重力是由萬有引力產(chǎn)生的，重力實(shí)際上是萬有引力的一個(gè)分力，物體的重力隨其緯度的增大而增大，并且除兩極和赤道上外，重力并不指向地心 (

3、2)物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小，因此在一般粗略計(jì)算中，可以認(rèn)為物體所受的重力等于物體所受地球的萬有引力，即要點(diǎn)二、天體質(zhì)量計(jì)算的幾種方法 要點(diǎn)詮釋：萬有引力定律從動(dòng)力學(xué)角度解決了天體運(yùn)動(dòng)問題天體運(yùn)動(dòng)遵循與地面上物體相同的動(dòng)力學(xué)規(guī)律行星(或衛(wèi)星)的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由恒星對(duì)其行星(或行星對(duì)其衛(wèi)星)的萬有引力提供向心力 運(yùn)用萬有引力定律，不僅可以計(jì)算太陽的質(zhì)量，還可以計(jì)算其他天體的質(zhì)量下面以地球質(zhì)量的計(jì)算為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法 (1)若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，半徑為r，根據(jù)萬有引力等于向心力，即，可求得地球的質(zhì)量 (2)若已知月球

4、繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和月球運(yùn)行的線速度v，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，得 可得地球的質(zhì)量為 (3)若已知月球運(yùn)行的線速度v和運(yùn)行周期T，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，得 以上兩式消去r，解得 (4)若已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得 解得地球的質(zhì)量為要點(diǎn)三、天體密度的計(jì)算要點(diǎn)詮釋： (1)利用天體表面的重力加速度來求天體的自身密度 由和， 得 其中g(shù)為天體表面的重力加速度，R為天體半徑 (2)利用天體的衛(wèi)星來求天體的密度 設(shè)衛(wèi)星繞天體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，周期為T，天體半徑為R，則可列出方程

5、： 得 當(dāng)天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度為要點(diǎn)四、發(fā)現(xiàn)未知天體要點(diǎn)詮釋：發(fā)現(xiàn)海王星 天王星的“出軌”現(xiàn)象，激發(fā)了法國(guó)青年天文學(xué)家勒維耶和英國(guó)劍橋大學(xué)學(xué)生亞當(dāng)斯的濃厚興趣勒維耶經(jīng)常到巴黎天文臺(tái)去查閱天王星觀察資料，并把這些資料跟自己理論計(jì)算的結(jié)果對(duì)比亞當(dāng)斯也不斷到劍橋大學(xué)天文臺(tái)去，他還得到一份英國(guó)皇家格林尼治天文臺(tái)的資料，這使他的理論計(jì)算能及時(shí)跟觀察資料比較他們兩人根據(jù)自己的計(jì)算結(jié)果，各自獨(dú)立地得出結(jié)論：在天王星的附近，還有一顆新的行星！ 1846年9月23日晚，德國(guó)的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”這就是海王星 憑借

6、著萬有引力定律，通過計(jì)算，在筆尖下發(fā)現(xiàn)了新的天體，這充分地顯示了科學(xué)理論的威力要點(diǎn)五、解決天體運(yùn)動(dòng)問題的基本思路 要點(diǎn)詮釋： (1)將行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)、衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)均視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力是由萬有引力提供的根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)和牛頓第二定律列式求解有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的一些物理量，有如下關(guān)系： 若已知環(huán)繞中心天體運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)繞恒星(或行星)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，半徑為r，根據(jù)萬有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的質(zhì)量 此種方法只能求解中心天體的質(zhì)量，而不能求出做圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量 (2)若已知星球表面的重力加速度g和星球的半徑，忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，則星球?qū)ξ矬w的萬有引力等

7、于物體的重力，有，所以 其中是在有關(guān)計(jì)算中常用到的一個(gè)替換關(guān)系，被稱為“黃金代換”【典型例題】類型一、萬有引力的計(jì)算例1、已知太陽的質(zhì)量M=2.0×1030kg，地球的質(zhì)量m=6.0×1024kg，太陽與地球相距r=1.5×1011m，求（1）太陽對(duì)地球的萬有引力；（2）地球?qū)μ柕娜f有引力?！舅悸伏c(diǎn)撥】太陽對(duì)地球的萬有引力與地球?qū)μ柕娜f有引力是作用力與反作用力?！窘馕觥扛鶕?jù)萬有引力定律有：根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，地球?qū)μ柕囊εc太陽對(duì)地球的引力大小相等，方向相反，即F'=F=3.56×1022N【總結(jié)升華】根據(jù)萬有引力定律，任何兩個(gè)物體

8、之間都相互吸引，引力的大小與兩物體質(zhì)量的乘積成正比，與其距離的平方成反比，即，地球?qū)μ柕囊εc太陽對(duì)地球的引力大小相等，方向相反，二者的關(guān)系是作用力與反作用力。例2、甲、乙兩物體之間的萬有引力大小為F，若乙物體質(zhì)量不變，甲物體質(zhì)量減少1/2，同時(shí)甲、乙物體間距離也減少1/2，則甲、乙物體之間萬有引力的大小變?yōu)椋?）A、F B、F/2 C、F/4 D、2F【答案】D【思路點(diǎn)撥】注意到公式中各量之間的比例關(guān)系可以較快速解題?！窘馕觥扛鶕?jù)萬有引力定律有：【總結(jié)升華】正確理解萬有引力定律中的萬有引力大小跟什么有關(guān)系，正確應(yīng)用比例的方法求解。舉一反三【變式】?jī)纱笮∠嗤膶?shí)心小鐵球緊靠在一起時(shí)，它們之間

9、的萬有引力是F，若兩個(gè)半徑是小鐵球半徑2倍的實(shí)心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為：（ ）A、2F B、4F C、8F D、16F【答案】D【解析】小鐵球之間的萬有引力：大鐵球的半徑是小鐵球的2倍，其質(zhì)量：對(duì)小鐵球： 對(duì)于大鐵球： 則兩大鐵球間的萬有引力： 正確答案選D類型二、補(bǔ)償法計(jì)算萬有引力例3. 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球，半徑為R如果從球上挖去一個(gè)直徑為R的球，放在相距為d的地方求下列兩種情況下，兩球之間的引力分別是多大? (1)從球的正中心挖去； (2)從與球面相切處挖去； 并指出在什么條件下，兩種計(jì)算結(jié)果相同?【思路點(diǎn)撥】所求萬有引力可由均質(zhì)實(shí)心球與m間的萬有引力減去

10、所挖去的小球與m間萬有引力求得?！窘馕觥扛鶕?jù)勻質(zhì)球的質(zhì)量與其半徑的關(guān)系，兩部分的質(zhì)量分別為 (1)如圖甲所示，根據(jù)萬有引力定律，這時(shí)兩球之間的引力為 (2)如圖乙所示，在這種情況下，不能直接用萬有引力公式計(jì)算為此，可利用等效割補(bǔ)法，先將M轉(zhuǎn)化為理想模型，即用同樣的材料將其填補(bǔ)為實(shí)心球M，這時(shí)，兩者之間的引力為 由于填補(bǔ)空心球而增加的引力為 所以，這時(shí)M與m之間的引力為 當(dāng)時(shí)，M可以視為質(zhì)點(diǎn)這時(shí)，引力變?yōu)榧催@時(shí)兩種計(jì)算結(jié)果相同 【點(diǎn)評(píng)】萬有引力定律表達(dá)式只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間變力，在高中階段常見的質(zhì)點(diǎn)模型是質(zhì)量分布均勻的球體，因而利用“割補(bǔ)法”構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)模型，再利用萬有引力定律與力的合成知識(shí)可求“缺失

11、”球間的引力類型三、天體表面重力加速度問題例4.1990年5月，紫金山天文臺(tái)將他們發(fā)現(xiàn)的第2752號(hào)小行星命名為吳健雄星，該小行星的半徑為16km。若將此小行星和地球均看成質(zhì)量分布均勻的球體，小行星密度與地球相同。已知地球半徑R=6400km，地球表面重力加速度為g。這個(gè)小行星表面的重力加速度為（ ）A.400g B. C.20g D. 【答案】B【思路點(diǎn)撥】 此題屬于天體表面重力加速度問題，需用黃金代換法求解?！窘馕觥抠|(zhì)量分布均勻的球體的密度地球表面的重力加速度：吳健雄星表面的重力加速度：故B選項(xiàng)正確?！究偨Y(jié)升華】對(duì)天體來說，可以認(rèn)為重力等于萬有引力。隨著高度的增加重力加速度減小，物體所受的

12、重力減小。舉一反三【變式1】如果地球表面的重力加速度為g，物體在距地面3倍的地球半徑時(shí)的重力加速度為g'。則二者之比是 。A、1：91 B、9：1 C、1：16 D、16：1【答案】D【解析】距地面的高度為3R，則距地心為4R，根據(jù)萬有引力公式有：解上述方程得【變式2】假定 Z星和地球都是球體。Z星質(zhì)量和地球質(zhì)量之比為p，Z星的半徑與地球半徑之比為q。那么離Z星表面高處的重力加速度和離地球表面高處的重力加速度之比等于多少？【解析】因物體的重力來自萬有引力，所以離Z星表面高處有：可得：同理可得：故類型四、天體質(zhì)量、密度的計(jì)算例5.月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T，軌道半徑為r，地球半徑為R，引力

13、常量為G，請(qǐng)寫出地球質(zhì)量和地球密度的表達(dá)式?！舅悸伏c(diǎn)撥】 本題屬于計(jì)算天體質(zhì)量問題，要考慮天體質(zhì)量的計(jì)算公式和的應(yīng)用?！窘馕觥康厍?qū)υ虑虻娜f有引力提供月球繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力，由解得地球密度【總結(jié)升華】（1）利用這種方法可以比較精確地測(cè)出地球的質(zhì)量和密度。（2）利用這種方法求解的是中心天體的質(zhì)量，而不是繞中心天體運(yùn)轉(zhuǎn)的天體的質(zhì)量。（3）這種通過可直接測(cè)量的量（軌道半徑和周期），間接測(cè)量出原本無法直接測(cè)量的量的方法，是科學(xué)研究的重要方法。舉一反三【高清課程：萬有引力定律的應(yīng)用 例1】【變式】一宇航員為了估測(cè)一星球的質(zhì)量，他在該星球的表面做自由落體實(shí)驗(yàn)：讓小球在離地面h高處自由下落，他測(cè)出經(jīng)時(shí)間t小

14、球落地，又已知該星球的半徑為R，試估算該星球的質(zhì)量。【答案】類型五、雙星問題 例6.宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至于因萬有引力的作用吸引到一起。（1）試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量之反比。（2）設(shè)兩者的質(zhì)量分別為和，兩者相距L，試寫出它們角速度的表達(dá)式。【思路點(diǎn)撥】 雙星之間的作用力是兩星之間的萬有引力，要做穩(wěn)定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有依靠萬有引力提供向心力，又因以兩者連線上某點(diǎn)為圓心，所以半徑之和不變，故運(yùn)動(dòng)過程中角速度不變，再由萬有引力定律可以解得?！窘馕觥浚?）要保持兩天體間距L不變，兩者做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度必須相同。

15、設(shè)兩者軌跡圓心為O，圓半徑分別為和，如圖所示，m2m 1R1R2O所以根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系得所以 （2）由得由得且聯(lián)立解得【總結(jié)升華】解決雙星問題的關(guān)鍵，要抓住兩點(diǎn)：（1）兩星的角速度相同；（2）所需向心力的大小相等舉一反三【變式1】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率和運(yùn)行周期T。（1）可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為，試求（用表示）（2）求暗星B的質(zhì)量與可見星A的速率、運(yùn)行周期T、和質(zhì)量之間的關(guān)系式?！窘馕觥浚?）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有，設(shè)A、B之間的距離為r,又，由上述各式得由萬有引力定律