環(huán)形跑道教案

1、和倍差倍問(wèn)題適用學(xué)科小學(xué)競(jìng)賽適用年級(jí)六年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)和倍差倍應(yīng)用題教學(xué)目標(biāo)1、提高學(xué)生解決典型應(yīng)用題的能力。2、靈活掌握和差倍公式應(yīng)用。3、培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際生活問(wèn)題能力。教學(xué)重點(diǎn)提高學(xué)生解決習(xí)題能力教學(xué)難點(diǎn)靈活掌握公式知識(shí)點(diǎn)并解決問(wèn)題教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)差倍問(wèn)題就是已知大小兩數(shù)的差，以及大小兩數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩數(shù)的問(wèn)題差倍問(wèn)題的特點(diǎn)與和倍問(wèn)題類似。解答差倍問(wèn)題的關(guān)鍵是要確定兩個(gè)數(shù)量的差及相對(duì)應(yīng)的倍數(shù)差，一般情況下，在題目中不直接給出，需要經(jīng)過(guò)調(diào)整和計(jì)算才能得到。和差問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。和倍問(wèn)題就是已知兩個(gè)

2、數(shù)的和以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的問(wèn)題二、知識(shí)講解差倍問(wèn)題的基本關(guān)系式：差(倍數(shù))=倍數(shù)(較小數(shù))倍數(shù)幾倍=幾倍數(shù)(較大數(shù))或較小數(shù)+差=較大數(shù)解決差倍問(wèn)題，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)畫(huà)線段圖，這樣可以幫助我們更好的弄清各數(shù)量之間的關(guān)系 知道兩個(gè)數(shù)的和，以及它們的差，要求這兩個(gè)數(shù)，解決和差問(wèn)題需要我們畫(huà)線段圖來(lái)分析，方法如下：方法一： (和+差)2=大數(shù) 和-大數(shù)=小數(shù)方法二： (和-差)2=小數(shù) 和-小數(shù)=大數(shù) 年齡問(wèn)題的和差與差倍問(wèn)題主要利用的年齡差不變。和倍問(wèn)題的特點(diǎn)是已知兩個(gè)數(shù)的和與大數(shù)是小數(shù)的幾倍，要求兩個(gè)數(shù)，一般是把較小數(shù)看作倍數(shù)，大數(shù)就是幾倍數(shù)，這樣就可知總和相當(dāng)于小數(shù)的幾倍了，

3、可求出小數(shù)，再求大數(shù).和倍問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式是： 和(倍數(shù)+)=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù) 或 和一小數(shù)=大數(shù) 如果要求兩個(gè)數(shù)的差，要先求份數(shù)： 份數(shù)(倍數(shù))=兩數(shù)差.解決和倍問(wèn)題，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)畫(huà)線段圖，這樣可以幫助我們更好的弄清各數(shù)量之間的關(guān)系三、例題精析【例題1】李爺爺家養(yǎng)的鴨比鵝多只，鴨的只數(shù)是鵝的倍，你知道李爺爺家養(yǎng)的鴨和鵝各有多少只嗎？ 【答案】27只【解析】 引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，但是一定要強(qiáng)調(diào)差所對(duì)應(yīng)的份數(shù)，這樣我們就可以求一份量（一倍量），從而解決題目與只相對(duì)應(yīng)，這樣就可以求出一倍數(shù)也就是鵝的只數(shù)，求出了鵝的只數(shù)，鴨的只數(shù)就容易求出來(lái)了鴨與鵝只數(shù)的倍數(shù)差是（倍），鵝有 (只)，鴨有 (只)【例題

4、2】兄弟倆今年的年齡和是30歲，當(dāng)哥哥像弟弟現(xiàn)在這樣大時(shí)，弟弟的年齡恰好是哥哥年齡的一半問(wèn)：哥哥今年幾歲？【答案】18歲【解析】假設(shè)他們的年齡差是1份，由“哥哥像弟弟現(xiàn)在這樣大時(shí)，弟弟的年齡恰好是哥哥年齡的一半”可知弟弟的年齡是2份，哥哥的年齡是3份，所以每一份是(歲)，那么哥哥的年齡是(歲)【例題3】姐姐做自然練習(xí)比妹妹做算術(shù)練習(xí)多用48分鐘，比妹妹做英語(yǔ)練習(xí)多用42分鐘，妹妹做算術(shù)、英語(yǔ)兩門練習(xí)共用了44分鐘，那么妹妹做英語(yǔ)練習(xí)用了多少分鐘？【答案】25分鐘【解析】“姐姐做自然練習(xí)比妹妹做算術(shù)練習(xí)多用48分鐘，比妹妹做英語(yǔ)練習(xí)多用42分鐘”，由此可以推出妹妹做算術(shù)練習(xí)比做英語(yǔ)練習(xí)少用時(shí)間：

5、48-42=6（分鐘）。所以妹妹做英語(yǔ)練習(xí)的時(shí)間為：（44+6）2=25（分鐘）?！纠}4】在一道減法算式中，已知被減數(shù)、減數(shù)、差的和是，而減數(shù)是差的倍求差是多少？【答案】20【解析】引導(dǎo)學(xué)生分析被減數(shù)、減數(shù)、差三者之間的關(guān)系，并認(rèn)識(shí)它們之間的轉(zhuǎn)化我們先看下面一道簡(jiǎn)單的減法算式： = 被減數(shù) 減數(shù) 差 被減數(shù)、減數(shù)、差這三個(gè)數(shù)有下面的關(guān)系：被減數(shù)=差+減數(shù)，如 這道題中，被減數(shù)、減數(shù)、差的和是，是被減數(shù)的倍，就得被減數(shù)，也就是減數(shù)與差的和，這樣題目就轉(zhuǎn)化為：“已知減數(shù)與差的和是，減數(shù)是差的倍”，按照和倍問(wèn)題的解題方法，就可求出差是： 列式：減數(shù)與差的和是多少？ 差是多少？【例題5】有幾個(gè)同學(xué)想

6、稱一下體重，可是秤的秤砣不齊，只能稱50千克以上的重量，他們只好每人都和其他人合稱一次，共得到以下10個(gè)數(shù)據(jù)（單位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88問(wèn)：有幾名同學(xué)？他們的重量各是多少千克？【答案】有5個(gè)同學(xué)，他們的體重分別為37千克、38千克、41千克、43千克、45千克【解析】首先，也就是說(shuō)5個(gè)同學(xué)兩兩合稱才恰好需要稱10次，所以有5個(gè)同學(xué)設(shè)這5個(gè)同學(xué)的體重從小到大依次為、則有，；則千克；千克；千克；千克；千克即他們的體重分別為37千克、38千克、41千克、43千克、45千克四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1. 哥哥現(xiàn)在的年齡是弟弟當(dāng)年年齡的3倍，哥哥當(dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)

7、在的年齡相同，哥哥與弟弟現(xiàn)在的年齡和為30歲問(wèn)：哥哥現(xiàn)在多少歲？【答案】18歲【解析】 假設(shè)弟弟當(dāng)年年齡是1份，那么哥哥現(xiàn)在的年齡就是3份，因?yàn)楦绺绠?dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，因?yàn)榈艿墚?dāng)年年齡，弟弟現(xiàn)在年齡(哥哥當(dāng)年年齡)，哥哥現(xiàn)在年齡這三個(gè)數(shù)是等差的，所以弟弟現(xiàn)在年齡(哥哥當(dāng)年年齡)就剛好是2份，那么兄弟現(xiàn)在的年齡和是份，一份就是(歲)，哥哥現(xiàn)在是(歲)2. 媽媽的年齡是小紅的5倍，奶奶的年齡比小紅大9倍，已知奶奶比媽媽大35歲，求三人年齡各多少歲？【答案】70歲【解析】 奶奶的年齡比小紅大9倍，媽媽的年齡是小紅的5倍，那么，媽媽的年齡比小紅大（5-1）倍，奶奶的年齡比媽媽大（9-4）倍

8、，把小紅的年齡看作一倍數(shù)，則小紅的年齡為：35（9-4）=7（歲），媽媽的年齡是：75=35（歲），奶奶的年齡是：35+35=70（歲）3. 兩個(gè)書(shū)架，甲書(shū)架存書(shū)相當(dāng)于乙書(shū)架存書(shū)量的倍，甲書(shū)架比乙書(shū)架存書(shū)多本，則乙書(shū)架存書(shū)多少本？【答案】30本【解析】 多的本相當(dāng)于乙書(shū)架的倍，則乙書(shū)架的書(shū)為：（本）4. 某小學(xué)原來(lái)參加室外活動(dòng)的人數(shù)比參加室內(nèi)活動(dòng)的人數(shù)多人，現(xiàn)在把室內(nèi)活動(dòng)的人改為室外活動(dòng)，這樣室外活動(dòng)的人數(shù)正好是室內(nèi)人數(shù)的倍，則參加室內(nèi)、室外活動(dòng)的共有多少人?【答案】870人【解析】 原來(lái)室外、室內(nèi)活動(dòng)人數(shù)相差人，現(xiàn)把室內(nèi)的人改為室外活動(dòng)，這樣室外活動(dòng)人數(shù)比室內(nèi)人數(shù)多(人)，這時(shí)室外活動(dòng)人數(shù)正

9、好是室內(nèi)人數(shù)的倍，人相當(dāng)于現(xiàn)在室內(nèi)活動(dòng)人數(shù)的(倍)，這樣可先求出現(xiàn)在室內(nèi)活動(dòng)人數(shù)為，再求出室內(nèi)、外人數(shù)之和：人5. 師、徒兩人共加工個(gè)零件，師父加工的個(gè)數(shù)比徒弟的倍還多個(gè)，師父和徒弟各加工零件多少個(gè)？【答案】80個(gè)【解析】 把徒弟加工的個(gè)數(shù)看作份數(shù)，師父加工的個(gè)數(shù)就比份數(shù)還多個(gè)，如果師父少加工個(gè)，兩人加工的總數(shù)就少個(gè)，總數(shù)變?yōu)閭€(gè)，就可以求出師父和徒弟各加工多少個(gè)了徒弟做了：(個(gè))，師父做了：(個(gè))【鞏固】1. 三個(gè)小組共有180人，一、二兩個(gè)小組人數(shù)之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數(shù)。 【答案】49人【解析】先將一、二兩個(gè)小組作為一個(gè)整體，這樣就可以利用基本和差

10、問(wèn)題公式得出第一、二兩個(gè)小組的人數(shù)和，然后對(duì)第一、二兩個(gè)組再作一次和差基本問(wèn)題計(jì)算，就可以得出第一小組的人數(shù)。一、二兩個(gè)小組人數(shù)之和=（180+20）/2=100人，第一小組的人數(shù)=（100-2）/2=49人。2. 甲、乙兩筐蘋果，甲筐比乙筐多19千克，從甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的蘋果比甲筐的多3千克？ 【答案】11千克【解析】從甲筐取出放入乙筐，總數(shù)不變。甲筐原來(lái)比乙筐多19千克，后來(lái)比乙筐少3千克，也即對(duì)19千克進(jìn)行重分配，甲筐得到的比乙筐少3千克。于是，問(wèn)題就變成最基本的和差問(wèn)題：和19千克，差3千克。（19+3）/2=11千克，從甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中

11、的蘋果比甲筐的多3千克。3. 一個(gè)三層書(shū)架共放書(shū)108本上層比中層多放11本，下層比中層少放5本，上、中、下三層各放書(shū)多少本? 【答案】45（本），34（本），29（本）【解析】 中：（108-11+5）3=34（本），上：34+11=45（本），下：345=29（本）。評(píng)析：（1）此題用畫(huà)線段圖的方法會(huì)更直觀，易懂。（2）這道題原題的解法是先求中層的書(shū)，這樣比較簡(jiǎn)單.為了更好的鍛煉學(xué)生對(duì)這道題的理解，建議老師可以讓學(xué)生自己練習(xí)先求上層的書(shū)的數(shù)量，或者先求下層書(shū)的數(shù)量4.被除數(shù)、除數(shù)、商3個(gè)數(shù)的和是212。已知商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？【答案】140,70【解析】 由商是2，可得被除數(shù)與除

12、數(shù)的和為：212-2=210；且被除數(shù)是除數(shù)的2倍。把除數(shù)看著1份，兩數(shù)和對(duì)應(yīng)的份數(shù)是3份，除數(shù)為：210（2+1）=70；被除數(shù)為：702=140。5. 兩個(gè)正整數(shù)相除，商是，余數(shù)是，如果被除數(shù)、除數(shù)都擴(kuò)大到原來(lái)的倍，那么被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和等于原來(lái)的被除數(shù)是 ，除數(shù)是 【答案】222,31【解析】 被除數(shù)、除數(shù)都擴(kuò)大到原來(lái)的倍，它們的商還是、余數(shù)為，所以被除數(shù)與除數(shù)的和為，而此時(shí)被除數(shù)比除數(shù)的倍大，所以除數(shù)為，所以原來(lái)的除數(shù)為，被除數(shù)原來(lái)為【拔高】1.有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的卡片，每種顏色的卡片各有3張相同顏色的卡片上寫相同的自然數(shù)，不同顏色的卡片上寫不同的自然數(shù)老師把這l2張卡片

13、發(fā)給6名同學(xué)，每人得到兩張顏色不同的卡片然后老師讓學(xué)生分別求出各自兩張卡片上兩個(gè)自然數(shù)的和六名同學(xué)交上來(lái)的答案分別為：92，125，133，147，158，191老師看完6名同學(xué)的答案后說(shuō)，只有一名同學(xué)的答案錯(cuò)了問(wèn)：四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是多少？【答案】35.【解析】根據(jù)題意可知，6名同學(xué)每人都得到給定的4個(gè)數(shù)中的某2個(gè)，而從4個(gè)數(shù)中選取2個(gè)不同的數(shù)共有種不同的方法而6名同學(xué)所給的6個(gè)答案中只有1個(gè)錯(cuò)誤，有5個(gè)是正確的，而且這5個(gè)正確的答案互不相同，所以這5名同學(xué)所拿到的兩個(gè)數(shù)也互不相同而總共只有6種不同情況，所以給出錯(cuò)誤答案的那名同學(xué)所拿到的兩個(gè)數(shù)與其他5名同學(xué)所拿到的兩個(gè)數(shù)的情況也

14、都不相同那么本題相當(dāng)于：有四個(gè)數(shù)、()，每次從中取出兩個(gè)數(shù)，計(jì)算它們的和，得到六個(gè)和：92，125，133，147，l58，l91，其中只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，求的值由取法可知，得到的六個(gè)和可以兩兩匹配，即與，與， 與，互相匹配的兩個(gè)和的和是相等的，都等于而題中的6個(gè)數(shù)中，可見(jiàn)，那么六個(gè)和數(shù)中133和147都可能是錯(cuò)誤的如果147是錯(cuò)誤的，那么133是正確的，另一個(gè)正確的和數(shù)為，根據(jù)、的大小順序，可得，而與分別為133和150再由得，所以是偶數(shù)，那么，得，進(jìn)而得即四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是42 如果133是錯(cuò)誤的，那么147是正確的，同樣分析可知，此時(shí)四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是352.食

15、堂買來(lái)5只羊，每次取出兩只合稱一次重量，得到10種不同重量（單位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59問(wèn)：這五只羊各重多少千克？【答案】C=28千克，千克，千克，千克，千克【解析】可以設(shè)定羊的重量從輕到重分別為，則，同時(shí)不難整體分析得到千克則千克不難有，則千克，千克，千克，千克3.在期末考試中，哥哥的數(shù)學(xué)成績(jī)比語(yǔ)文高7分，弟弟的數(shù)學(xué)成績(jī)是語(yǔ)文的又知道弟弟的數(shù)學(xué)成績(jī)比哥哥的數(shù)學(xué)成績(jī)的高分，總成績(jī)比哥哥低分，那么弟弟的語(yǔ)文成績(jī)是多少分？【答案】98分【解析】把弟弟的語(yǔ)文成績(jī)?cè)O(shè)為分，則弟弟的數(shù)學(xué)成績(jī)是分，哥哥的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榉?，哥哥語(yǔ)文成績(jī)?yōu)榉帜敲从煽偝煽?jī)的關(guān)系可以列式：，

16、化簡(jiǎn)得，則所以弟弟的語(yǔ)文成績(jī)是98分4.甲、乙兩個(gè)小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的2倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的3倍那么甲、乙兩個(gè)小朋友共有多少粒糖？【答案】24?！窘馕觥靠傮w和部分，比較分析甲給乙一定數(shù)量糖后，甲占總數(shù)的，乙給甲一定數(shù)量后，甲占總數(shù)的則前后變化又由于前后變化為2倍的“同樣數(shù)量的糖”，所以每次變化，所以糖的總數(shù)能被24整除由于每袋糖不超過(guò)20粒，則糖的總數(shù)不超過(guò)40粒，又是24的倍數(shù)，則只能是245. 在一次考試中，甲、乙兩人考試結(jié)果如下：甲答錯(cuò)了全部試題的，乙答錯(cuò)了7道題，甲、乙都答錯(cuò)的題目占全部試題的，則甲、乙兩人都答對(duì)的題目最少多少道？【答案】6道【解析】容斥原理甲答錯(cuò)、乙答對(duì)的題占全部試題的，那么甲、乙