生產(chǎn)計劃安排

1、111111足球生產(chǎn)計劃問題摘要：本文討論了B題給出的足球生產(chǎn)計劃問題。首先我們充分分析了題意，建立了足球生產(chǎn)計劃的優(yōu)化模型。其次，該模型的求解我們采用了專門解決規(guī)劃問題的lingo軟件，并用MATLAB數(shù)學(xué)軟件對求解的結(jié)果進行了檢驗以確保其正確性。在推行現(xiàn)代企業(yè)制度的企業(yè)里，要提高企業(yè)的經(jīng)濟效益，降低產(chǎn)品成本是一個重要的途徑。成本是反映企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營狀況的最主要的綜合性指標，只有把控制成本擺放在最突出的位置上，企業(yè)才能適應(yīng)市場要求，取得經(jīng)濟效益。以最低的消耗獲取最佳的經(jīng)濟效益，是企業(yè)經(jīng)營者所追求的目標。企業(yè)要實現(xiàn)盈利目標與戰(zhàn)略管理，離不開生產(chǎn)計劃的制定。生產(chǎn)商品所帶來的生產(chǎn)成本，又得滿足客戶的

2、需求量下，必定會有庫存量，庫存量會帶來儲存成本，在生產(chǎn)成本與儲存成本之間需要找到一個平衡，而儲存率正是把生產(chǎn)成本與儲存成本連接起來，要使得總成本最優(yōu)化，儲存率就得找一個最優(yōu)值，找一個符合公司本身的生產(chǎn)計劃。對于問題一，在按滿足需求量的條件下，使生產(chǎn)總成本和儲存成本最小化的生產(chǎn)計劃中，我們通過確定目標函數(shù)，尋找約束條件，建立了線性規(guī)劃模型，并用生產(chǎn)計劃模型和目標規(guī)劃進行了檢驗。對于問題二和問題三，我們采用了枚舉法，將儲存率降低時會出現(xiàn)的值一一列舉出來，得到相應(yīng)的生產(chǎn)計劃，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：儲存率在一定的范圍內(nèi)，產(chǎn)量的取值都和儲存成本率等于0.0039，0.012。在本文的最后，我們對模型進行了多方面、多

3、層次的分析、檢驗，使模型趨向于完善，同時對模型進行了幾方面的改進，還提出了幾點寶貴的改進意見，論證嚴密，邏輯性強，并將它推廣應(yīng)用于實際中，使我們對實際數(shù)據(jù)的處理結(jié)果與實際經(jīng)驗相符合。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；最優(yōu)化求解；lingo軟件；Matlab數(shù)學(xué)軟件；成本最小一、問題綜述1.1 問題的描述某皮革公司生產(chǎn)足球，它必須確定每個月生產(chǎn)多少足球。該公司決定以6個月為一個規(guī)劃周期；根據(jù)市場調(diào)查，今后6個月的預(yù)計需求量分別是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000.該公司希望按時滿足這些需求量。它目前的存貨是5,000，該公司可以用該月的生產(chǎn)量來滿足該月的需求量（公

4、司有一整個月的時間來生產(chǎn)，而需求則在月底發(fā)生）；在每個月中，該公司的最大產(chǎn)量是30,000個足球，而公司在扣掉需求后，月底的庫存量最多只能儲存10,000個足球。預(yù)測今后六個月的足球的生產(chǎn)單位成本分別是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95；而每一個足球在每個月中的持有成本是該月生產(chǎn)成本的5%。（這個成本包含了庫存的成本和將貨物擱置在倉庫的成本。）而足球的銷售金額和這次的生產(chǎn)決策無關(guān)，因為不管銷售的金額為何，該公司都打算盡可能滿足顧客的需求，因此該公司希望確定使生產(chǎn)總成本和儲存成本最低的生產(chǎn)計劃。1.2 問題的提出問題一：求出按時滿足需求量的條件下，

5、使生產(chǎn)總成本和儲存成本最小化的生產(chǎn)計劃。問題二：如果儲存成本率降低，生產(chǎn)計劃會怎樣變化？問題三：儲存成本率是多少時？儲存容量達到極限。二、問題分析考慮到問題的題設(shè)和要求，我們要解決的是皮革公司的生產(chǎn)計劃優(yōu)化配置問題，這是個典型的線性規(guī)劃問題，對于規(guī)劃問題的求解步驟基本是：第一步，找目標函數(shù)；第二步，找約束條件；第三步，對規(guī)劃函數(shù)進行求解。對問題分析后，我們確定總成本與產(chǎn)量的目標函數(shù)，我們建立了按時滿足需求量的條件下，使生產(chǎn)總成本和儲存成本達到最小的數(shù)學(xué)模型。約束條件的尋找相對比較容易，不過我們能從題目中得到的明顯約束條件很少，可想而知本題有隱含的約束條件需要自己去挖掘。如果約束條件能夠起到有效

6、的約束作用，唯一剩下的就是借助計算機對規(guī)劃模型進行最優(yōu)求解。對于問題一 ：某皮革公司生產(chǎn)足球需要制定在滿足客戶的需求下，使生產(chǎn)總成本和儲存成本最小化的生產(chǎn)計劃。對于這六個月的方案我們可以考慮以1個月為一個生產(chǎn)周期，在每個月滿足客戶需求后，考慮生產(chǎn)成本與儲存成本，又受到該公司的最大產(chǎn)量和公司在扣掉需求后，月底的庫存量最多儲存量的制約，我們的任務(wù)就是制定一個優(yōu)化的生產(chǎn)計劃使得生產(chǎn)總成本與儲存成本最小化。我們決定用線性規(guī)劃來解決這個問題對于問題二和問題三：本月的庫存量是上月的庫存量加本月的生產(chǎn)量減本月的需求，本月與上月的庫存量相互影響，儲存率的變化，又會影響儲存成本的變動，要使得儲存成本的降低，生產(chǎn)

7、成本需降低，這就意味著產(chǎn)量的下降，而公司需要滿足客戶的需求，這就出現(xiàn)了矛盾的地方，因此生產(chǎn)計劃需要作出相應(yīng)的變化，最終考慮當儲存容量達到極限時，儲存率的值。對此，我們決定枚舉法來解決這個問題。此外，為了目標函數(shù)和約束條件的順利表述。我們在正式模型建立之前，做了大量完整而系統(tǒng)的模型準備工作，用量化的語言理清了生產(chǎn)成本，儲存成本，儲存率，庫存量等之間的關(guān)系。三、基本假設(shè)1、假設(shè)在六個月時間內(nèi)，每個足球的生產(chǎn)成本保持穩(wěn)定不變；2、假設(shè)每個月的單位生產(chǎn)成本不變；3、假設(shè)足球的銷售金額和這次的生產(chǎn)決策無關(guān)；4、假設(shè)最后一個月月末的庫存為零；5、假設(shè)每個月的需求量首先有庫存補給，不足部分就本月生產(chǎn)量補足；

8、6、假設(shè)在六個月內(nèi)不受其他風(fēng)險因素的影響。四、定義符號說明每月最大產(chǎn)量： ； 每月剩余量：；每月需求量： ； 每月生產(chǎn)費用：；每月儲存費用： ； 每月單位生產(chǎn)成本：；每月單位儲存成本：； 每月產(chǎn)量：；每月儲存成本率： ； 儲存容量：每月總成本： ； 六個月生產(chǎn)和儲存成本：五、模型的建立5.1 問題一模型的建立問題一要求設(shè)計一種生產(chǎn)計劃，按時滿足需求量的條件下，使生產(chǎn)總成本和儲存成本達到最小。設(shè)今后六個月分別是1月，2月，3月，4月，5月，6月，根據(jù)題意中的已知數(shù)據(jù)（如單位生產(chǎn)成本、預(yù)計需求量和最大生產(chǎn)量等等）繪制成以下表格，再把具體數(shù)據(jù)對應(yīng)填入表1中。表1 每月各項數(shù)據(jù)月份生產(chǎn)成本（美元/個）

9、儲存成本（美元/個）產(chǎn)量（個）預(yù)計需求量（個）1月12.50000.625030000100002月12.55000.627530000150003月12.70000.635030000300004月12.80000.640030000350005月12.85000.642530000250006月12.95000.64753000010000每月的生產(chǎn)成本為：；每月的儲存成本為：每月的總成本為：六個月的總成本為：所得模型的目標函數(shù)為：約束條件：目標函數(shù)：5.2 問題二模型的建立設(shè)儲存率為，則，其他條件不變，得出以下模型。約束條件：目標函數(shù)：5.3 問題三模型的建立問題三是建立在問題二的基礎(chǔ)上

10、的，所以我們可以從問題二的結(jié)果中得出問題三的結(jié)論。枚舉附件1lingo程序中的變量存貨儲存率的值來觀察每月的產(chǎn)量變化。六、模型的求解5.1 問題一模型的求解我們根據(jù)建立的線性規(guī)劃模型，通過lingo軟件編程（程序見附錄1），得到了問題的最優(yōu)解，六個月最低總成本為1615212元，其中六個月的產(chǎn)量分別是5000個，20000個，30000個，30000個，25000個，10000個。用MATLAB數(shù)學(xué)軟件對求解的結(jié)果進行檢驗時（程序見附錄2），得到的最低成本、以及每個月生產(chǎn)的產(chǎn)量和用lingo軟件求出的結(jié)果相同。根據(jù)模型一建立的約束條件和目標函數(shù)，我們參照表1中的數(shù)據(jù)代入matlab程序運算如下

11、：定義常數(shù)矩陣：，定義變量矩陣：定義系數(shù)矩陣：將數(shù)據(jù)代入MATLAB程序(見附件2)運算得 5.2 問題二模型的求解根據(jù)模型二，運用枚舉法求得，當儲存成本率降低，生產(chǎn)計劃變化分析結(jié)果如表2所示（程序見附件1、3）：表2 生產(chǎn)計劃變化表percentX1X2X3X4X5X6Sum0.05005000200003000030000250001000016152120.04005000200003000030000250001000015980200.03005000200003000030000250001000015808280.012050002000030000300002500010000

12、15498810.00905000250002500030000250001000015445380.0070500025000300002500030000500015408680.00391500015000300003000030000015346860.00351500015000300003000030000015338200.00301500015000300003000030000015327390.00251500015000300003000030000015316580.0020150001500030000300003000001530576由上表可知，當儲存成本率小于等

13、于0.0039時，產(chǎn)量的取值都和儲存成本率等于0.012時一樣；當儲存成本率大于等于0.012時，產(chǎn)量的取值都和儲存成本率等于0.012時一樣。從上表還可以看出，當儲存成本率下降是，總成本也隨之降低。5.3 問題三模型的求解由問題二的結(jié)果可以看出當儲存成本率是0.0039時,儲存容量達到極限。其第六個月的產(chǎn)量等于零，最大儲存容量。（程序見附件3）七、 結(jié)果分析 對于一采用的線性規(guī)劃，建立了數(shù)學(xué)模型，需要確定目標值（），每月產(chǎn)量等，具有一定的主觀性與模糊性，隨著主觀者的決策不同而不同。我們對模型的求解運用lingo軟件，并用MATLAB數(shù)學(xué)軟件對求解的結(jié)果進行了檢驗以確保其正確性。結(jié)果顯示：他們

14、的最低總成本是相等的。對于問題二和三，我們用了枚舉法解決，將儲存率降低時會出現(xiàn)的值一一列舉出來，得到相應(yīng)的生產(chǎn)計劃，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：儲存率在一定的范圍內(nèi)，產(chǎn)量的取值都和儲存成本率等于0.0039，0.012。而枚舉法運算量比較大，解題效率不高，如果枚舉范圍太大（一般以不超過兩百萬次為限），在時間上就難以承受。不可避免地會出現(xiàn)些誤差，只要來自于一方面來自于模型的建立，另一方面來自于枚舉法的運用。由于模型將一些問題過于理想化，也忽略了一些次要因素的影響。因此，模型各量的取值將直接影響模型結(jié)果的穩(wěn)定性和精確性。變量的選取，取值的不穩(wěn)定性，都影響著最終結(jié)果的判定。用不同的數(shù)值方法會得不同的結(jié)果。八、 模型評

15、價與改進8.1 模型的優(yōu)點（1）為便于分析問題，模型簡化了生產(chǎn)、需求和存儲的關(guān)系，省去了生產(chǎn)時間、存儲時間和需求時間三者之間的復(fù)雜關(guān)系；（2）在需求方面，優(yōu)先考慮上周剩余量的使用，省去了產(chǎn)品長時間積壓帶來的一些問題4；（3）忽略了一些市場因素的影響，假定各個量在六個月內(nèi)穩(wěn)定不變，這就省去了修正各個量的步驟，使模型簡單易求。（4）采用枚舉法，得到的結(jié)果肯定是正確的；枚舉算法的思路簡單，程序編寫和調(diào)試方便。（5）本文在正確，清楚地分析了題意的基礎(chǔ)上，建立了科學(xué)，合理的生產(chǎn)計劃模型，為求儲存率做準備。（6）對模型中的生產(chǎn)量，儲存成本，生產(chǎn)成本進行了量化分析，使的文章跟具說服力。8.2 模型的缺點（1

16、）在模型中生產(chǎn)、需求和存儲的關(guān)系過于簡單，與實際生產(chǎn)有所出入，比如生產(chǎn)需要一定的時間來完成，生產(chǎn)時間拉的越長，存儲與需求的關(guān)系越復(fù)雜，從而導(dǎo)致存儲和生產(chǎn)的費用變化1,4；（2）在實際中往往會遇到諸如競爭、供求關(guān)系的影響，而在模型中忽略了這類市場風(fēng)險的影響，從而使所得的結(jié)果并不能很好的反映實際情況。（3）我們第四個假設(shè)最后一個月月末的庫存為零，不符合實際，太過理想化。而且，在實際生產(chǎn)與銷售中，會受到各種各樣的風(fēng)險因素與競爭壓力。（4）規(guī)劃模型中的約束條件太過于簡單，沒能全方面考慮到各個要素，如忽視了銷售價格對于生產(chǎn)計劃的影響。如果市場上，供過于求，公司不得不在價格做出讓步，以求得商品的銷售，這時

17、，并非生產(chǎn)的越多越好，生產(chǎn)的成本直接會降低一個公司的利潤。8.3 模型的改進以上的模型是在給定一些假設(shè)，諸如每個月的單位生產(chǎn)成本不變；足球的銷售金額和這次的生產(chǎn)決策無關(guān)等，這是對實際的抽象簡化與實際情況并不完全相符。為了使模型在現(xiàn)實中得到應(yīng)用，我們可以對模型進行改進。為了進一步完善模型中生產(chǎn)、需求和存儲的關(guān)系1,4，需求量要求在滿足條件下，使生產(chǎn)總成本和儲存成本最小化的生產(chǎn)計劃，我們可以采用最佳經(jīng)濟批量法：最佳經(jīng)濟批量，其中表示一定時期產(chǎn)品的總產(chǎn)量，表示每次產(chǎn)品投產(chǎn)前的準備成本，表示單位生產(chǎn)產(chǎn)品的存儲成本。則可求出最低相關(guān)總成本。如果不考慮足球的銷售金額，就不知道生產(chǎn)足球是否有獲利，在現(xiàn)實生活

18、中，如果生產(chǎn)一種產(chǎn)品并沒有利潤收入時，甚至發(fā)生虧損的情況下，我們建議停止生產(chǎn)該種產(chǎn)品，只有這樣，才不會造成更大的損失，所以，我們必要考慮產(chǎn)品的銷售金額和它的最大利潤。九、 模型推廣本模型是一個典型的線性規(guī)劃模型，用來求解最優(yōu)目標函數(shù)值問題。此類問題很多，也有很多的推廣應(yīng)用價值。優(yōu)化問題可以說是人們在工程技術(shù)、經(jīng)濟管理和科學(xué)研究等領(lǐng)域中最常遇到的一類問題。如設(shè)計師要在滿足強度要求下選擇材料的尺寸，使結(jié)構(gòu)總重量最輕；公司經(jīng)理要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場要求下確定產(chǎn)品價格，使所獲利潤最高；投資者要選擇一些股票、債券“下注”，使收益最大，而風(fēng)險最小等。這種用數(shù)學(xué)建模的方法來處理優(yōu)化問題，即建立和求解所謂優(yōu)化模

19、型。雖然由于建模時要做適當?shù)暮喕?，可能使得結(jié)果不一定完全可行或達到實際上的最優(yōu)，但是它基于客觀規(guī)律和數(shù)據(jù)，又不需要多大的費用。如果在建模的基礎(chǔ)上再輔之以適當?shù)慕?jīng)驗和試驗，就可以期望得到實際問題的一個比較圓滿的回答。參考文獻1 姜啟源.數(shù)學(xué)模型M .北京: 高等教育出版社,2002 2 劉建州. 實用數(shù)學(xué)模型教程M .武漢: 武漢理工大學(xué)出版社,2004 3 王文波.數(shù)學(xué)建模及其基礎(chǔ)知識詳解M .武漢:武漢大學(xué)出版社,2006 4 程理民 ，吳江，張玉林等.運籌學(xué)模型與方法教程M . 北京:清華大學(xué)出版社，1998 5 陳華友.運籌學(xué).中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 20056 壽紀麟.數(shù)學(xué)模型方法與

20、范例. 西安交通大學(xué)出版社,19937 薛毅.數(shù)學(xué)建?；A(chǔ).北京工業(yè)大學(xué)出版社,20048 王正林 ，劉明.精通MATLAB7.電子工業(yè)出版社,20029 范國兵 , 羅太元.線性規(guī)劃問題最優(yōu)解的判定.長沙大學(xué)學(xué)報.第21卷第2期4-5頁,200710附程序：附件1：用lingo軟件的編程及相應(yīng)的結(jié)果model:sets:month/mon1.mon6/:total;val/val1.val6/:cost;x/x1.x6/: output;ku/ku1.ku6/:kucun;endsetsdata:total = 10000 15000 30000 35000 25000 10000; cos

21、t = 12.50 12.55 12.70 12.80 12.85 12.95; percent = 0.05; kucun = 5000,;n=6;enddatamin = output(1)*cost(1)+ output(2)*cost(2)+output(3)*cost(3)+output(4)*cost(4)+output(5)*cost(5)+output(6)*cost(6)+cost(1)*percent*(kucun(1)+output(1)+cost(2)*percent*(kucun(2)+output(2)+cost(3)*percent*(kucun(3)+outpu

22、t(3)+cost(4)*percent*(kucun(4)+output(4)+cost(5)*percent*(kucun(5)+output(5)+cost(6)*percent*(kucun(6)+output(6); output(1)=total(1);kucun(1)+output(1)-total(1)=10000;kucun(2)=kucun(1)+output(1)-total(1); output(2)=total(2);kucun(2)+output(2)-total(2)=10000;kucun(3)=kucun(2)+output(2)-total(2); outp

23、ut(3)=total(3);kucun(3)+output(3)-total(3)=10000;kucun(4)=kucun(3)+output(3)-total(3); output(4)=total(4);kucun(4)+output(4)-total(4)=10000;kucun(5)=kucun(4)+output(4)-total(4); output(5)=total(5);kucun(5)+output(5)-total(5)=10000;kucun(6)=kucun(5)+output(5)-total(5); output(6)=total(6); kucun(6)+ou

24、tput(6)-total(6)=10000;endGlobal optimal solution found. Objective value: 1615212. Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost PERCENT 0.5000000E-01 0.000000 N 6.000000 0.000000 TOTAL( MON1) 10000.00 0.000000 TOTAL( MON2) 15000.00 0.000000 TOTAL( MON3) 30000.00 0.000000 TOTAL( MON4) 35000.00 0.000000 TOTAL( MON5) 25000.00 0.000000 TOTAL( MON6) 10000.00 0.000000 COST( VAL1) 12.50000 0.000000 COST( VAL2) 12.55000 0.000000 COST( VAL3) 12.70000 0.000000 COST( VAL4) 12.80000 0.000000 COST( VAL5) 12.85000 0.000000 COST( VAL6) 12.95000 0.