第11章曲線積分與曲面積分解答

1、1設(shè)曲線積分，因為，所以（B）A. 對任意閉曲線C，;B. 在曲線C不圍住原點時，；C. 因與在原點不存在，故對任意的閉曲線C，；D. 在閉曲線C圍住原點時I=0，不圍住原點時 .2設(shè)表示橢圓，方向逆時針，則曲線積分（D）A.B.C.D.03、設(shè)L是從點A（1，0）到點B（-1，2）的直線段，則曲線積分（ B ）A.B.C.D.4. 設(shè)從點到點的直線，則下列等式正確的是（D） A.B.C.D.5. 設(shè)L為從點A（1，1）到點B（1，0）的直線，則下列等式正確的是（ D ）A.B.C.D.6設(shè)是從點到點的直線段，則曲線積分( B )。A. B. C. D. 07單連通域D內(nèi)的函數(shù)P(x,y),Q

2、(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是在D內(nèi)恒有（ B ）。A. B. C. D.8單連通域D內(nèi)的函數(shù)P(x,y),Q(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是在D內(nèi)恒有（ D ）。A. B. C. D. 9.設(shè)L是從到的一段，則曲線積分（ B ）A. B. C. D.10. 若曲線積分與路徑無關(guān)，則常數(shù)（ B ）。A. B. C. D.11設(shè)L是從點到點的直線段，則 ( C )A.B.C.D.12曲線弧上的曲線積分和上的曲線積分有關(guān)系 ( B )A. B. C. D. 13. 設(shè)曲線是從(0,0)到(2,2)的一段弧，則曲線積分（ C ）A. B. C

3、.D.14.若曲線積分與路徑無關(guān)，則常數(shù)（ B ）A. B. C. D. 15. 設(shè)L是從點到點的直線段，則 ( A )A. B. C.D.16.已知曲線積分與積分路徑無關(guān)，則必滿足條件（C）A.B.C.D.二、填空題（將正確答案填在橫線上）1. 設(shè)L為圓周 ，方向為順時針，則.2設(shè)L是拋物線上點A（0，0）與點B（1，1）之間的一段弧，則曲線積分.3格林公式成立的條件是在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) .4.設(shè)、在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分與路徑無關(guān)和，為某個函數(shù)的全微分是相互等價的.5設(shè)L是 平面上點到點的直線，方向是從A到B,則曲線積分= 4.6設(shè)為上從點到（0，0）的曲線弧，則 .7設(shè)

4、為由點到點的直線段，則0.8. 設(shè)L為圓周，方向為順時針，則.9. 設(shè)為從點到點的直線，則= .10已知有界閉區(qū)域的邊界是光滑曲線，的方向為的正向，則用第二型曲線積分寫出區(qū)域的面積公式.三、解答下列各題(本大題共7小題，每題7分，共49分)1. 求曲線積分，其中L是在圓周上由點(0，0)順時針到點(1，1)的弧段.解：設(shè)，取閉合曲線令，則由格林公式得，即2分于是3分而從而5分因此7分2.求曲線積分，其中與x軸所圍曲線,取正向.解 令點，取閉合曲線，2分于是 4分6分7分3. 求，其中是上從點（0,0）到點（4,8）的弧段.解： 積分沿曲線為，從0到4. 2分所以化為對的積分5分7分4.計算，其

5、中L是從A(1，0)沿半圓周逆時針到B(1，0).解：令 則由格林公式， 3分 即所以，7分5.證明曲線積分在整個xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值。解:由題意，知，所以，2分在整個平面內(nèi)成立，從而與路徑無關(guān)。 3分記，取積分路線為平行坐標(biāo)軸的折線段，即 . 7分6.用格林公式計算 ，其中L為圓周上從點順時針到點這段曲線.（不用格林公式不得分）解：令，則2分 取閉區(qū)域由上半圓和線段圍成則由格林公式3分5分而=故7分7.求曲線積分，其中L為三頂點分別為（0，0），（3，0），（3，2）的三角形邊界正向.解：由題意， 積分路線為三角形OMN的邊界正向，則有 2分4分. 7分8.試計算，其中為曲線上

6、相應(yīng)于從0變到的這段弧.解： 2分 于是4分6分7分9.計算，其中是沿圓周的正向閉路.解：令 則 利用格林公式，3分其中是：上式7分10.設(shè)L是從點（1，0，1）到點（0，3，6）的直線段，試求三元函數(shù)的第一類曲線積分.解 直線的方程為2分則 ，4分于是=7分11.計算，其中的起點為，終點為，路徑分別為（1）直線； （2）折線，點為.解：（1）直線AB的方程是， 從1到2. 1分所以化為對的積分3分4分（2）6分在上，從1到2，所以8在上，從1到3，所以從而 . 8分12.用格林公式和二重積分二種方法計算，其中是以為頂點的三角形區(qū)域.解：（1）令由格林公式得，其中2分2分于是所以，4分（2）

7、所以，8分13設(shè)曲線L是從點A（0，1）到點B（1，0）的直線，試求下列曲線積分：（1）、； （2）、.解：（1）由于L由方程，2分給出，因此 原式4分（2）化為對的定積分，L：，從0變到1. 6分所以 原式 =0 8分14.設(shè)正向曲線圍成的有界閉區(qū)域為，（1）證明的面積；（2）設(shè)，試用二重積分和（1）中的公式兩種方法求面積.（1）證：由題意知，由格林公式有2分即的面積 4分（2） 解：用（1）中的公式解積分路線為，其中為，從0到2，為，從0到，為，從2到0 7分所以 . 10分15.證明曲線積分在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值.解：由題意知，且2分在整個xoy平面內(nèi)成立，所以該曲線積分與路徑無關(guān). 3分取為C點，令為A點，為B點，則該曲線積分沿折線AC，CB積分有8分16計算，其中L為有向折線OAB，這里O，A，B依