第13講空間向量與立體幾何

1、個性化 教 學(xué) 設(shè) 計 教案授課時間： 2011 年8月21 日（ 13：00-15：15 ）備課時間： 2011 年 8月 20日年級：高二 學(xué)科： 數(shù)學(xué) 課時：3學(xué)生姓名：課題名稱第13講 空間向量與立體幾何授課教師：教學(xué)目標(biāo)1空間向量及其運算（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。2空間向量的應(yīng)用（1）理解直線的方向向量與平面的法向量。（2）能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。（3）

2、能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）。（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用。教學(xué)過程一、利用空間向量證明空間位置關(guān)系首先對直線與平面分別選擇其方向向量和法向量來定位，再將線、面的平行問題、垂直問題轉(zhuǎn)化為兩個向量的平行與垂直問題二、利用空間向量求空間角1異面直線成角異面直線成角問題是通過轉(zhuǎn)化為它們的方向向量的夾角來解決的但要注意，異面直線成角的范圍是（0，而兩向量的夾角范圍是0，異面直線方向向量的夾角有可能是其補(bǔ)角，因此，求出后要注意檢驗也可直接取絕對值處理即若兩異面直線m，n的方向向量分別

3、是a，b，它們所成的角為，則有cos|cosa，b|.2直線與平面所成的角直線與平面所成的角要轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角來解決但要注意的是這個夾角的余弦值的絕對值與直線與平面所成的角的正弦值相等如圖所示，設(shè)直線PA與平面所成的角是，平面的法向量為n，則有sin|cos，n|.3二面角利用向量求二面角的大小，有兩種方法：一種是轉(zhuǎn)化為與二面角棱垂直且分別在兩個面內(nèi)的兩個向量的夾角問題即：如圖4132所示，在二面角l中，AB，CD分別在平面，中，且分別垂直于棱l，則此二面角的大小的余弦值為：coscos，注意兩個向量的起點都要在棱上另一種是轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量的夾角問題但都要注意二面

4、角的范圍是0，求出后也要檢驗如圖4133所示二面角l兩個面的法向量分別是m，n，設(shè)二面角l的大小為，則有|cos|cosm，n|，通?？上扰袛喽娼堑姆秶?，再作處理，或利用法向量的指向來做判斷圖4133三、空間距離的求法空間距離往往通過轉(zhuǎn)化為空間向量的模，或通過計算向量的夾角來構(gòu)造直角三角形求解空間中線與面、面與面之間的距離往往要轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來求，求點到平面的距離是重點其求法是：用法向量可求點到平面的距離，如圖4134所示，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，其中A，則點B到平面的距離為.(實質(zhì)是在法向量n方向上的投影的絕對值)特別說明，上面公式不必死記，只要結(jié)合圖形，利用直角三

5、角形邊角關(guān)系可得BCAB|cos，n|.從而得上面的公式1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系例1：如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點。 (1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小。例2：在如圖4135所示的多面體中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，ECAC，EFAC，AB，EFEC1，(1)求證：平面BEF平面DEF；(2)若M、N、P分別為AC、EB、FB的中點，Q為MN上一點，且()，求證：PQ平面DEF.2：利用空間向量求線線角、線面角1利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向

6、向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則2運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟為：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān)點的坐標(biāo)。（3）寫出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。例3：已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.3：利用空間向量求二面角求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。其計算

7、公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等，例4、如圖4136所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)求證AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值4：利用空間向量求空間距離例5、如圖4137所示，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求點A到平面MBC的距離5：利用空間向量解決立體幾何中探索性問題例6、如圖4138所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(1)求直線BE與平面ABB1A1所成的角

8、的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結(jié)論例7：如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。（I）證明：平面A1ACC1平面B1BCC1；（II）設(shè)ABAA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為p。（i）當(dāng)點C在圓周上運動時，求p的最大值；（ii）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為（）。當(dāng)p取最大值時，求cos的值。課堂練習(xí)1.若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件=-2,則= .2.如圖，在矩形中，點分別在線段

9、上，.沿直線將翻折成，使平面.（）求二面角的余弦值；（）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。3.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點.（）證明：PC平面BEF；（）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。4.如題圖，四棱錐中，底面為矩形，點是棱的中點. （I）證明：；（II）若，求二面角的平面角的余弦值.課后作業(yè)課后記學(xué)員學(xué)習(xí)情況：課后小評：教師建議：提交時間教研組長審批教研主任審批1.已知點A（-3,1,-4），則點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為( )(A)（-3,-1,4）(B)(-3,-

10、1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2.在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中點，AB1BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為( )(A)30 (B)45 (C)60 (D)903.設(shè)動直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點，則的最大值為（ ） A B C2 D34.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，沿軸把坐標(biāo)平面折成的二面角后，的長為（）A B C D5.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（ ）ABCD6.如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，則下列向量中與相等的向量是（ ）（A） （B）（C） （D

11、）7，是空間交于同一點的互相垂直的三條直線，點到這三條直線的距離分別為,，則,則_。8平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為600，則=9將正方形沿對角線折成直二面角后，有下列四個結(jié)論：（1）； （2）是等邊三角形；（3）與平面成60 ；（4）與所成的角為60其中正確結(jié)論的序號為_（填上所有正確結(jié)論的序號）10.如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為 2的菱形，BAD=60，對角線AC與BD相交于點O，,E、F分別是BC、AP的中點（1）求證：EF平面PCD；（2）求二面角ABPD的余弦值11.某組合體由直三棱柱與正三棱錐

12、組成，如圖所示，其中，它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為+1，+1（1）求直線與平面所成角的正弦；（2）在線段上是否存在點，使平面，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由12.如圖，三棱柱中，面，,，為的中點。(I) 求證：面；()求二面角的余弦值參考答案1【解析】選A.點A關(guān)于x軸對稱點的規(guī)律是在x軸上的坐標(biāo)不變，在y軸，z軸上的坐標(biāo)分別變?yōu)橄喾磾?shù)，點A（-3，1，-4）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（-3,-1,4）.2【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點，AC、AA1分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面邊長為2a.側(cè)棱長為2b.3D 4D 5C 6A 764 839（1）（2）（4）10解

13、：（1）證明：取PD的中點G，連接FG、CGFG是PAD的中衛(wèi)縣，F(xiàn)G，在菱形ABCD中，ADBC，又E為BC的中點，CEFG，四邊形EFGC是平行四邊形，EFCG又EF面PCD，CG面PCD，EF面PCD（2）法1：以O(shè)為原點，OB，OC，OP所在直線分別為、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則0（0，0，0），A（0，0），B（1，0，0）（0，0，）=（1，0）=（0，）設(shè)面ABP的發(fā)向量為，則，即即取又，OA面PBD，為面PBD的發(fā)向量，=（0，0）.所以所求二面角的余弦值為法2：在菱形ABCD中，ACBD，OP面ABCD，AC面ABCD，ACOP，OPBD=0，AC面PBD，ACBP，在面PBD中，過O作ONPB，連AN，PB面AON，則ANPB。即ANO為所求二面角的平面角AO=ABcos30=在RtPOB中，cos。所以所求二面角的余弦值為11【解析】12解：（1）連接B1C，交BC1于點O，則O為B1C的中點，D為AC中點