第八章 第1節(jié)

1、第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖最新考綱1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.知 識 梳 理1.多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個面互相平行，而且夾在這兩個平行平面間的每相鄰兩個面的交線都互相平行棱錐有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形棱臺棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部

2、分2.旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形矩形的一邊所在的直線圓錐直角三角形直角三角形的一直角邊所在的直線圓臺直角梯形直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線球半圓半圓直徑所在的直線3.三視圖(1)幾何體的三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.(2)三視圖的畫法基本要求：長對正，高平齊，寬相等.在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.4.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45°(或135°)，z軸與x軸、y軸所在平面垂直

3、.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?常用結(jié)論與微點提醒1.臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點.2.空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同.3.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.(2)水平放置的圓錐、圓臺、圓柱的主視圖和左視圖分別均為全等的等腰三角形、等腰梯形、矩形.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()(2)有一個面是多邊形，其余各面都

4、是三角形的幾何體是棱錐.()(3)用斜二測畫法畫水平放置的A時，若A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且A90°，則在直觀圖中，A45°.()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.()解析(1)反例：由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.(2)反例：如圖所示圖形不是棱錐.(3)用斜二測畫法畫水平放置的A時，把x，y軸畫成相交成45°或135°，平行于x軸的線還平行于x軸，平行于y軸的線還平行于y軸，所以A也可能為135°.(4)正方體和球的三視圖均相同，而圓錐的主視圖和左視圖相同，且為等腰三角形， 其俯視圖為圓心和圓

5、.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(教材習(xí)題改編)如圖，長方體ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD.剩下的幾何體是()A.棱臺 B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.答案C3.(2019·天津卷)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的左視圖為()解析先根據(jù)主視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其左視圖.由幾何體的主視圖和俯視圖可知該幾何體為圖，故其左視圖為圖.答案B4.(一題多解)(2019·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長

6、為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A.90 B.63C.42 D.36解析法一(割補法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示.將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V×32×4×32×6×63.法二(估值法)由題意知，V圓柱<V幾何體<V圓柱，又V圓柱×32×1090，45<V幾何體<90.觀察選項可知只

7、有63符合.答案B5.正AOB的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積是_.解析畫出坐標(biāo)系xOy，作出OAB的直觀圖OAB(如圖).D為OA的中點.易知DBDB(D為OA的中點)，SOAB×SOAB×a2a2.答案a2考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】 (1)給出下列命題：在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)以下命題：以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋

8、轉(zhuǎn)體是圓臺；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.其中正確命題的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3解析(1)不一定，只有當(dāng)這兩點的連線平行于軸時才是母線；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.(2)由圓臺的定義可知錯誤，正確.對于命題，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，不正確.答案(1)A(2)B規(guī)律方法1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間

9、幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例.2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.【訓(xùn)練1】 給出下列命題：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；存在每個面都是直角三角形的四面體；棱臺的側(cè)棱延長后交于一點.其中正確命題的序號是_.解析不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的

10、交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個面都是直角三角形；正確，由棱臺的概念可知.答案考點二空間幾何體的三視圖(多維探究)命題角度1由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖【例21】 “牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時，它的俯視圖可能是()解析由直觀圖知，俯視圖應(yīng)為正方形，又上半部分相鄰兩曲面的交線為可見線，在俯

11、視圖中應(yīng)為實線，因此，選項B可以是幾何體的俯視圖.答案B命題角度2由三視圖判斷幾何體【例22】 (1)(2019·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是()A.三棱錐 B.三棱柱C.四棱錐 D.四棱柱(2)(2019·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A.3 B.2 C.2 D.2解析(1)由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱.(2)由三視圖知可把四棱錐放在一個正方體內(nèi)部，四棱錐為DBCC1B1，最長棱為DB1，且DB12.答案(1)B(2)B規(guī)律方法1.

12、由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖.2.由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)主視圖或左視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.【訓(xùn)練2】 (1)(2019·濰坊模擬)如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐PBCD的主視圖與左視圖的面積之和為()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2019·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位

13、：cm3)是()A.1 B.3 C.1 D.3解析(1)設(shè)點P在平面A1ADD1的射影為P，在平面C1CDD1的射影為P，如圖所示.三棱錐PBCD的主視圖與左視圖分別為PAD與PCD，因此所求面積SSPADSPCD×1×2×1×22.(2)由三視圖可知，該幾何體是半個圓錐和一個三棱錐的組合體，半圓錐的底面半徑為1，高為3，三棱錐的底面積為×2×11，高為3.故原幾何體體積為：V××12×3×1×3×1.答案(1)B(2)A考點三空間幾何體的直觀圖【例3】 有一塊多邊形的菜地，

14、它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45°，ABAD1，DCBC，則這塊菜地的面積為_.解析如圖1，在直觀圖中，過點A作AEBC，垂足為E.在RtABE中，AB1，ABE45°，BE.又四邊形AECD為矩形，ADEC1.BCBEEC1.由此還原為原圖形如圖2所示，是直角梯形ABCD.在梯形ABCD中，AD1，BC1，AB2.這塊菜地的面積S(ADBC)·AB××22.答案2規(guī)律方法1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測”(平行于y軸的線段

15、長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量.2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖S原圖形.【訓(xùn)練3】 已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖ABCD的面積為_.解析如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖.因為OE1，所以O(shè)E，EF.則直觀圖ABCD的面積S×.答案基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1.某空間幾何體的主視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A.圓柱 B.圓錐

16、 C.四面體 D.三棱柱解析由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其主視圖為三角形，而圓柱的主視圖不可能為三角形.答案A2.(2019·衡水中學(xué)月考)將長方體截去一個四棱錐后得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為()解析易知左視圖的投影面為矩形，又AF的投影線為虛線，即為左下角到右上角的對角線，該幾何體的左視圖為選項D.答案D3.(2019·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A.60 B.30 C.20 D.10解析由三視圖知可把三棱錐放在一個長方體內(nèi)部，即三棱錐A1BCD，VA1BCD××3×5×

17、;410.答案D4.如圖是一幾何體的直觀圖、主視圖和俯視圖，該幾何體的左視圖為()解析由直觀圖和主視圖、俯視圖可知，該幾何體的左視圖應(yīng)為面PAD，且EC投影在面PAD上且為實線，點E的投影點為PA的中點，故B正確.答案B5.下列結(jié)論正確的是()A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線解析如圖1知，A不正確.如圖2，兩個平行平面與底面不平行時，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確.若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若

18、以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C錯誤.由母線的概念知，選項D正確.答案D6.某幾何體的主視圖和左視圖均為如圖所示的圖形，則在下圖的四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()A. B.C. D.解析由主視圖和左視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故正確.答案A7.(2019·全國卷)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B.C. D.解析由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐.設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1×

19、5;1×1×1.剩余部分的體積V213，因此，.答案D8.(2019·泰安模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，其左視圖為直角三角形，則該三棱錐最長的棱長等于()A.4 B.C. D.5解析根據(jù)幾何體的三視圖，知該幾何體是底面為直角三角形，兩側(cè)面垂直于底面，高為5的三棱錐PABC(如圖所示).棱錐最長的棱長PA.答案C二、填空題9.(2019·龍巖聯(lián)考)一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測畫法畫出它的直觀圖OABC如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面四邊形OABC面積為_.解析因為直觀圖的面積是原圖形面積的倍，且直觀圖的面積為1，所以原圖形的面積為2.答案210.已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，左視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的主視圖的面積等于_.解析由題知此正方體的主視圖與左視圖是一樣的，主視圖的面積與左視圖的面積相等為.答案11.(2019·包頭模擬)正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長均為，其主視圖和左視圖是全等的等腰三角形，則主視圖的周長為_.解析由題意知，主視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，連接AO，易得AO，又PA，于是解得PO1，所以PE，故其主視圖的周長為22.答案22