第六節(jié) 洛必達(dá)法則

1、第一節(jié) 洛必達(dá)法則在上一章中我們研究了導(dǎo)數(shù)的概念以及它們的計(jì)算方法,本章將利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)在區(qū)間上的某些特性,并利用這些特性解決一些實(shí)際問題  一.微分學(xué)中值定理拉格朗日中值定理   如果函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使即成立。   這個(gè)定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。  羅爾定理若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。下面我們?cè)趯W(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理柯西中值定理柯西中值定理&

2、#160;  如果函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。在求函數(shù)的極限時(shí)，常會(huì)遇到兩個(gè)函數(shù)、都是無窮小或都是無窮大時(shí)，求它們比值的極限，此時(shí)極限可能存在，也可能不存在通常把這種極限叫做未定式，并分別簡(jiǎn)稱為型或型。例如，就是型的未定式；而極限就是型的未定式我們?nèi)菀字?，?duì)于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個(gè)法則來求解的，那么我們?cè)撊绾吻筮@類問題的極限呢？計(jì)算未定式的極限往往需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危D(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限的形式進(jìn)行計(jì)算. 這種變形沒有一般方法，需視具體問題而定，

3、屬于特定的方法. 本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作為工具，給出計(jì)算未定式極限的一般方法，即洛必達(dá)法則. 本節(jié)的幾個(gè)定理所給出的求極限的方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則.一、型未定式定理1 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；（3）存在（或?yàn)闊o窮大），則這個(gè)定理說明：當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于；當(dāng)為無窮大時(shí)，也是無窮大這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為洛必達(dá)（ospital）法則.例1計(jì)算極限.解該極限屬于“”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得.例2計(jì)算極限解該極限屬于“”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得注若仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，即例3計(jì)算極

4、限解由洛必達(dá)法則，得例4計(jì)算極限解二、型未定式定理2 設(shè)函數(shù)、滿足下列條件：（1），；（2）與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；（3）存在（或?yàn)闊o窮大），則注：上述關(guān)于時(shí)未定式型的洛必達(dá)法則，對(duì)于時(shí)未定式型同樣適用例5計(jì)算極限解此極限滿足洛必達(dá)法則，于是得例6計(jì)算極限解所求問題是型未定式，連續(xù)次施行洛必達(dá)法則，有例7計(jì)算極限解（利用等價(jià)無窮小量代換）使用洛必達(dá)法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：（1）洛必達(dá)法則只能適用于“”和“”型的未定式，其它的未定式須先化簡(jiǎn)變形成“”或“”型才能運(yùn)用該法則；（2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極

5、限不存在習(xí)題4-61.用洛必達(dá)法則求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）4. 洛必達(dá)法則在使用洛必塔法則時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：洛必塔法則只適用于型或型的極限.如果仍是型或型,則可繼續(xù)使用洛必塔法則.如果不存在且不是,并不表明不存在,只表明洛必塔法則失效,這時(shí)應(yīng)用其他方法求解.第二節(jié)函數(shù)的極值一、函數(shù)單調(diào)性的判定法  函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？  我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負(fù)),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)值).因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)

6、來判定函數(shù)的增減性.判定方法定理 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).（）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；（）如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少.證明 （1）由于函數(shù)滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故在上任取兩點(diǎn)（不妨設(shè)），必有使 如果，必有，于是，即 這表明函數(shù)在上單調(diào)增加.同理可證，如果，函數(shù)在上單調(diào)減少.注：（1）在上面定理的證明過程中易于看到，閉區(qū)間若改為開區(qū)間或無限區(qū)間，該定理結(jié)論同樣成立（2）有的可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的個(gè)別點(diǎn)處，導(dǎo)數(shù)等于零，但函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少.例如，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，但它在內(nèi)是單調(diào)增加的，如圖所示(圖4-2)圖4-2例1討論函數(shù)的單調(diào)性.解的定義域?yàn)?因?yàn)椋?所

7、以在其定義域內(nèi)單調(diào)增加.例2：確定函數(shù)的增減區(qū)間.解：此函數(shù)的定義域?yàn)?,)   因?yàn)椋?，所以可以判出?#160; 當(dāng)x0時(shí)，0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,)；  當(dāng)x0時(shí)，0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(-,0)；注：此判定方法若反過來講，則是不正確的。圖4-2例3 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解的定義域?yàn)? .除時(shí)外，恒有，所以在及內(nèi)恒有，因此，在內(nèi)是單調(diào)減少的.例4 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解的定義域?yàn)? =.的定義域被分成，四個(gè)區(qū)間當(dāng)，時(shí)，單調(diào)減少； 當(dāng)，時(shí)，單調(diào)增加從例4可以看出，有些函數(shù)在它的定義域上不是單調(diào)的，這時(shí)我們要把整個(gè)定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間，分別討論函數(shù)在各子區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性一般可以用使的點(diǎn)作為分界點(diǎn)，使得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在各子區(qū)間內(nèi)符號(hào)不變，從而函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)單調(diào)具體作法通常用列表法令，得列表如下：+所以，函數(shù)在，內(nèi)單調(diào)減少；函數(shù)在，內(nèi)單調(diào)增加.例5 求的單調(diào)區(qū)間.解 函數(shù)的定義域?yàn)?=.當(dāng)時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)，.列表如下：0+所以函數(shù)在，內(nèi)單