簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題教研

1、 簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題（方法篇）定義：在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作總量、工作效率以及工作時(shí)間三個(gè)量。在數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫它們做“工程問(wèn)題”。概念認(rèn)識(shí)導(dǎo)入1：五星花園修隧道，這條隧道長(zhǎng)200米，有一個(gè)工程隊(duì)修完共用20天，每天修多少米？導(dǎo)入2：修一段路，共修了20天，那么每天修這條路的多少？對(duì)比兩題列表格如下：工作總量工作時(shí)間工作效率導(dǎo)入1200米為具體數(shù)值20（天）200÷20=10（米/天）導(dǎo)入2沒(méi)有告訴具體的數(shù)值（當(dāng)題目中沒(méi)有告訴具體的數(shù)值時(shí)，我們就用“1”來(lái)表示）20（天）1÷20=通過(guò)

2、對(duì)比我們可以發(fā)現(xiàn)：工作總量：需要完成的工作量。（比如：做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等）在工程問(wèn)題中，當(dāng)工作總量會(huì)出現(xiàn)兩種情況，一種是告訴了具體的數(shù)值，另一種沒(méi)有告訴具體數(shù)值，我們就以“1”來(lái)表示。工作時(shí)間：完成一項(xiàng)工作，完成整個(gè)工作所花掉的實(shí)際時(shí)間（休息時(shí)間除外）。工作時(shí)間一定為帶有單位的具體的數(shù)值。例：完成一項(xiàng)工作，甲花了10天才完成，其中甲休息兩天，甲的工作時(shí)間是（）工作效率：一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)所完成的工作量。（單位時(shí)間：一天，一小時(shí)，一分鐘）當(dāng)工作總量為具體的數(shù)值時(shí)，工作效率同樣為具體的數(shù)值，帶有單位。當(dāng)工作總量沒(méi)有告訴具體的數(shù)值，為“1”時(shí)，工作效率為分?jǐn)?shù)，不帶單

3、位這兩道題我們可以很簡(jiǎn)單的求出工效，但是在實(shí)際工程問(wèn)題中工效都是“隱藏”在一些條件中的。例：求出甲乙的工作效率 完成一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需要10天，乙獨(dú)做需要15天， 修一段路，甲單獨(dú)修要10天，乙修6天修了這段路的。 修一段路，甲2天修了這段路的，乙修8天修了這段路的。求工作效率時(shí)通常都是：找準(zhǔn)工作時(shí)間對(duì)應(yīng)的工作量。然后利用工作量除以工作時(shí)間。二關(guān)于合作（在一些工程問(wèn)題中，出了單干之外，往往還涉及到合作）導(dǎo)入：媽媽買(mǎi)了20個(gè)蘋(píng)果，要求姐姐每天吃4個(gè)，弟弟每天吃1個(gè)，姐弟一起吃，問(wèn)這些蘋(píng)果多少天能被吃完？分析表格如下：合作的工效姐姐的工效：4（個(gè)/天）弟弟的工效：1（個(gè)/天）所以姐弟一起就要吃：1

4、+4=5（個(gè)/天）合作工效：各自的工效之和合作的時(shí)間20÷（1+4）=4（天）他們合作4天就把蘋(píng)果吃完了，即姐姐吃了4天，弟弟也吃了4天。合作時(shí)間：合作的時(shí)間等于各自單獨(dú)的工作時(shí)間合作的工作總量弟弟吃的蘋(píng)果：1×4=4（個(gè)）姐姐吃的蘋(píng)果：4×4=16（個(gè)）合做工作總量：等于各自的工作量之和。簡(jiǎn)單練習(xí)：1：完成一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需要10天完成，乙獨(dú)做需要15天完成過(guò)，那么甲乙合作，合作的工作效率是_2：甲乙合做6天，:甲做 天，乙也做 天3：完成一項(xiàng)工作，甲乙先合作20天，再由乙單獨(dú)做5天完成這項(xiàng)工作，那么乙的做了_天，甲做了_天。（強(qiáng)調(diào)工作總量不變）4：甲乙合作完成

5、一項(xiàng)工程，甲做了全部的，乙做了全部的，則兩人合作一共完成這項(xiàng)工程的_。 例題解析類(lèi)型一：一般工程問(wèn)題導(dǎo)入：修一段路，甲單獨(dú)完成要10天，乙單獨(dú)完成需要15天。甲乙合作多少天可以完成？ 分析：?jiǎn)栴}求的是工作時(shí)間，那么我們只需要找出工作總量和工作效率即可。題中不知道工作總量的具體數(shù)量，所以我們假設(shè)為單位“1”。甲乙合作那么合作的工作效率應(yīng)該是甲的工作效率加乙的工作效率。甲乙合作的效率也就是： +=完成的時(shí)間： 1÷=6（天）通過(guò)這道題，我們就可以看出，一般的工程問(wèn)題應(yīng)用題由兩個(gè)部分組成，前一個(gè)部分提供“工作效率”，而后一個(gè)部分主要是提供“工作方法”。例1：一件工作，甲5小時(shí)完成全部工作的

6、，乙6小時(shí)又完成剩下任務(wù)的一半，最后余下的部分由甲、乙合做，還需幾小時(shí)才能完成？分析：此題要求余下的部分甲乙合作要多少天，我們只要知道余下的工作量是多少，和甲乙合作的工效即可。解：甲的工效：÷5= 乙的工效：（1-）×÷6= 甲乙合作的工效：+=余下的工作量：1-×=合作的天數(shù)；÷=（小時(shí)）小結(jié)：在解決工程問(wèn)題時(shí)，我們一般從問(wèn)題出發(fā)，理清解決問(wèn)題所需要的條件，然后再題目的已知條件中去尋找所需要的條件。并且工作量，工作時(shí)間，工作效率三者一定要對(duì)應(yīng)。即：用什么工作方法在哪段時(shí)間內(nèi)完成了哪一部分工作量。練習(xí)：?jiǎn)为?dú)完成某項(xiàng)工程，甲、乙、丙分別需要10小

7、時(shí)、15小時(shí)、20小時(shí)。開(kāi)始三人一起干，后因工作需要，甲中途調(diào)走，結(jié)果共用了6小時(shí)完成這項(xiàng)工作。問(wèn)甲實(shí)際工作了多少小時(shí)？類(lèi)型二：用組合法解工程問(wèn)題例題2：完成一項(xiàng)工作，甲隊(duì)單獨(dú)做30天完成?，F(xiàn)甲乙兩隊(duì)合做15天后，甲隊(duì)有任務(wù)調(diào)離。乙隊(duì)再做9天完成了任務(wù)，問(wèn)這項(xiàng)工作由乙單獨(dú)完成需要多少天？分析：工作方法中提供的工作時(shí)間有“甲乙合作15天”和“乙單獨(dú)做9天”但是題中提供的效率是甲的效率，并不是成對(duì)應(yīng)關(guān)系。工作效率不能改變，那么就需要我們把工作方法改變一下，改變成與效率對(duì)應(yīng)的甲的工作時(shí)間。工作方法改成： 甲先單獨(dú)做15天，余下的由乙做了（15+9=24)天完成。為什么要改變工作方法：題目中給的工作方

8、式與工作效率不對(duì)應(yīng)。為什么能改變工作方法：因?yàn)椴徽撛趺锤淖児ぷ鞣绞?，整個(gè)工作除了甲做的就是乙做的。整個(gè)工作總量不變。 甲的工作量：×15= 乙的工作量： 這道題就可以很簡(jiǎn)單的求出：1÷（1×15）÷24=48（天）例題3：一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合做8天可以完成，現(xiàn)由甲隊(duì)先做6天，余下的任務(wù)由乙隊(duì)獨(dú)做10天完成。問(wèn)乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程需要多少時(shí)間？分析：工作方法提供的時(shí)間是甲、乙單獨(dú)做的時(shí)間，而可以求出的效率是甲乙合作的效率，并不是成對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣也需要我們轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化成： 甲乙合作了6天余下的由乙單獨(dú)做了4天完成。 甲乙合作的工作量:×6= 乙: 這道

9、題就可以很簡(jiǎn)單的求出： 1÷（1×6）÷4=16（天）根據(jù)例題2、3我們可以得出解決工程問(wèn)題中“分”與“合”的方法。例題四中是單獨(dú)的甲的效率，時(shí)間與效率不對(duì)應(yīng)，我們就進(jìn)行“拆分”。例題五中題中提供的是甲乙合作的效率，時(shí)間與效率也不對(duì)應(yīng)，我們就進(jìn)行“合并”?？偨Y(jié)：提供的是單獨(dú)的效率就把工作方法“拆分” 提供的是合作的效率就把工作方法“合并”練習(xí)：甲乙兩隊(duì)合做，20天可完成一項(xiàng)工程。先由甲隊(duì)做8天，再由乙隊(duì)做12天，還剩下這項(xiàng)工程的。甲乙兩隊(duì)獨(dú)做各需多少天？類(lèi)型三：兩兩合作工程問(wèn)題例4：一件工程，甲乙合作需6天完成，乙丙合作需9天完成，甲丙合作15天完成?，F(xiàn)在甲乙丙三

10、人合作需多少天完成？分析：要求甲乙丙三人合作完成的天數(shù)，我們只要知道甲乙丙三人的合作工效即可。題目中告訴了我們甲乙丙三人每?jī)扇说暮献鞴ば?。列式表示可得?甲+乙=，乙+丙=，甲+丙= 三個(gè)等式中甲乙丙各出現(xiàn)了兩次，把三個(gè)等式加起來(lái)可得： 2×甲+2×乙+2×丙=，即：2×（甲+乙+丙）= ，甲+乙+丙= 甲乙丙三人合作完成的天數(shù)：1÷=（天）練習(xí)：某項(xiàng)工程，甲乙合作6天可以完成，乙丙合作需8天，甲丙合作則需12天。問(wèn)三人合作幾天可以完工？甲乙丙單獨(dú)做此工程各需幾天完工？類(lèi)型四：假設(shè)法工程問(wèn)題例5：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做15天完成

11、。這項(xiàng)工程，先由甲做了若干天后，再由乙單獨(dú)完成，從開(kāi)工到完成共用18天。求甲乙兩人各做了多少天？分析：完成這項(xiàng)工程甲乙的工作方式為甲先做，再有乙做，共用18天，要求甲乙各做了多少天，這種題型跟我們以前學(xué)的小兔子晴雨天采蘑菇為同一種類(lèi)型的題。所以我們可以用假設(shè)法來(lái)解此題。已知甲的工效：，乙的工效解法一：假設(shè)這18天全部是有甲來(lái)做。 那么甲這18天總共完成的工作量為：18×=，比整個(gè)工程還少了。（為什么會(huì)少？） 我們?cè)诩僭O(shè)全部由甲來(lái)做的時(shí)候，是把乙換做了甲，那么每換一天，甲就要比乙少做-= 總共少了，把乙換做了甲，每天少做，所以乙換的天數(shù)就為：÷=6（天） 甲做的天數(shù)就為：18

12、-6=12（天）注意：如果開(kāi)始假設(shè)全部的天數(shù)是甲做的，求的結(jié)果就是乙(同學(xué)們假設(shè)全部由乙來(lái)做)解法二：由題意可知，整個(gè)工程不是由甲做的的，就是由乙做的。整個(gè)工程量為1，甲乙的工效我們知道，完成的總天數(shù)我們也知道。所以此題我們還有可以用方程來(lái)解。解： 設(shè)甲工作天，則乙工作（18-）天。 +（18-）=1 =12 乙工作的天數(shù)：18-12=6（天）練習(xí)：一件工程，甲獨(dú)做需20天完成，乙獨(dú)做需12天完成。這件工程，先由甲做了若干天，然后由乙繼續(xù)做完，從開(kāi)始到完工共用14天。問(wèn)甲乙兩人各做了多少天？例6：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做需要15天完成，乙隊(duì)獨(dú)做需要30天完成，丙隊(duì)獨(dú)做需要45天完成?，F(xiàn)在由甲乙丙三隊(duì)

13、合作完成這項(xiàng)工程。在工程過(guò)程中，甲隊(duì)休息1天，乙隊(duì)休息2天，丙隊(duì)休息了4天。求完成這項(xiàng)工程前后一共用了多少天？分析：此題的工作方式中，甲乙丙都各自休息了若干天。他們的工作時(shí)間就不能確定，那么我們可以假設(shè)甲乙丙三人沒(méi)休息，那么甲休息一天的工作量1×=，乙休息兩天的工作量為2×=，丙隊(duì)休息4天的工作量為4×=。我們假設(shè)他們都沒(méi)有休息。那么他們?nèi)顺隽税言镜摹?”的工作量做完之外，還要做多（+），總工作量就為（1+）， 解法一： （1+）÷（+） =÷ =10（天）解法二：（同學(xué)們自己完成。列方程）練習(xí)：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需要30天，乙單獨(dú)完成需

14、要45天，丙單獨(dú)完成需要90天。現(xiàn)在由甲乙丙三隊(duì)合作完成此工程。在完成這項(xiàng)工程的過(guò)程中，甲休息2天，乙休息3天，丙沒(méi)有休息，求完成這項(xiàng)工程前后一共用了多少天？小結(jié)：對(duì)于題目中出現(xiàn)了某隊(duì)“休息”或做了“若干天”，這種工作時(shí)間不確定的題型，我們一般采用假設(shè)法來(lái)做。當(dāng)然也可以通過(guò)列方程的方法來(lái)做。類(lèi)型五：消元法解工程問(wèn)題導(dǎo)入：完成某項(xiàng)工程，甲做11天，乙做2天，可以完成這項(xiàng)工程的；甲做11天，乙做4天，可以完成這項(xiàng)工程的。求甲乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作各需多少天？分析：要求甲乙單獨(dú)完成工作需要的天數(shù)，只要知道甲乙的工作效率即可。題目中告訴了我們兩種不同的工作方式。列出這兩種工作方式可得： 11×甲

15、的工效+2×乙的工效=. 11×甲的工效+4×乙的工效=. 對(duì)比兩個(gè)等式我們可以發(fā)現(xiàn)，第二種比第一種多完成了-=，是因?yàn)橐叶嘧隽?天，所以我們可得：乙的工作效率為÷2=。 把乙的工作效率帶入任意一個(gè)等式即可求出甲的工效 甲的工效：（-×2）÷11= 即：甲單獨(dú)完成需要 1÷=20（天） 乙單獨(dú)完成需要 1÷=60（天）小結(jié)：此類(lèi)題型往往會(huì)出現(xiàn)兩種情況，我們把兩種情況列出來(lái)，通過(guò)對(duì)比法，可以消去一個(gè)未知量，用這樣的方法消去未知量，通常稱(chēng)為“消元法”例題7：完成某項(xiàng)工程，甲做4天，乙做5天，可以完成這項(xiàng)工程的；乙做3天，甲做6天，可以完成這項(xiàng)工程的。求甲乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作各需多少天？分析：此題跟導(dǎo)入題一樣，所以我們可以根據(jù)兩種工作方式列出等式 4×甲的工效+5×乙的工效=. 3×甲的工效