大學(xué)物理2電勢電能

1、第第8 8章章 電勢電勢8.1 8.1 靜電場力的功靜電場力的功 電勢能電勢能rdFdA rrqqF4200rdrrqq4200drrqq2004drFrrABrABqq01). 1). 場源電荷為點電荷場源電荷為點電荷1.1.靜電場力的功、靜電場力是保守力靜電場力的功、靜電場力是保守力drrqqABArrAB2004BArrqq11400靜電場力作功與路徑無靜電場力作功與路徑無關(guān)，靜電場力是保守力關(guān)，靜電場力是保守力drFrrABrABqq0drFrriAiBrABq0qiq2q1i2). 2). 場源電荷為場源電荷為 電荷系電荷系 EqF0iiEq0iiirriABdrrqqAiBiA20

2、04rdFdAiiidrrqq2004rdEqii0iBiAiirrqq11400204iiirqE2. 2. 電勢能電勢能 WWWldfAbbaaababqE點電勢點電勢能能ab點電點電勢能勢能靜電場力作功與路徑無關(guān)，靜電場力靜電場力作功與路徑無關(guān)，靜電場力是保守力是保守力l dFA為此，引入電勢能的概念為此，引入電勢能的概念定義：靜電場力作功等于相應(yīng)電勢能的負(fù)增量（減量）定義：靜電場力作功等于相應(yīng)電勢能的負(fù)增量（減量）iiBiAiABrrqqA114000ABBAl dFl dFAB3 3、 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理E dlL01)1)表述表述 靜電場中場強沿任意閉合環(huán)路的線積分恒

3、等于零。靜電場中場強沿任意閉合環(huán)路的線積分恒等于零。 即即0LLl dEql dfE dlL02)2)證明證明靜電場力是保守力靜電場力是保守力討論討論靜電場的基本方程靜電場的基本方程保守場保守場微分形式微分形式0E f dlq E dlWWabababEdlWqWqabababqE如圖示如圖示點電荷點電荷 在場中受力在場中受力Eqf8.2 8.2 電勢差和電勢電勢差和電勢qWqWba根據(jù)靜電場的根據(jù)靜電場的環(huán)路定理環(huán)路定理與試驗電荷無關(guān)與試驗電荷無關(guān)反映了電場在反映了電場在a b兩兩點的性質(zhì)點的性質(zhì)q baldE 勢能零點aaldE 電電勢零點的選擇勢零點的選擇( (參考點參考點) )任意任意

4、 視分析問題方便而定視分析問題方便而定參考點不同電勢不同參考點不同電勢不同若選若選b b點的勢能為參考零點點的勢能為參考零點則則 a a點的電勢由下式得到點的電勢由下式得到ba稱稱 為為a ba b兩點的兩點的電勢差電勢差 討論討論 baabldEqA)(baqq q電荷由電荷由a a到到b b電場力作功為電場力作功為 通常通常理論理論計算計算有限有限帶電體電勢時選帶電體電勢時選無限遠(yuǎn)無限遠(yuǎn)為參考點為參考點理論理論計算計算無限無限帶電體電勢時選帶電體電勢時選有限遠(yuǎn)有限遠(yuǎn)為參考點為參考點實際實際應(yīng)用中或研究電路問題時取應(yīng)用中或研究電路問題時取大地大地、儀器、儀器外殼外殼等等電勢的量綱電勢的量綱S

5、I制：單位制：單位 V (伏特伏特) 量綱量綱 132IMTLqW電勢是一個長程物理量電勢是一個長程物理量8.3 8.3 電勢的疊加原理電勢的疊加原理1.設(shè)有一點電荷系設(shè)有一點電荷系,在其靜電場中任一在其靜電場中任一P點的場強為點的場強為rdEErdEPPPPP)(2100iPiPPPPrdErdE)(00212.對電荷連續(xù)分布的帶電體對電荷連續(xù)分布的帶電體(有限空間分布有限空間分布)dPrpdq1.1.點電荷場電勢公式點電荷場電勢公式rldEdrrQr204rQ048.4 8.4 電勢的計算電勢的計算QPrEl d PPl dErdrrQr204 rdl d2.2.任意帶電體電勢任意帶電體電

6、勢方法一、方法一、 由定義式出發(fā)由定義式出發(fā) 0PPldE方法二、方法二、 電勢疊加原理電勢疊加原理 iPPiiPPldEldE00ii分立帶電體Qd連續(xù)帶電體 iPPiildE0rdq04iiPirq04例例 計算均勻帶電計算均勻帶電球面球面的電勢的電勢 如圖如圖PldEdrrQdlRRr2040RQo解：方法一解：方法一均勻帶電球面電場的分布為均勻帶電球面電場的分布為rrQERrERr4020 Rr RrPRQ04RQ04Rr Rr與電量集中在球心的與電量集中在球心的點電荷點電荷的電勢分布相同的電勢分布相同圖示圖示Ur0R等勢體等勢體Rdqd04 QQRdqd04QR40RQo方法二：方法

7、二：在球面上任取一電荷元在球面上任取一電荷元dqdq則電荷元在球心的電勢為則電荷元在球心的電勢為由電勢疊加原理由電勢疊加原理球面上電荷在球心的總電勢球面上電荷在球心的總電勢思考：思考：電量分電量分布均勻？布均勻？圓環(huán)、圓環(huán)、圓弧？圓??？例例 計算電量為計算電量為 的帶電的帶電球體球體的電勢分布的電勢分布Qrl dERQo解：解：03rE Rr RrdrrQdrrRRr20043Rr Rrrl dEdrrQr204rQ04lopdqdxrdqd04xaldx04dxa解：在坐標(biāo)解：在坐標(biāo) x 處取一個處取一個電荷元電荷元dqdxr該點電荷在該點電荷在 p 點的電勢大小為點的電勢大小為電勢大小直接

8、相加電勢大小直接相加p求：如圖所示求：如圖所示 點的電勢點的電勢 例例 長為長為 l 均勻帶電直線電荷線密度為均勻帶電直線電荷線密度為x 例例 計算單位長度帶電計算單位長度帶電 的的無限長細(xì)棒場中一點無限長細(xì)棒場中一點a a的電勢的電勢barrbal dE解：解：arabrbEdrrrE20bardrrbarr20drrbrr021)/ln(20abrrabrarbEdr01bbmr取arln20aba)/ln(20abrr例例 計算電量為計算電量為 的帶電圓環(huán)軸線上一點的電勢的帶電圓環(huán)軸線上一點的電勢Qrdqd04 QQrdqd04rQ04RQo解：解： 方法一、方法一、在球面上任取一電荷元

9、在球面上任取一電荷元dqdq則電荷元在則電荷元在P點的電勢為點的電勢為由電勢疊加原理球面上電荷在球由電勢疊加原理球面上電荷在球心的總電勢心的總電勢rPx2204RxQ2/3220)(4)(xRxQxExxdERQo方法二、方法二、考慮在考慮在P-無限遠(yuǎn)處路徑上任無限遠(yuǎn)處路徑上任一點一點dq則電荷元在則電荷元在P的電勢為的電勢為rPx2204RxQxdxRxQx2/3220)(4Pxxxd 例例 計算電荷面密度為計算電荷面密度為 的均勻帶電圓盤軸線上的均勻帶電圓盤軸線上一點的電勢一點的電勢2204xudqd 22004xudqdRQR解：解： 方法一、方法一、在球面上任取一帶電在球面上任取一帶電

10、 圓環(huán)圓環(huán)dqdq由電勢疊加原理由電勢疊加原理rPx)(2220 xRx220042xuuduR方法二（略）、方法二（略）、u例例. .平行板電容器兩板間的電勢差平行板電容器兩板間的電勢差d0E ldEdlE解：解：平行板電容器內(nèi)部的場強為平行板電容器內(nèi)部的場強為兩板間的電勢差兩板間的電勢差El dEdl方向一致方向一致l dE,均勻場均勻場Ed 計算如下幾種情況下的電勢計算如下幾種情況下的電勢XLPQ長為長為L L半徑為半徑為R R圓柱體（圓柱體（面）軸線上一點面）軸線上一點P P的電勢的電勢高為高為L L半徑為半徑為R R圓錐體（圓錐體（面）頂點的電勢面）頂點的電勢 例例 如圖所示，已知如

11、圖所示，已知 r =6cm, d =8cm,q1= 310-8C ，q2=-310-8C 。求：。求： (1)將電荷量為將電荷量為210-8C的點電荷從的點電荷從點移點移到到點，電場力作功多少？點，電場力作功多少？ (2) 將此點電荷從將此點電荷從C點移到點移到D點，電場力作點，電場力作功多少？功多少？rrrd/2d/2ACBD.q2q1已知已知 r =6cm, d =8cm, q1= 310-8C， q2=-310-8C 。求：求： AAB, ACD 。 解解：(1)AAB=q0UAUB()+=40q1rq2+r2d2q0q12+r2d4+q22+r2d4= 9.01092.010-93.0

12、10-86.010-2-3.010-81010-2+0= 3.610-6 Jrrrd/2d/2ACBD.q2q1.ACD=q0UCUD()+=40q2rq1+r2d2q0q1d2+q2d2= -3.610-6 J(2)= 9.01092.010-93.010-81010-23.010-8610-20 例例 兩個同心球面，半徑分別為兩個同心球面，半徑分別為10cm和和30cm。小球面均勻帶有正電荷。小球面均勻帶有正電荷10-8C大球大球面帶有正電荷面帶有正電荷1.510-8C 。求離球心分別為。求離球心分別為20cm、50cm處的電勢。處的電勢。r1r2q2q1=900(V)r12q40+=r2

13、q40U1=9.01092010-210-8+9.01093010-21.510-8r1q40+=2qU2=9.01095010-2(1.5+1)10-8=4.50(V)已知：已知：r1=10cm, r2=30cm, q1=10-8 C, q2=1.510-8 C 求：求：U1，U2 解：解：r1r2q2q1 例例 如圖所示，在邊長為如圖所示，在邊長為1m的正方形的正方形的左上角有一點電荷的左上角有一點電荷 q1 = 10-12C ，左下角，左下角有一點電荷有一點電荷 q2 = -10-12C ，電荷量為，電荷量為Q = 10-11C的電荷均勻分在右邊的細(xì)線上。求正的電荷均勻分在右邊的細(xì)線上。

14、求正方形中心的電勢。方形中心的電勢。1mq1q2o.r140Ud=dq=dqdxaQ=2+x2a2()r已知：已知：a=1m,q1=10-12 C, q2=-10-12 C, Q =10-11 C。 求求：U0解：解： q1與與q2在在O點的電勢互相抵消點的電勢互相抵消a=1mq1q2o.ard x2xr140Ud=dq=dqdxaQ=2+x2a2()r+2+a2()2a2()a2aQ40=ln+2+a2()2a2()a2aQ40=dxa2a22+x2a2()U=0.16V8.5 8.5 等勢面等勢面 電勢梯度電勢梯度 5-5-1 5-5-1 等勢面等勢面由電勢相等的點組成的面叫等勢面由電勢相

15、等的點組成的面叫等勢面 滿足方程滿足方程12312 n Cz, y, x 當(dāng)常量當(dāng)常量C C取等間隔數(shù)值時取等間隔數(shù)值時可以得到一系列的等勢面可以得到一系列的等勢面23等勢面的疏密反映了等勢面的疏密反映了場的強弱場的強弱電場線與等勢面的關(guān)系電場線與等勢面的關(guān)系(1).(1).電場線處處垂直等勢面電場線處處垂直等勢面在等勢面上任取兩點在等勢面上任取兩點 a a、b b，則，則babaldEldE(2).(2).電場線指向電勢降的方向電場線指向電勢降的方向等勢等勢= 0= 0a a、b b 任取任取 處處有處處有點電荷的等勢面點電荷的等勢面+電偶極子的等勢面電偶極子的等勢面電平行板電容器電場的等勢

16、面電平行板電容器電場的等勢面+8.6 8.6 電場強度與電勢梯度的關(guān)系電場強度與電勢梯度的關(guān)系 dldElEl方向方向lEbarrbal dErr)()(abrrl dEl dErd)(dll dEE),cos(dlElzEyEZYxExkzjyix梯度算符梯度算符即電場強度在即電場強度在 方向的分量值方向的分量值ll等于電勢在等于電勢在 方向的方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)El方向方向lE在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中kEjEiEEzyx)(kzjyixE求：軸線上任一點的場強。求：軸線上任一點的場強。r4oq=4oq=()x2+R221=4oq()x2+R223x解：解： 例例 已知均勻帶電圓環(huán)軸線

17、上任一點已知均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點的電勢為：的電勢為：Exdx=E=d求：任一點的場強。求：任一點的場強。r4oq=解：解：=4oq()r21=4oqr2 例例 已知一點電荷的電勢為：已知一點電荷的電勢為：Er=E=drd例例6 6 證明電偶極子任一點電場強度為證明電偶極子任一點電場強度為rrq1140體會由電勢求電場強度體會由電勢求電場強度xyz0lqqrrrP解：解：lrcos2cos2lrrlrr2cosrrrlrrrrpprE34130rrq1140 xyz0lqqrrrPrrrrq04204cosrqlrzlqpcos代入代入將將232220)(4zyxpz232220)(4zyx

18、pz252220)(34zyxxpzxEx5034rxzp5034ryzpyEy)31(45230rzrpzEzkEjEiEEzyxrrpprE34130 例例 點電荷點電荷q1與與 -q2 放置在相距為放置在相距為 d 的的A、B兩點（如圖）。試證電勢為零的等勢面兩點（如圖）。試證電勢為零的等勢面是一球面，球心在是一球面，球心在AB 的延長線上，的延長線上，半徑半徑AOqd12=q12q22rd=q12q22q1q2.droAB-q2q1=0U =Pq140r1q240r2x21+()y2z2+2x1+()y2z2+2d2=q1q2證明：設(shè)證明：設(shè)P點滿足零點滿足零 電勢的條件電勢的條件設(shè)以設(shè)以A為原點，為原點，P點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為(x,y,z).droABP.r1r2(x,y,z)-q2q1xy=q1r1q2r2得到：得到：x21+()y2z2+2x1+()y2z2+2d