大學物理實驗指導

1、目 錄緒論力學和熱學實驗1、密度的測量 2、單擺實驗 3、楊氏彈性模量的測定 4、切變模量測定 5、金屬線脹系數(shù)的測量 6、空氣比熱容比測定實驗 電磁測量7、萬用表的使用 8、靜電場描繪 9、示波器原理及使用 光學實驗10、分光計的調節(jié)及棱鏡折射率的測定11、等厚干涉 12、邁克爾孫干涉儀的調節(jié)和使用 附錄緒 論 物理學是一門以實驗為基礎的科學，物理現(xiàn)象及其規(guī)律的研究都以嚴格的實驗事實為基礎，并且不斷地受到實驗的檢驗。在物理學的發(fā)展中物理實驗一直起著非常重要的作用，今后在探索和開拓新的科技領域中，物理實驗仍然是一門有力的工具。物理實驗課是學生進入大學后系統(tǒng)學習科學實驗知識和技能的開端，是后繼課

2、程的基礎。它在培養(yǎng)學生用實驗手段去發(fā)現(xiàn)、觀察、分析和研究問題，最終解決問題的能力方面起著至關重要的作用.。一、物理實驗課的目的(1) 通過對物理實驗現(xiàn)象的觀測和分析,學習運用理論指導實驗、分析和解決實驗問題的方法.從理論和實際的結合上加深對理論的理解。(2) 培養(yǎng)學生從事科學實驗的初步能力。這些能力是指：通過閱讀教材或資料，能概括出實驗原理和方法的要點；正確使用基本實驗儀器，掌握基本物理量的測量方法和實驗操作技能；正確記錄和處理數(shù)據(jù)，分析實驗結果和撰寫實驗報告；自行設計和完成某些不太復雜的實驗任務等等。(3) 培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度，嚴肅認真的工作作風，勇于探索、堅忍不拔的鉆研精神以及遵守

3、紀律、團結協(xié)作、愛護公物的優(yōu)良品德。二、物理實驗課的主要教學環(huán)節(jié) 為達到物理實驗課的目的，學生應重視物理實驗教學的三個重要環(huán)節(jié)。1 實驗預習 課前要仔細閱讀實驗教材或有關的資料，并學會從中整理出實驗所用原理、方法、實驗條件及實驗關鍵，根據(jù)實驗任務畫好記錄數(shù)據(jù)的表格。有些實驗還要求學生課前自擬實驗方案，自己設計線路圖或光路圖，自擬數(shù)據(jù)表格等。因此，課前預習的好壞是實驗中能否取得主動的關鍵。2 實驗操作 學生進入實驗室后應遵守實驗室規(guī)則，像一個科學工作者那樣要求自己，井井有條地布置儀器，安全操作，注意細心觀察實驗現(xiàn)象，認真鉆研和探索實驗中的問題。不要期望實驗工作會一帆風順，在遇到問題時，應看作是學

4、習的良機，冷靜地分析和處理它。儀器發(fā)生故障時，也要在教師指導下學習排除故障的方法?？傊阎攸c放在實驗能力的培養(yǎng)上，而不是測出幾個數(shù)據(jù)就以為完成了任務。對實驗數(shù)據(jù)要嚴肅對待，學生要用鋼筆和圓珠筆記錄原始數(shù)據(jù)。如確系記錯了，也不要涂改，應輕輕劃上一道，在旁邊寫上正確值（錯誤多的，須重新記錄），使正誤數(shù)據(jù)都能清晰可辨，以供在分析測量結果和誤差時參考。不要用鉛筆記錄，給自己留有涂抹的余地，也不要先草記在另外的紙上再譽寫在數(shù)據(jù)表格里，這樣容易出錯，況且，這已不是“原始記錄”了。希望同學注意糾正自己的不良習慣，從一開始就不斷培養(yǎng)良好的科學態(tài)度。實驗結束時，將實驗數(shù)據(jù)交教師審閱簽字，整理還原儀器后方可離

5、開實驗室。3 實驗總結 實驗后要對實驗數(shù)據(jù)及時處理。如果原始數(shù)據(jù)記錄刪改較多，應加以整理，對重要的數(shù)據(jù)要重新列表。數(shù)據(jù)處理過程包括計算、作圖、誤差分析等。計算要有計算式（或計算舉例），代入的數(shù)據(jù)都要有根據(jù)，便于別人看懂，也便于自己檢查。作圖要按作圖規(guī)則，圖線要規(guī)范，美觀。數(shù)據(jù)處理后應寫出實驗結果以及對有關問題進行討論。最后要求撰寫一份字跡工整、原理簡潔明了、對問題的討論要有自己的獨特見解的實驗報告。這是每一位大學生必須具備的報告工作成果的能力。實驗報告是實驗工作的總結，是交流實驗經(jīng)驗、推廣實驗成果的媒介，學會編寫實驗報告是培養(yǎng)實驗能力的一個方面。寫實驗報告要用簡明的形式將實驗結果完整、準確地表

6、達出來，要求文字通順字跡端正，圖表規(guī)范，結果正確，討論認真，實驗報告要求在課后獨立完成。用學校統(tǒng)一印刷的“實驗報告紙”來書寫。實驗報告通常包括以下內容：實驗名稱 表示做什么實驗。實驗目的 說明為什么做這個實驗，做該實驗達到什么目的。實驗儀器 列出主要儀器的名稱、型號、規(guī)格、精度等。實驗原理 闡明實驗的理論依據(jù)，寫出待測量計算公式的簡要過程，畫出有關的圖（原理圖或裝置圖），如電路圖、光路圖等。數(shù)據(jù)記錄 實驗中所測得的原始數(shù)據(jù)要盡可能用表格的形式列出，正確表示有效數(shù)字和單位。數(shù)據(jù)處理 根據(jù)實驗目的對測量結果進行計算或作圖表示，并對測量結果進行評定，計算不確定度，計算要寫出主要的計算公式和內容。實驗

7、結果 要正確寫出實驗結果表達式并扼要寫出實驗結論，必要時還需要與公認值進行比較。問題討論 討論實驗中觀察到的異?，F(xiàn)象及其可能的解釋，分析實驗誤差的主要來源，對實驗儀器的選擇和實驗方法的改進提出建議，簡述自己做實驗的心得體會，回答實驗思考題。實驗報告必須在做完實驗一周內完成，按時交實驗報告。實驗報告是學生實驗成績考核的主要依據(jù)，學生必須認真進行實驗總結，撰寫合格的實驗報告，努力提高科學實驗的表達能力。第一章 測量誤差與數(shù)據(jù)處理誤差理論及數(shù)據(jù)處理，是一切實驗結果中不可缺少的基本內容，是不可分割的兩部分。誤差理論是一門獨立的學科，隨著科技事業(yè)的發(fā)展，近年來誤差理論的基本概念和處理方法也有很大發(fā)展，誤

8、差理論以數(shù)理統(tǒng)計和概率論為其數(shù)學基礎，研究誤差的性質、規(guī)律及如何消除誤差。實驗中的誤差分析，其目的是對測量結果作出評定，最大限度地減少測量誤差，或指出減少測量誤差的方向，提高測量質量，提高測量結果的可信賴程度。本課程僅限于介紹誤差分析的初步知識，著重幾個重要概念及最簡單情況下的誤差處理方法，不進行嚴密的數(shù)學論證。第一節(jié) 測量與誤差物理實驗主要是再現(xiàn)物體運動形態(tài)，探索物理量之間的關系，從而驗證理論或發(fā)現(xiàn)規(guī)律。進行物理實驗，不僅要進行定性的觀察，而且還要進行定量的測量，以取得物理量數(shù)量的表征。測量就是將待測量與同類標準量（量具）進行比較，得出結果，這個比較的過程就叫測量，比較的結果記錄下來就是實驗

9、數(shù)據(jù)。測量數(shù)據(jù)應包含測量值的大小和單位，二者缺一不可。一、測量的分類根據(jù)測量方法可分為直接測量和間接測量。直接測量就是把待測量與標準量直接比較得出結果。如用米尺測物體的長，用天平稱衡物體的質量，用電流表測電流等，都是直接測量。間接測量是借助函數(shù)關系由直接測量的結果計算出所要求的物理量。例如鋼球的直徑D由直接測量測出，則由公式V=D36求出鋼球的體積就是間接測量。物理實驗中有直接測量，也有間接測量。但大量的物理量是間接測量量，這是因為在某些情況下實現(xiàn)直接測量比較復雜，或者說直接測量精度不高。此外，根據(jù)測量條件來分，有等精度測量和非等精度測量。等精度測量是指在同一（相同）條件下進行的多次測量。如同

10、一個人，用同一個儀器，每次測量時周圍環(huán)境條件相同，等精度測量每次測量的可靠程度相同。反之，若每次測量時的條件不同，或測量儀器改變，或測量方法、條件改變，這樣所進行的一系列測量叫非等精度測量。非等精度測量的結果，其可靠程度自然也不相同。物理實驗中大多采用等精度測量。二、誤差與偏差 在任何測量過程中，由于測量儀器、實驗條件及其它種種原因，測量是不能無限精確的，測量結果與客觀存在的真值之間總有一定的差異，測量值N與真值N0之差定義為誤差，即 N = N N0顯然誤差N有正負大小之分，因為它是指與真值的差值，常稱為絕對誤差。注意：絕對誤差不是誤差的絕對值！誤差存在于測量之中，測量與誤差形影不離，分析測

11、量過程中產(chǎn)生的誤差，將影響降低到最低限度，并對測量結果中未能消除的誤差作出估計，是實驗中的一項重要工作，也是實驗的基本技能。實驗總是根據(jù)對測量結果誤差限度的一定要求來制定方案和選用儀器的，不要以為儀器精度越高越好，因為測量的誤差是各個因素所引起的誤差的總合，要以最小的代價來取得最好的結果，要合理的設計實驗方案，選擇儀器，確定采用這種或那種測量方法，如比較法、替代法、天平的復稱法等，都是為了減少測量誤差；對測量公式進行這種或那種的修正，也上為了減少某些誤差的影響；在調節(jié)儀器時，如調節(jié)器鉛直、水平、要考慮到什么程度才能使它的偏離對實驗結果造成的影響可以忽略不計；電表接入電路和選擇量程都要考慮到引起

12、的誤差大小。在測量過程中某些對結果影響大的關鍵量，就要努力想辦法將它測準；有的量測不太準對結果沒什么影響，就不必花太多的時間和精力去對待。處理數(shù)據(jù)時，某個數(shù)據(jù)取到多少位，怎樣使用近似公式，作圖時坐標比例、尺寸大小怎樣選取，如何求直線的斜率等，都要考慮到引入誤差的大小。由于客觀條件所限、人的認識的局限性，測量不可能獲得待測量的真值，只能是近似值。設某物理量真值為0，進行n次等精度測量，測量值分別為1，2，n，（測量過程無明顯系統(tǒng)誤差）。它們的誤差為 求和 即 當測量次數(shù) ，可以證明，而且是 的最佳估計值，稱 為近真值。為了估計誤差，定義：測量值與近真值的差值為偏差：即。偏差又叫殘差，實驗中真值得

13、不到，因此誤差也無法知道，而測量的偏差可以準確知道，實驗誤差分析中要計算這種偏差，用偏差來描述測量結果的精確程度。三、相對誤差絕對誤差與真值之比的百分數(shù)叫相對誤差，用E表示： 由于真值無法知道，所以計算相對誤差時常用N代替N0。在這種情況下，N可能是公認值，或高一級精密儀器的測量值，或測量值的平均值。相對誤差用來表示測量的相對精確度，其值用百分數(shù)表示，保留兩位數(shù)。四、系統(tǒng)誤差與隨機誤差根據(jù)誤差的性質和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差與隨機誤差。系統(tǒng)誤差 - 是指在一定條件下多次測量結果總是向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化，系統(tǒng)誤差的特征是它的規(guī)律的確定性。系統(tǒng)誤差的來源有以下幾方面：儀器誤

14、差 -由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的。理論誤差 -由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性；或實驗條件不能達到理論公式所規(guī)定的要求；或測量方法所帶來的。觀測誤差 -由于觀測者本人生理或心理特點造成的。例如，用落球法測量重力加速度，由于空氣阻力的影響，多次測量的結果總是偏小，是測量方法不完善造成的；用停表測運動物體通過某段路程所需的時間，若停表走時太快，即使測量多次，測量的時間t總是偏大為一固定值，是儀器不準確造成的；在測量過程中，若環(huán)境溫度升高或降低，使測量值按一定規(guī)律變化，是由于環(huán)境因素變化引起的.在任何一項實驗工作和具體測量中，首先必須要辦法，最大限度地消除或減少一切可能存

15、在的系統(tǒng)誤差。消除系統(tǒng)誤差，首先要找到引起系統(tǒng)誤差的原因，針對性地采取措施才能消除它的影響，或者對測量結果進行修正。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差需要改變實驗條件和測量方法，反復進行對比，系統(tǒng)誤差的減小或消除是比較復雜的問題。隨機誤差 -實驗中即使采取了措施，對系統(tǒng)誤差進行修正或消除，并且進行了精心觀測，然而每次測量值仍會有差異，其誤差值的大小和符號的正負，起伏不定，無確定性，這種誤差是由于感官靈敏度和儀器精密度所限，周圍環(huán)境的干擾以及隨著測量而來的其它不可預測的隨機因素的影響造成的，因而把它叫做隨機誤差。當測量次數(shù)很多，隨機誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實踐和理論都證明，隨機誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布），其

16、特點是：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大；絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同；絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零。因此增加測量次數(shù)，可以減小隨機誤差，但不能完全消除。由于測量者的過失，如實驗方法不合理，用錯儀器，操作不當，讀錯刻度，記錯數(shù)據(jù)等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測量誤差，只要測量者采取嚴肅認真的態(tài)度，過失誤差是可以避免的。實驗中，精密度高是指隨機誤差小，而數(shù)據(jù)很集中；準確度高是指系統(tǒng)誤差小，測量的平均值偏離真值??；精確度高是指測量的精密度和準確度都高，數(shù)據(jù)集中而且偏離真值小，即隨機誤差和系統(tǒng)誤差都小。五、隨機誤差的估算 關于隨機誤差的分布規(guī)律和處理方法，涉

17、及較多的概率論和數(shù)理統(tǒng)計知識，這里只引用結論，不進行論證。 大量實踐證明：對某一觀測量進行多次重復測量，其結果服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，也就是正態(tài)分布（或高斯分布）見附錄1。我們用描述高斯分布的兩個參數(shù)（ 和 ）來估算隨機誤差。 設在一組測量值中，n次測量的觀測值分別為：X1，X2，Xn。1、 算術平均值根據(jù)最小二乘法原理證明，多次測量的算術平均值： (1-1)是待測量真值X0 的最隹估計值。稱為近真值，以后我們將用來表示多次測量的近似真實值。2、標準偏差 (1-2)其意義表示某次測量值的隨機誤差在 之間的概率為68.3%。六、算術平均值的標準偏差 (1-3)其意義表示測量值的算術平均值的隨機誤差在

18、之間的概率為68.3%，或者說待測量的真值在 范圍內的概率為68.3%。因此反映了平均值接近真值的程度。七、標準偏差的意義：作為隨機誤差大小的描述，小表示測量值密集，即測量的精密度高；大表示測量值分散，即測量的精密度低。估計隨機誤差還有用 （算術平均誤差）、或然誤差等其他方法，本書采用“貝塞爾公式法”計算標準偏差，同時用它來表述A類不確定度。八、異常數(shù)據(jù)的剔除統(tǒng)計理論表明，測量值的偏差超過的概率已小于1%，因而，可以認為偏差超過的測量值是其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應當剔除。剔除的方法是將多次測量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測量值的偏差(其中)和標準偏差（其中），把其中最大的與比較，若 ，則

19、認為第個測量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計。剔除后，對余下的各測量值重新計算偏差和標準偏差，并繼續(xù)審查，直到各偏差均小于為止。第二節(jié) 測量結果的評定和不確定度測量的目的不但要得到待測量的近真值，而且要對近真值的可靠性作出評定（指出誤差范圍）。（一） 不確定度的含義 不確定度是“誤差可能數(shù)值的測度”，表征所測量結果代表被測量的程度，也就是因測量誤差存在而對被測量不能肯定的程度，因而是測量質量的表征。具體說來，不確定度是指測量值（近真值）附近的一個范圍，測量值與真值之差（誤差）可能落于其中。不確定度小，測量結果可信賴程度高不確定度大，測量結果可信賴程度低。在實驗和測量工作中，不確定度一詞近似于不確知，不明

20、確，不可靠，有質疑，是作為估計而言；誤差是未知的。因此，不可能用指出誤差的方法去說明可信賴程度，而只能用誤差的某種可能值去說明可信賴程度，所以不確定度更能表示測量結果的性質和測量的質量。用不確定度評定實驗結果的誤差，其中包括了各種來源不同的誤差對結果的影響，而它們的計算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律。（二）測量結果的表示和合成不確定度科學實驗中要求表示出的測量結果，既要包含待測量的近真值，又要包含測量結果的不確定度并寫成物理含意深刻的標準表達形式，即 （單位）式中為待測量，是測量的近真值，是合成不確定度，一般只保留一位有效數(shù)字。 直接測量時若不需要對被測量進行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測量

21、的算術平均值 作為近真值；實驗中有時只需要測一次或只能測一次，該次測量值就為被測量的近真值。若要求對被測量進行已定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將已定系統(tǒng)誤差（即絕對值和符號都確定的可估計出的誤差分量）從算術平均值 或一次測量值中減去，從而求得被修正后的直接測量結果的近真值。例如，用螺旋測微計測長度時，從被測量結果中減去螺旋測微計的零差。在間接測量中， 即為被測量的計算值。 測量結果的標準表達式，給出了一個范圍（）（），表示待測量的真值在（）（）之間的概率為68.3%，不要誤認為真值一定在（）（）之間。認為誤差一定在之間是錯誤的。標準式中，近真值、不確定度、單位這三要素缺一不可，否則就不能全面表達測量

22、結果。同時近真值 的末尾數(shù)應與不確定度的所在位數(shù)對齊，近真值與不確定度的數(shù)量級、單位要相同。合成不確定度 是由不確定度的兩類分量（A類和B類）求“方和根”計算而得。為使問題簡化，本書只討論簡單情況下（即A類和B類分量各自獨立變化，互不相關）的合成不確定度。A類不確定度（統(tǒng)計不確定度）用 表示，B類不確定度（非統(tǒng)計不確定度）用 表示，合成不確定度為 （三） 合成不確定度的兩類分量實驗不確定度，一般來源于測量方法、測量人員、環(huán)境波動、測量對象變化等。計算不確定度是將可修正的系統(tǒng)誤差修正后，將各種來源的誤差按計算方法分為兩類，即用統(tǒng)計方法計算的不確定度（A類）和非統(tǒng)計方法計算的不確定度（B類）。A類

23、；統(tǒng)計不確定度，是指可以采用統(tǒng)計方法（即具有隨機誤差性質）計算的不確定度，如測量讀數(shù)具有分散性，測量時溫度波動影響等，這一類不確定度被認為它是服從正態(tài)分布規(guī)律，因此可以像計算標準偏差那樣，用貝塞爾公式計算被測量的A類不確定度見附錄。A類不確定度 為 式中 =1，2，3，表示測量次數(shù)。 計算A類不確定度，也可以用最大偏差法、極差法、最小二乘法等，本書只采用貝塞爾公式法，并且著重討論讀數(shù)分散對應的不確定度。用貝塞爾公式計算A類不確定度，可以用函數(shù)計算器直接讀取，十分方便。B類：非統(tǒng)計不確定度，是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度，如測量儀器不準確，標準不準確，量具質量老化等。評定B類不確定度常用估

24、計方法，要估計適當，需要確定分布規(guī)律，同時要參照標準，更需要估計者的實踐經(jīng)驗、學識水平等。因此，往往是意見紛紜，爭論頗多。本書對B類不確定度的估計同樣只作簡化處理，只討論因儀器不準對應的不確定度，儀器不準確的程度主要用儀器誤差來表示，所以因儀器不準對應的B類不確定度為 為儀器誤差或儀器的基本誤差，或允許誤差，或示值誤差。一般的儀器說明書中都有以某種方式注明儀器誤差，是制造廠或計量部門給定。物理實驗教學中，由實驗室提供見附錄。（四）直接測量的不確定度如前所述，對A類不確定度主要討論多次等精度測量條件下。讀數(shù)分散對應的不確定度，并且用貝塞爾公式計算A類不確定度。對B類不確定度，主要討論儀器不準確對

25、應的不確定度，并直接采用儀器誤差。然后將A、B兩類不確定度求“方和根”，即合成不確定度。將測量結果寫成標準形式。因此，實驗結果的獲得，應包含待測量近真值的確定。A、B兩類不確定度以及合成不確定度的計算，下面通過幾個例子加以說明。例1、用毫米刻度的米尺，測量物體長度十次，其測量值分別為L=53.27,53.25,53.23,53.29,53.24,53.28,53.26,53.20,53.24,53.21(cm)試計算合成不確定度,并寫出測量結果. 解：1、 計算 的近真值 =53.24(cm)2、 計算A類不確定度 = 0.03(cm)3、 計算B類不確定度米尺的儀器誤差= 0.05(cm)

26、=0.05(cm)4、 合成不確定度 0.06(cm)5、 測量結果的標準式為 L = 53.240.06(cm)例2、用感量為0.1g的物理天平稱衡物體的質量，其讀數(shù)為35.41g，求測量結果。 解：用物理天平稱衡物體的質量，重復測量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進行單次測量。單次測量的讀數(shù)即為近真值，m = 35.41g。物理天平的示值誤差通常取感量的1/2，并且作為儀器誤差，即 0.05(g)測量結果： m = 35.410.05(g)本例中，因單次測量（n =1），合成不確定度 中的，所以即單次測量的合成不確定度等于非統(tǒng)計（B類）不確定度，但并不表明單次測量的 就小，因為n = 1時，發(fā)散

27、。其隨機分布特征是客觀存在的，測量次數(shù)n愈大，置信概率就愈高，因而測量的平均值就愈接近真值。例3、用螺旋測微計測量小鋼球的直徑，五次的測量值分別為d = 11.922，11.923，11.922，11.922，11.922(mm)。螺旋測微計的最小分度值為0.01mm，試寫出測量結果的標準式.解1.求直徑d的算術平均值 (11.922+11.923+11.922+11.922+11.922) =11.922(mm) 2.計算B類不確定度螺旋測微計的儀器誤差為=0.005(mm) =0.005(mm) 3.計算A類不確定度 = 0.00088 = 0.0009(mm)4.合成不確定度 式中，由于

28、0.0009,故可略去，于是： 5.測量結果 d = =11.9220.005(mm)由例3可以看出，當有些不確定度分量的數(shù)值很小時，相對而言可以略去不計。 在計算合成不確定度，求“方和根”時，若某一平均值小于另一平方值的1/9，則該項就可以略去不計。這叫微小誤差準則，利用微小誤差準則可以減少不必要的計算。不確定度計算結果，一般保留一位數(shù)，多余的位數(shù)按有效數(shù)字的修約原則取舍。評價測量結果，有時需引入相對不確定度，定義為：， 結果取2位數(shù)，此外，有時需將測量結果的近真值與公認值進行比較，得到測量結果的百分偏差B。定義為 其結果取2位數(shù)。（五）間接測量結果的合成不確定度間接測量的近真值和合成不確定

29、度是由直接測結果通過函數(shù)式計算出來的，設間接測量的函數(shù)式為N = F（ ）N為間接測量的量，它有K個直接觀測量 x ，y ，z ， ，各直接觀測量的結果分別為 （1）若將各直接觀測量的近真值代入函數(shù)式中，即得間接測量的近真值。 （2）求近真值合成不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學中的微小增量。對函數(shù)式N = F (，y，z ，)求全微分，即得, 式中 dN，d，dy，dz， 均為微小增量，代入各變量的微小變化，dN的變化由各自變量的變化決定。為函數(shù)對自變量的偏導數(shù)，記為，將微分符號“d”改為不確定度符號，并將微分式中的各項求“方和根”，即為間接測量的合成不確定度： （1-4）K為直接

30、觀測量的個數(shù)，A代表，y，z， 各個自變量（直接觀測量）。 上式表明，間接測量的函數(shù)式確定后，測出它所包含的直接觀測量的結果，將各直接觀測量的不確定度乘函數(shù)對各自變量（直接測量量）的偏導數(shù) ，求“方和根”，即 就是間接測量結果的不確定度。 當間接測量的函數(shù)式為積商（或含和差的積商形式），為使運算簡便起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時取自然對數(shù)，然后再求全微分。即 同樣改微分號為不確定度符號，求其“方和根”，即為間接測量的相對不確定度，即 = （1-5）已知，由定義式即可求出合成不確定度 （1-6）這樣計算較直接求全微分簡便得多，特別對函數(shù)式很復雜的情況，尤其顯示出它的優(yōu)越性。 今后在計算間接測量的不

31、確定度時，對函數(shù)式僅為“和差”形式，可以直接利用（1-4）式，求出間接測量的合成不確定度，若函數(shù)式為積商（或積商和差混合）等較為復雜，可直接采用（1-5）式，先求出相對不確定度，再求合成不確定度。 例1已知電阻R1=50.20.5（），R2=149.80.5（），求它們串聯(lián)的電阻R和合成不確定度。解： 串聯(lián)電阻的阻值為 R = R1+ R2 = 50.2+149.8 =200.0（）合成不確定度 = = = 0.7()相對不確定度 測量結果： R = 200.00.7（）例1中，由于=1，=1，R的總合成不確定度為各直接觀測量的不確定度平方求和后開方。 間接測量的不確定度計算結果只保留一位有效

32、數(shù)字，相對不確定度保留二位有效數(shù)字。 例2測量金屬環(huán)的內徑D1= 2.8800.004(cm),外徑D2=3.6000.004(cm)，厚度為H=2.5750.004(cm)，求金屬環(huán)的體積V的測量結果。 解：金屬環(huán)的體積公式為： （1）金屬環(huán)體積的近真值為： = = 9.436(cm3) （2）首先將金屬環(huán)的體積公式兩邊同時取自然對數(shù)后，再求全微分： 則相對不確定度為： = = 0.0081 = （3）總合成不確定度為： = V= =0.08(cm3) （4）金屬環(huán)體積的測量結果： V= 9.440.08（cm3）V的標準式中，V=9.436（cm3）應與不確定度的位數(shù)對齊，因此將小數(shù)點后的

33、第三位數(shù)“6”按數(shù)字修約原則進到百分位，故為9.44(cm3). 例3用物距像距法測凸透鏡的焦距。測量時若固定物體和透鏡的位置，移動像屏，反復測量成像位置，試求透鏡焦距的測量結果。 已知：物體位置A=170.15（cm） 透鏡位置B=130.03（cm） 成像位置重復測量五次的測量值為 C = 61.95，62.00，61.90，61.95，62.00。A，B為單次測量，刻度尺分度值為0.1cm。 解： （1）由已知條件求出物距u 和像距的結果： 物距u： 其中，0.05cm為單次測量的儀器誤差，也是單次測量物距的合成不確定度。 由已知條件，成像位置 ：其中： （可由函數(shù)計算器直接讀?。?（為

34、B類不確定度） 像距： （2）求焦距的近真值： 所取位數(shù)是根據(jù)有效數(shù)字的運算法則所決定。 = 8.5 =25.24焦距的測量結果： =25.240.02(cm)本例中將微分后，、均先后在不同的兩項中出現(xiàn)，因此計算時應將相同的項（含或）合并后，再求“方和根”。第三節(jié) 有效數(shù)字及其運算法則前面已經(jīng)指出，測量不可能得到被測量的真實值，只能是近似值。實驗數(shù)據(jù)的記錄反映了近似值的大小，并且在某種程度上表明了誤差，因此有效數(shù)字是測量結果的一種表示，它應當是有意義的數(shù)碼，而不允許無意義的數(shù)存在，如果把測量結果寫成24.38390.05(cm)是錯誤的,由不確定度0.05(cm)得知,數(shù)據(jù)的小數(shù)點后第二位上的

35、8已不可靠，把它后面的數(shù)字寫出來沒有多大意義，正確的寫法應當是：24.380.05(cm)。（一）有效數(shù)字的概念 若用最小分度值為1mm的米尺測量物體的長度，讀數(shù)值為5.63cm，其中“5”和“6”這兩個數(shù)是從米尺上的刻度準確讀出的，可以認為是準確的，叫可靠數(shù)。末尾“3”是在米尺最小分度值的下一位上估計出來的，是不準確的，叫欠準數(shù)（或叫可疑數(shù)）。雖然是欠準可疑，但不是無中生有，而是有根有據(jù)有意義的，顯然有這位欠準數(shù)，就使測量值更接近真實值，更能反映客觀實際，因此應當保留到這一位。即使估計數(shù)是“0”，也不能舍去，測量結果應當而且也只能保留一位欠準數(shù)，故將測量數(shù)據(jù)定義為：幾位可靠數(shù)加上一位欠準數(shù)稱

36、為有效數(shù)字，有效數(shù)字數(shù)碼的個數(shù)叫做有效數(shù)位，如上述的5.63cm稱為三位有效數(shù)。（二）直接測量的有效數(shù)字記錄 1、測量值的最末一位一定是欠準數(shù)，這一位應與儀器誤差在哪一位發(fā)生，測量數(shù)據(jù)的欠準位就記錄到哪一位，不能多記，也不能少記，即使估計是“0”，也必須寫上，例如，用米尺（分度值為1mm）測量物體的長度時應記為25.4mm，這一數(shù)值說明儀器誤差為十分之幾毫米，改用游標卡尺（分度值為0.02mm）測量，測得值應記為25.40mm，儀器誤差僅為百分之幾毫米，顯然25.4mm與25.40mm是不同的，屬于不同儀器測量的，誤差位也不同，不能將它們等同看待。 2、凡是儀器上讀出的，有效數(shù)字中間或末尾的“

37、0”，均應算作有效位數(shù)。例如：2.004cm，2.200cm均是4位有效位數(shù)；在記錄數(shù)據(jù)中，有時因定位需要，而在小數(shù)點前加“0”，這不應算作有效位數(shù)，如0.0563mm是3位有效數(shù)而不是4位有效數(shù)。 3、在十進制單位換算中，其測量數(shù)據(jù)的有效位數(shù)不變，如5.63cm若以米或毫米為單位,記為0.0563m或56.3mm仍然是三位有效數(shù)；為避免單位換算中位數(shù)很多時寫成一長串，或計位時錯位，常采用科學記數(shù)法：即通常在小數(shù)點前只保留一位整數(shù)，其余位數(shù)均采用表示，如5.63mm可以記為 5.63，5.63m等等，這樣既簡單明了，又方便計算和定位。 4、直接測量結果的有效位數(shù)，取決于被測物體身的大小和所使用

38、的儀器精度，對同一個被測物，高精度的儀器，測量的有效位數(shù)多，低精度的儀器，測量的有效位數(shù)少，例如，長度約為2.5cm的物體，若用分度值為1mm米尺測量，其數(shù)據(jù)為2.50cm，若用螺旋測微器測量（最小分度值為mm），其測量值為2.5000cm,顯然螺旋測微器的精度較米尺高很多，所以測量結果的位數(shù)較米尺的測量結果多兩位數(shù)，反之用同一精度的儀器，被測物大的物體測量結果的有效位數(shù)多；被測物小的物體，測量結果的有效位數(shù)少。 （三）有效數(shù)字的運算法則 測量結果的有效數(shù)字，只能保留一位欠準數(shù)，直接測量是如此，間接測量的計算結果也是這樣，根據(jù)這一原則，為了簡化有效數(shù)字的運算，約定下列規(guī)則： 1、加法或減法運算

39、：例1、 14.61 + 2.216 + 0.00672 = 16.8 3272 =16.83 4位數(shù) 4位數(shù) 3位數(shù) 4位數(shù)注：有效數(shù)字下面加橫線表示為欠準數(shù)。根據(jù)保留一位欠準數(shù)的原則，計算結果應為16.83，其欠準位與參與求和運算的各個數(shù)中（14.61）的欠準位最高者相同。例2、19.68 5.848 = 13.832 = 13.83 4位數(shù) 4位數(shù) 4位數(shù)保留一位欠準數(shù)，結果為13.83，與欠準位最高的（19.68）欠準位相同。 大量的計算表明，若干個數(shù)進行加法或減法運算，其和或差的結果的欠準位與參與運算的各量中的欠準位最高者相同。由此結論，當若干個數(shù)進行加法或減法運算時，可先將多余位數(shù)

40、修約，較應保留的欠準位置多留一位進行計算運算，最后結果按保留一位欠準數(shù)進行取舍。這樣可以減少繁雜的數(shù)字計算。 推論（1）：若干個直接測量量進行加法或減法計算時，選用精度相同的儀器最為合理。 2、乘法和除法運算：例3、 4.178 10.1 = 42.2978 = 42.2 4位數(shù) 3位數(shù) 3位數(shù) 只保留一位欠準數(shù)，其結果應為42.2，即為三位數(shù)，與乘數(shù)中10.1的最少位數(shù)相同。例4、 4.8128 12.3 = 391.1 = 391 5位數(shù) 3位數(shù) 3位數(shù) 只保留一位欠準數(shù)，其結果應為391。即為三位有效數(shù)，同樣與除數(shù)的位數(shù)（12.3）最少的相同。 由此得出結論：有效數(shù)進行乘法或除法運算，乘

41、積或商的結果的有效位數(shù)與參與運算的各量中有效位數(shù)最少者相同。 推論2、測量的若干個量，若是進行乘除法運算，應按有效位數(shù)相同的原則來選擇不同精度的儀器。 3、乘方、開方運算的有效位數(shù)與其底數(shù)的有效位數(shù)相同。 4、自然數(shù)1，2，3，4，不是測量而得，不存在欠準數(shù)，因此可以視為無窮多位有效數(shù)，書寫也不必寫出后面的“0”，如D = 2R，D的位數(shù)僅由直接測量量R的位數(shù)決定。 5、無理常數(shù)，的位數(shù)也可以看成很多位，計算過程中這些常數(shù)項參加運算時，其取的位數(shù)應比測量數(shù)據(jù)中位數(shù)最少者多取一位。例如： L = 2r，若測量值R = 2.3510-2m時,的取值應為3.142.則L = 23.1422.3510

42、-2 = 1.4810-1m. 6、有效數(shù)字的修約，根據(jù)有效數(shù)字的運算規(guī)則，為使計算簡化，在不影響最后結果應保留的位數(shù)（或欠準位置）的前提下，可以在運算前、后對數(shù)進行修約，其修約原則是“四舍六入五看左右”詳見附錄，中間運算過程較結果多保留一位數(shù)。第四節(jié) 數(shù)據(jù)處理 用簡明而嚴格的方法把實驗數(shù)據(jù)所代表的事物內在規(guī)律性提煉出來就是數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)起到得出結果止的加工過程，包括記錄、整理、計算、分析等的處理方法，本章節(jié)主要介紹列表法，作圖法，最小二乘法。（一）列表法 列表法是記錄數(shù)據(jù)的基本方法。欲使實驗結果一目了然，避免混亂，避免丟失數(shù)據(jù)，便于查對，列表法是記錄數(shù)據(jù)的最好方法。將數(shù)據(jù)中

43、的自變量、因變量的各個數(shù)值一一對應排列出來，可以簡單明確地表示出有關物理量之間的關系；檢查測量結果是否合理，及時發(fā)現(xiàn)問題；有助于找出有關量之間的聯(lián)系和建立經(jīng)驗公式，這就是列表法的優(yōu)點。設計記錄表格應要求：1、 利于記錄、運算和檢查，便于一目了然地看出有關量之間的關系。2、 表中各欄要用符號標明，數(shù)據(jù)所代表的物理量和單位要交代清楚。單位要寫在標題欄。3、 表格記錄的測量值和測量偏差，應正確反映儀器的精度。4、 一般記錄表格還有序號和名稱。例如：要求測量圓柱體的體積V，圓柱體高H和直徑D的記錄表格如下：測柱體高H和直徑D記錄表測量次數(shù)Hi（mm）Hi（mm）Di（mm）Di（mm）135.32-0

44、.0048.135-0.0003235.300.0168.137-0.0023335.32-0.0048.136-0.0013435.34-0.0248.1330.0017535.300.0168.1320.0027635.34-0.0248.135-0.0003735.280.0368.1340.0007835.300.0168.136-0.0013935.34-0.0248.135-0.00031035.32-0.0048.1340.0007平均值35.3168.1347說明：Hi是測量值Hi的偏差，Di是測量值Di的偏差；測Hi是用精度為0.02mm的游標卡尺，儀器精度限儀=0.02mm

45、；測Di是用精度為0.01mm的螺旋測微計，其儀器精度限儀=0.005mm；由表中所列數(shù)據(jù)，可計算出高、直徑和圓柱體體積測量結果（近真值和不確定度）： H =35.320.03(mm) D =8.3150.005(mm) V =(1.8360.003)103(mm3)(二) 作圖法作圖法是在坐標紙上用圖形描述各物理量之間的關系，將實驗數(shù)據(jù)用幾何圖形表示出來，這就叫作圖法。作圖法的優(yōu)點是直觀、形象、便于比較研究實驗結果，求某些物理量，建立關系式等。作圖要注意以下幾點： 1、作圖一定要用坐標紙，根據(jù)函數(shù)關系選用直角坐標紙，單對數(shù)坐標紙，雙對數(shù)坐標紙，極坐標紙等，本書主要采用直角坐標紙。2、坐標紙的

46、大小及坐標軸的比例，應當根據(jù)所測得數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和結果的需要來確定，原則上數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中應當為可靠的，數(shù)據(jù)中的欠準位在圖中應是估計的，要適當選取X軸和Y軸的比例和分度值，使圖線充分占有圖紙空間，不要縮在一邊或一角；坐標軸分度值比例的選取一般選用間隔1，2，5，10等，這便于讀數(shù)或計算，除特殊需要外，分度值起點一般不必從零開始，X軸和Y軸的比例可以采用不同的比例。3、標明坐標軸：一般是自變量為橫軸，應變量為縱軸。采用粗實線描出坐標軸，并用箭頭表示出方向，注明所示物理量的名稱，單位。坐標軸上標明分度值（注意有效位數(shù)）。 4、描點：根據(jù)測量數(shù)據(jù)，用直尺筆尖使其函數(shù)對應點準確地落在相應的位置上

47、，在一張圖紙上要畫幾條實驗曲線時，每條圖線應用不同的標記如“”“”“”等，以免混淆。5、連線：根據(jù)不同函數(shù)關系對應的實驗數(shù)據(jù)點的分布，把點連成直線或光滑的曲線或折線，連線必須用直尺或曲線板，如校準曲線要連成折線，當連成直線或光滑的曲線時，圖線并不一定通過所有的點，而是使數(shù)據(jù)點均勻地分布在圖線的兩側，個別偏離很大的點應當舍去，原始數(shù)據(jù)點應保留在圖中。6、寫圖名：在圖紙下方或空白位置處，寫上圖的名稱，一般將縱軸代表的物理量寫在前面，橫軸代表的物理量寫在后面，中間用“-”聯(lián)接，圖中附上適當?shù)膱D注，如實驗條件等。7、最后寫明實驗者姓名和實驗日期，并將圖紙貼在實驗報告的適當位置。（三）圖解法實驗曲線作出

48、后，可由曲線求經(jīng)驗公式，由曲線求經(jīng)驗公式的方法稱圖解法。在物理實驗中經(jīng)常遇到的曲線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對數(shù)曲線等，而其中以直線最簡單。1、 建立經(jīng)驗公式的一般步驟： (!)根據(jù)解析幾何知識判斷圖線的類型； (2)由圖線的類型判斷公式的可能特點； (3)利用半對數(shù)、對數(shù)或倒數(shù)坐標紙，把原曲線改變?yōu)橹本€； (4)確定常數(shù)，建立起經(jīng)驗公式的形式，并用實驗數(shù)據(jù)來檢驗所得公式的準確程度。2、 直線方程的建立： 如果作出實驗曲線是一條直線，則經(jīng)驗公式為直線方程 （1-7）欲建立此方程，必須由實驗直接求出k和b，一般有兩種方法：（1） 斜率截距法由解析幾何知，k為直線的斜率，b為直線的截距。求k時，在圖線上選取兩點P1（1，1）和P2（2，2），則斜率為 （1-8） 要注意，所取兩點不得為原實驗數(shù)據(jù)點，并且所取的兩點不要相距太近，以減小誤差。其截距b為= 0時的y值；若原實驗圖線并未給出= 0段直線，可將直線用虛線延長交y軸，則可求出截距。（2） 端值求解法 在直線兩端取兩