應用導數(shù)研究三次函數(shù)圖像的對稱性及切線條數(shù)

1、應用導數(shù)研究三次函數(shù)圖像的對稱性及切線條數(shù) 教學目標知識與技能：（1）掌握三次函數(shù)對稱中心的求法；（2）掌握三次函數(shù)切線方程的求法；（3）了解過一點作三次函數(shù)圖像切線條數(shù)的結論.過程與方法：（1）應用導數(shù)研究三次函數(shù)的方法；（2）由特殊實例猜想一般結論，然后證明的思想；（3）利用函數(shù)對稱性，多種情形通過分析減少討論種類.情感與態(tài)度：（1）通過自主深入探究，增強學生學生學習數(shù)學的興趣，獨立思考的能力；（2）讓學生感數(shù)學結論的完整美，數(shù)形結合的統(tǒng)一美.教學重點三次函數(shù)圖像的對稱中心、切線條數(shù)的探究，三次函數(shù)切線方程的求法.教學難點特殊到一般的歸納方法，切線條數(shù)的判斷方法.教學方法探究式教學.教學手

2、段多媒體輔助教學.教學過程1 三次函數(shù)圖像的對稱性1.1 創(chuàng)設情景，提出問題三次函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖像的對稱中心是（幾何畫板展示），那么一般的三次函數(shù)是否有對稱中心呢？觀察函數(shù)的圖像（幾何畫板展示），它也有對稱中心（1，1），那么怎樣求三次函數(shù)的對稱中心？1.2 回歸通法，探究發(fā)現(xiàn)研究三次函數(shù)我們最常用的就是通過研究其導函數(shù)來研究它本身，我們分別畫出的導函數(shù)圖像（幾何畫板展示），和原函數(shù)的對稱性聯(lián)系起來，通過歸納得到，三次函數(shù)有唯一的對稱中心，對稱中心的橫坐標與其導函數(shù)頂點的橫坐標相同.1.3 追根索源，理解本質(zhì)為什么會有這樣的結論？因為三次函數(shù)在兩個相互對稱的點處的切線是平行的（幾何畫板展示

3、），所以對于任意三次函數(shù)，它的圖像有唯一的對稱中心. 管宏斌.三次函數(shù)對稱中心初探.數(shù)學通訊.2004（15）.2 過一點作三次函數(shù)圖像切線條數(shù)的探究2.1 因勢利導，引出問題三次函數(shù)過對稱中心的切線是如何的？通過實例來探究.在對稱中心（1，1）處的切線方程為，這和我們以前形成的切線的印象不同，但它就是三次函數(shù)的切線，因為它符合切線的定義.我們注意這樣的切線只有一條，那么當這一點在別的地方，切線有多少條？2.2 恰當分類，實例探索因為三次函數(shù)是中心對稱圖形,因此對稱部分的情形應該是一樣的，過對稱中心的切線和三次函數(shù)的圖像把平面分成四部分，所以上下是一種情形，左右是一種情形，三次函數(shù)圖像上的點（

4、除對稱中心）是一種情形，過對稱中心的切線上的點（除對稱中心）是一種情形.我們選擇三次函數(shù)為例來探究.先選右邊的點，設切點，列方程，有多少條切線，對應有多少個切點，對應方程有多少個根.對于三次方程，有少個根，對應它的圖像與軸有多少個交點，可應用導數(shù)分析.其他情形，讓學生分組計算，討論作答.2.3 歸納總結，得到結論設三次函數(shù)圖像在其對稱中心處的切線為，是三次函數(shù)圖像所在平面上的一點，則（1）過點能且僅能作的一條切線，當且僅當點位于和所夾的上下兩個區(qū)域內(nèi)（邊界除外），或點與點重合.（2）過點能且僅能作的兩條切線，當且僅當點位于或上（點除外）.（3）過點能且僅能作的三條切線，當且僅當點位于和所夾的左右兩個區(qū)域內(nèi)（邊界除外）. 賀斌.過一點作三次函數(shù)圖像切線條數(shù)的完備結論. 數(shù)學通訊.2008（3）. 根據(jù)三次函數(shù)首項系數(shù)的正負畫出相應的示意圖如下：3 小結知識點1 對稱中心，三次函數(shù)有唯一的對稱中心，對稱中心的橫坐標與其導函數(shù)頂點的橫坐標相同.知識點2 切線條數(shù)，用圖表示.數(shù)學思想方法 數(shù)形結合，特殊與一般，化歸轉(zhuǎn)化.4 思考（1）對稱中心我們是通過觀察導圖像得到的，對于對稱問題，我們在函數(shù)中講到了很多，你能用其他方法求三次函數(shù)圖像的對稱中心嗎？（2）過一點作三次函數(shù)圖像切線條數(shù)的結論，我們是通過具體例子歸納得到的，你能