靜力平衡問題探討

1、靜力平衡問題探討ABC： 對于對于或系統(tǒng)，在已知或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。外載荷的作用下，求約束力。 對于對于或系統(tǒng)，或系統(tǒng)，求平衡時外載荷所應(yīng)滿足的條件及約求平衡時外載荷所應(yīng)滿足的條件及約束力束力。60ABCDF2解：解：1）畫整體受力圖。）畫整體受力圖。 注意注意BC為二力桿。為二力桿。驗算驗算，再寫一個不獨(dú)立平衡方程，看是否滿足。如，再寫一個不獨(dú)立平衡方程，看是否滿足。如 MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0 結(jié)果正確。結(jié)果正確。2）取坐標(biāo)，列平衡方程。）取坐標(biāo)，列平衡方程。 Fx=FAx-FCcos30 =0 ABCF=2KN30q=0.5KN/m L=2

2、m1.5mFq=2q=1 KNxy Fy=FAy+FCsin30 -F-Fq=0 MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0 3）解方程得到）解方程得到; FC=4KN; FAy=1KN; FAx=2KN3列平衡方程：列平衡方程： Fy=FB-F=0 FB=F ABFBAFCFBFABFAFABCayxOFBFCFA MA(F)=FB.ABcosa a-FC.ABsina a=0 FC=Fctga a。 a a越小，夾緊力越大。越小，夾緊力越大。4 列平衡方程：列平衡方程： Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-P-W=0 -(2) MA(F) =MA+12FBy-4W-8P

3、=0 -(3)4mCA4m1m1m8mBWP5 2)為研究對象，列平衡方程：為研究對象，列平衡方程： MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN3)取取為研究對象，有：為研究對象，有： MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kN 將將FBy代入代入(2)、(3)式，求得：式，求得： FAy=P+W-FBy=53.75 kN MA=4W+8P-12FBy=205 kN.m4mWP1m1mDEC1m8mB6 Fy=FAy-F=0 FAy=F MA(F)=FB 2a-Fa=0 FB=F/2 Fx=FAx+FB

4、=0 FAx=- -FB=- -F/2 研究研究CD桿，有：桿，有： MC(F)=FDya=0 YD=0 Fy=FACsin45 -F=0 FAC Fx=FDx-FACcos45 =0 FDxABCFDCDF請驗算：請驗算：AB桿桿 (帶帶銷銷A) 受受力是否平力是否平衡？衡？7弄清弄清題意，題意，標(biāo)出標(biāo)出已知已知量量整體受整體受力圖，力圖，列平衡列平衡方程，方程，解決問解決問題否？題否？選取適選取適當(dāng)?shù)淖?dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和標(biāo)軸和矩心，矩心，注意正注意正負(fù)號。負(fù)號。檢檢查查結(jié)結(jié)果，果，驗驗算算補(bǔ)充選取補(bǔ)充選取適當(dāng)研究適當(dāng)研究對象，畫對象，畫受力圖，受力圖，列平衡方列平衡方程求解。程求解。NoYes注

5、意：注意：力偶力偶M在任一軸上的投影為零；在任一軸上的投影為零； 力偶對任一點(diǎn)之矩即為力偶對任一點(diǎn)之矩即為M。8bMABac4560ABCDABCq2aaa4594560ABCDF1 F2 ME(F)=F2 AE-F1sin60 BE=0 注意：注意： BE=AB；AE= AB 可解得：可解得： F2=.F12E 10解解: BC為二力桿為二力桿; 外力只有力偶外力只有力偶M, 以以AC為軸為軸寫投影方程可知，寫投影方程可知， A處反力為處反力為FAy=0 , 整體受力如圖所示。整體受力如圖所示。bMABacFB BFCFAxAMFAy=0F CFAFBA BbMcdaBAFF=BdFM=+-

6、0有0(F)=AM又由可解得BF11FBA BMdFAABFBA BFFBA BFFAFA122）研究）研究BC，受力如圖。，受力如圖。 求出求出FC即可。即可。 MB(F)=2aFCcos45 -Fa-qa2/2=02CFqBABCq2aaa4513 固定鉸的約束力作用于銷釘上。固定鉸的約束力作用于銷釘上。 多桿用同一銷釘連接，討論某桿時，須考多桿用同一銷釘連接，討論某桿時，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。慮各桿與銷釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx =F ; FAy =P ;MA = M ？PABCPABCAFABxFAByFACxFACy14第一種情形第一種情形l第二種情形

7、第二種情形15第二種情形第二種情形FAyFAxFBxFByFCxFCyFBxFBy分析分析BC和和ABD桿受桿受力力 FCx= FBx; FCy= FBy 216 MA ( F ) = 0 2 FBx= F 2 MB ( F ) = 0 0 MC ( F ) = 0 :FAyFAxllABDFBxFByCl第二種情形第二種情形以整體為研究對象如何？以整體為研究對象如何？17完全約束住的完全約束住的n個物體組成的個物體組成的物體系統(tǒng)物體系統(tǒng)在平面一在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個平衡方程。若反力未知量是個平衡方程。若反力未知量是3

8、n個，則是靜定的。個，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題由平衡方程即可確定的靜力平衡問題 - - 未知量數(shù)未知量數(shù)= =獨(dú)立平衡方程數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)ABC30如例如例1 1 系統(tǒng)系統(tǒng)二根桿二根桿六個平衡方程；六個平衡方程； 約束約束三處鉸鏈三處鉸鏈六個反力，靜定。六個反力，靜定。 若將若將BC視為二力桿，視為二力桿， 則平衡方程減少二個，則平衡方程減少二個， 但但B、C處約束力未知量也減少了二個處約束力未知量也減少了二個。18本題作用于小車的是本題作用于小車的是 平行于平行于Y軸的平行力系，軸的平行力系，系統(tǒng)系統(tǒng) 三個物體三個物體8個平衡方程；個平衡方程；約束約束 固定端固定端3；中

9、間鉸；中間鉸2；活動鉸、車輪接觸；活動鉸、車輪接觸 處各處各1共共8個反力，個反力， 是靜定問題。是靜定問題。 約束力未知量數(shù)少于約束力未知量數(shù)少于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動的可能。獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動的可能。CAB19 ，若約束力數(shù)，若約束力數(shù) 獨(dú)立平衡方獨(dú)立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱。約束反力數(shù)約束反力數(shù) m系統(tǒng)中物體數(shù)系統(tǒng)中物體數(shù) n 3n 3n 3n 靜不定問題靜不定問題靜不定的次數(shù)為：靜不定的次數(shù)為： k=m-3n20MAB約束力數(shù)約束力數(shù) m=8 物體數(shù)物體數(shù) n=3 m3n 未完全約束未完全約束 m=6 n=2 m=3

10、n靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu) m=3 n=1+2+2+4=9 m=3n靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)60ABCDABCFDFABxFAByFACxFACy2122摩擦給運(yùn)動帶來阻力，消耗能量，降低效率；摩擦給運(yùn)動帶來阻力，消耗能量，降低效率； 利用摩擦可進(jìn)行傳動、驅(qū)動、制動、自鎖。利用摩擦可進(jìn)行傳動、驅(qū)動、制動、自鎖。 AOmCP P512DDdaABWPABFLFTAFLFTBF NAF F0FT靜止滑動FTC23。 摩擦力摩擦力F也是被動力，它阻礙物體的運(yùn)動，但不也是被動力，它阻礙物體的運(yùn)動，但不能完全約束物體的運(yùn)動。能完全約束物體的運(yùn)動。 。APTNFVf f是靜滑動摩擦系數(shù)，是靜滑動摩擦系數(shù)，F(xiàn)N是法向反力是

11、法向反力。臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜（滑動）摩擦力與法摩擦力與法向反力的大小成正比向反力的大小成正比，即 Fmax=f FNF0FT靜止滑動FTC FT=0 , 靜止，無運(yùn)動趨勢；靜止，無運(yùn)動趨勢；F=00FTFTc , 運(yùn)動狀態(tài)；運(yùn)動狀態(tài)； 一般有一般有 FTa30512DDd aa31aaF1max32aFROAFA512DDd f1Cosa a=(1+f ) 2-1/2a331研究研究皮帶微段。皮帶微段。 法向壓力法向壓力dFN，摩，摩擦力擦力dF，二端拉力為，二端拉力為FT+dFT和和FT。在臨界狀態(tài)下，在臨界狀態(tài)下，dF=f dFN。FT1oMbFT2oaF

12、N=FN(a a)FT1FT2FT2FT1研究皮研究皮帶受力。帶受力。 接觸面法向分布接觸面法向分布壓力壓力FN、摩擦力、摩擦力F都是都是a a的函數(shù)的函數(shù)。dayda/2oFTFT+dFT34=ba021dfFdFTTFFTTbfFFTT=12lnbfTTeFF12=積分積分, ,注意注意a a=0=0時，時，F(xiàn)T=FT1；a a= =b b時，時，F(xiàn)T=FT2；有：；有：FT1oMbFT2可見可見：1)1)若若f=0=0，即光滑接觸，有，即光滑接觸，有FT1=FT2，輪，輪O O不能傳遞扭矩不能傳遞扭矩。3536AB12345678910111213CD37n個節(jié)點(diǎn)均為匯交力系，有個節(jié)點(diǎn)均

13、為匯交力系，有2n個平衡方程；未知量有個平衡方程；未知量有m根根桿的內(nèi)力和三個約束，桿的內(nèi)力和三個約束，m+3=2n，是，是靜定問題。靜定問題。AB123C45D6738F桿數(shù)桿數(shù)m=7 節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)n=5m=2n-3 靜定桁架靜定桁架約束力約束力3 靜定問題靜定問題 靜定桁架，反力靜定桁架，反力4 4一次一次靜不定問題靜不定問題 桿數(shù)桿數(shù)m=6 節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)n=4m-(2n-3)=1 靜不定桁架靜不定桁架約束力約束力3 一次靜不定一次靜不定 m-(2n-3)=2 靜不定桁架，靜不定桁架，約約束力束力4 三次靜不定問題三次靜不定問題 F39用節(jié)點(diǎn)法求平面桁架中桿內(nèi)力的步驟為：用節(jié)點(diǎn)法求平面桁架

14、中桿內(nèi)力的步驟為：1)1)研究整體研究整體，求約束反力求約束反力。3)3)從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點(diǎn)開始，從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點(diǎn)開始， 逐一列平衡方程求解逐一列平衡方程求解。若求得的結(jié)果為負(fù)，則是壓力。若求得的結(jié)果為負(fù)，則是壓力。2)2)選取選取節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)，畫，畫受力圖。假定桿內(nèi)力為拉力受力圖。假定桿內(nèi)力為拉力。AB12345678910111213CDADC402)2)任取一截面，截取部分桁架作為研究對象，畫受任取一截面，截取部分桁架作為研究對象，畫受 力圖。桿內(nèi)力假定為拉力。力圖。桿內(nèi)力假定為拉力。3)3)列平衡方程求解。因為作用在研究對象上的是平列平衡方程求解。因為作用

15、在研究對象上的是平 面一般力系，可以求解三個未知量。面一般力系，可以求解三個未知量。1)1)研究整體，求約束反力。研究整體，求約束反力。41EABCDEH123456789a/2a/2aaa333CD456F3F2F13)研究節(jié)點(diǎn)研究節(jié)點(diǎn)D，可求得可求得 4、6；4)研究節(jié)點(diǎn)研究節(jié)點(diǎn)C，可求得，可求得 5、6； 5)研究節(jié)點(diǎn)研究節(jié)點(diǎn)B，可求得，可求得 8、9； 6)研究節(jié)點(diǎn)研究節(jié)點(diǎn)A，可求得，可求得 7、9；DCBA42FAB123aaaaa4FAB1AB23aaaaFFF1F2F343AKEBDCJFKEDCJFDEKCJF4445 力力F 為為Fz、Fxy； Fxy Fx、Fy；顯然有：顯

16、然有： F=Fx+Fy+Fz；zzFBACFFFF=coscossina且各分且各分：xxFBAEFFF=coscoscosbayyFBAKFFF=cossincosba由定義知后者正是力在由定義知后者正是力在各軸上的投影。故正交各軸上的投影。故正交坐標(biāo)系中，投影和分力坐標(biāo)系中，投影和分力大小相等。大小相等。1. 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影AAabxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzo46 將力將力F分解成分解成Fz和和Fxy，可見，可見 Mz(Fz)=0; Mz(Fxy)=MO(Fxy)力與軸相交或平行力與軸相交或平行，對軸之矩為零對軸之矩為零故故力力F對軸對軸z z

17、之矩之矩可寫為：可寫為：Mz(F)=MO(Fxy)= Fxy h zF yhOx47Fx=0Fy=(4/5)F=40 NFZ=(3/5)F=30 NMx(F)=- -Fy z+Fz y =- -40+36=- -4 N.m My(F)=- -FZ x=- -6 N.m Mz(F)=Fy x=8 N.mOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mAaa=0.6mb=0.8maFyFZ48xyz49AzBOMOh另一方面：力另一方面：力F 對軸對軸z之矩等于其在垂之矩等于其在垂直于軸直于軸 z之的平面內(nèi)的分量之的平面內(nèi)的分量F 對交點(diǎn)對交點(diǎn)O之矩，即：之矩，即：Mz(F)=M0(F )=2 Oa

18、b=2 OAB cos = MOcos ab50空間匯空間匯交力系交力系空間力空間力偶系偶系主矩主矩MO力偶矩矢力偶矩矢 表示表示主矢主矢FR匯交于匯交于O空間空間一般一般力系力系向某向某點(diǎn)點(diǎn) O O平移平移力F向向A點(diǎn)平移F 和M, F M x yzObAc51?？臻g空間一般一般力系力系向某向某點(diǎn)點(diǎn) O O平移平移主矢主矢FR主矩主矩MOFR =2) MO FR ，在，在MO、FR 平面內(nèi)將矢量平面內(nèi)將矢量MO分解，得分解，得到力到力FR和與其平行的力偶矩矢和與其平行的力偶矩矢MR，稱為力螺旋，稱為力螺旋。1)MO FR ，反向應(yīng)用力的平移定理，得到一合力。，反向應(yīng)用力的平移定理，得到一合力

19、。若若FR 0，MO 0；x yzOMRMLO52FFyFzM FM FMF由由FR =0；MO=0 可寫出平衡方程可寫出平衡方程為 將原點(diǎn)取在匯交點(diǎn)，將原點(diǎn)取在匯交點(diǎn)， 有有 Mx(F) 0, My(F) 0; Mz(F) 0平衡方程平衡方程是：是： FFFxyzA 取取y y軸與各力平行，軸與各力平行， 有有 Fx 0; Fz 0; My(F) 0 。 平衡方程平衡方程是：是： FMMxzy53 FAx FAy FAz FBy FBz FCt FCr FDt FDr Fx Fy Fz Mx(F) My(F) Mz(F)1. 1. 直接求解法直接求解法xzA yBCD54 Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) Fz=FAz+FBz-FCt-FDt=0 -(3) Mx(F)=-FCtr1+FDtr2=0 -(4) My(F)=FCtAC+FDtAD-FBzAB=0 -(5) Mz(F)=-FCrAC+