關(guān)于浮體的平衡與穩(wěn)定性

1、關(guān)于浮體的平衡與穩(wěn)定性謝建華(西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室)摘要：本文討論了浮體的平衡與穩(wěn)定問題，介紹了定傾中心的定義，并結(jié)合一個(gè)具體的例子，給出了定傾高度的三種不同的計(jì)算方法，最后，根據(jù)能量方法說明了用定傾高度判定浮體穩(wěn)定性的理論依據(jù)。關(guān)鍵詞：浮體；平衡；穩(wěn)定性浮體的平衡與穩(wěn)定問題研究是一個(gè)非常有實(shí)際意義的課題，是船舶與海洋平臺設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，在其它工程中也有廣泛的應(yīng)用。在浮體穩(wěn)定性研究中，定傾中心是一個(gè)重要的概念，但是，筆者認(rèn)為有一些教科書或文獻(xiàn)對此概念的定義是不夠明確的，例如，有的認(rèn)為，當(dāng)船體發(fā)生微小搖晃時(shí)浮力的作用線交對稱軸線（浮軸）于一定點(diǎn)，此點(diǎn)即為定傾中心，也有的認(rèn)為實(shí)驗(yàn)表明

2、前述兩直線交于一點(diǎn)。另外，在用力系簡化方法推導(dǎo)定傾高度的過程中也有含糊不清之處，或在穩(wěn)定性判定上發(fā)生錯(cuò)誤。筆者帶著這些疑問查閱了若干參考書，特別是5、6和7。根據(jù)這些材料，本文介紹了定傾中心的明確定義，并結(jié)合一個(gè)具體的例子，給出了定傾高度三種不同的計(jì)算方法，最后，根據(jù)能量方法說明了用定傾高度判定浮體穩(wěn)定性的理論依據(jù)。如果物體的比重比水小，物體在水中漂浮平衡時(shí)，有一部分將露出水面，這樣的物體稱為浮體。浮體要滿足以下兩個(gè)條件才能平衡：(i) 受水的浮力等于浮體的重量；(ii)浮心(浮力的作用點(diǎn))與浮體重心的連線和水平面垂直，如圖1(a)所示。浮體平衡位置還要滿足穩(wěn)定性條件才能具體實(shí)現(xiàn)。圖1(b)表

3、示一個(gè)長方形物塊平躺和豎立平衡位置發(fā)生了微小的擾動(dòng)，其中，左邊的物塊上作用的重力和浮力阻礙了物塊進(jìn)一步偏離其平衡位置，因此平衡是穩(wěn)定，而右邊的物塊則相反，其上作用的重力和浮力加劇了偏離其平衡位置，平衡是不穩(wěn)定。以下來分析浮體平衡和穩(wěn)定的條件。 圖1 浮體的平衡假設(shè)浮體有一個(gè)對稱面，平衡位置發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，浮體上各點(diǎn)的位移均平行于對稱面，浮體作平面運(yùn)動(dòng)。容易說明浮體對鉛直和水平擾動(dòng)是穩(wěn)定的，僅需考慮浮體對轉(zhuǎn)動(dòng)方向擾動(dòng)的穩(wěn)定性問題。平衡時(shí)，浮體與水平面的交面稱浮面，記為。先建立一個(gè)與浮體固連的坐標(biāo) 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10772151)系：取浮面的形心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，浮面與對稱面的交線稱為浮線，取

4、其為軸，浮軸鉛直向上， 軸在浮面內(nèi)并于和軸正交，如圖2所示。浮體繞點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)微小角度時(shí)，與浮體固連的坐標(biāo)系變成了。設(shè)平衡時(shí)，浮體重心和浮心在與軸平行的直線上，此直線交軸于點(diǎn)，設(shè)，。考慮積分 (1) 因?yàn)檩S是通過形心的主軸，故(1)成立。即當(dāng)繞軸作微小轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，浮體排開水的體積不發(fā)生變化，隨之其受到的浮力大小不變。 圖2 浮心與定傾中心 平衡位置發(fā)生微小轉(zhuǎn)角之后，浮體浸入水中部分的形狀發(fā)生了變化，浮力的作用點(diǎn)位置隨之改變，浮心相對浮體由點(diǎn)移至點(diǎn)，其相對浮體的軌跡是平面過和點(diǎn)的平面曲線，稱其為浮心曲線(curve of buoyancy)。杜賓(Dupin)第一定理表明，過點(diǎn)的水平線是浮心曲線在該

5、點(diǎn)切線，因此浮力作用線是浮心曲線在該點(diǎn)的法線，于是當(dāng)點(diǎn)無限趨近點(diǎn)時(shí)，浮力作用線與浮軸交點(diǎn)趨近位于軸的一個(gè)定點(diǎn)，該點(diǎn)稱為定傾中心(metacentre)。定傾中心即為浮心曲線在點(diǎn)處的曲率中心。當(dāng)發(fā)生微小轉(zhuǎn)角時(shí)，浮力作用線與浮軸的交點(diǎn)在定傾中心的充分小鄰域內(nèi)，有時(shí)又稱為定傾中心。如圖1(b)，若定傾中心位于浮體重心之上，重力和浮力形成了一個(gè)“恢復(fù)”力偶，浮體的平衡是穩(wěn)定的；反之，若定傾中心位于浮體重心之下，重力和浮力形成了一個(gè)“排斥”力偶，浮體的平衡是不穩(wěn)定的。對某個(gè)平衡位置而言(圖2)，定傾中心與浮體重心的高度差稱為定傾高度(metacentre hight)。當(dāng)時(shí)，浮體的平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，浮

6、體的平衡是不穩(wěn)定的。如圖2所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，其中軸和軸分別與軸和軸平行且指向分別相同，計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)如下： (2) (3)其中是平衡時(shí)的浮面對軸的慣性矩，是浮體排開水的體積。由(2)和(3)式， (4)其中是浮心曲線上由到的弧長。于是 (5) (6)其中是浮心曲線在點(diǎn)處的曲率半徑。例1 如圖3(a)所示，一根橫截面為正方形的長木塊漂浮于水面上，試確定其平衡位置穩(wěn)定性。已知木塊和水的比重分別為和，木塊的相對密度為。 圖3水中漂浮的木塊解法一：設(shè)木塊平衡時(shí)吃水深度為，由平衡條件 (7)由(7)，得： (8)有關(guān)量計(jì)算如下： (9) (10)由(6) (11)令，由(11)解出：。因

7、此，當(dāng)或時(shí)，平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，平衡是不穩(wěn)定的。 容易證明，如將換成，并將木塊的某一個(gè)平衡位置沿浮面反射，木塊仍保持平衡，而且穩(wěn)定性不變，因此可設(shè)。 解法二：先求出浮心曲線的表達(dá)式，然后確定此曲線在平衡時(shí)浮心處的曲率半徑。為此，建立與浮體固連的直角坐標(biāo)系，如圖3(b)所示?？捎?jì)算出浮心的坐標(biāo)： (12) (13)浮體平衡條件(ii)為： (14)將(12)、(13)代入(14)中，得： (15)由(15) 知浮體有平凡的平衡位置： (16)及可能有非平凡的平衡位置： (17)由(12)和(13)消去，得： (18)可見浮心曲線是頂點(diǎn)在點(diǎn)處、開口向上的拋物線。在處的曲率半徑為 (19)于是 (2

8、0)顯然(20)與(11)相同。由(17)和(20)可知，當(dāng)平凡解不穩(wěn)定時(shí)，有非平凡解存在。解法三：在(12)和(13)中，記及，則 (21) (22) (23)令，得到與(15)等價(jià)的方程。將平凡平衡位置代入(23)，令可解出；將非平凡的平衡位置(17)代入(23)，有。因此，對平凡平衡位置，當(dāng)時(shí)，浮體重心到浮心的距離是極小值，平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，浮體重心到浮心的距離是極大值，平衡是不穩(wěn)定的。 圖4尖點(diǎn)奇異性 浮心曲線(18)是對應(yīng)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)浸入水中情況的，由圖3(b)，此時(shí)要滿足條件 (24)將(24)代入(17)，可得，正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)浸入水中的平衡位置存在范圍為。當(dāng)正方形有兩個(gè)頂

9、點(diǎn)浸入水時(shí)，浮心曲線是一拋物線，如圖4所示，漸屈線(曲率中心的軌道)有一個(gè)尖點(diǎn)。浮體的重心到浮心曲線任一條法線對應(yīng)一個(gè)平衡位置，如圖4(a)中的法線與4 (b)中的 和。浮體搖晃運(yùn)動(dòng)類似于與剛體固連的浮心曲線在某一水平線上作純滾動(dòng)(的高度是變化的)。對某一平衡位置而言，如果浮體的重心在浮心之定傾中心之間，如圖4(a)中的平衡位置，那么到的距離是極小值，浮體的勢能(含排開水的勢能)為極小值，于是平衡是穩(wěn)定的；如果浮體的重心在浮心和定傾中心之外，如圖4(b)中的平衡位置，那么到的距離是極大值，浮體的勢能為極大值，于是平衡是不穩(wěn)定的。當(dāng)平衡位置不穩(wěn)定時(shí)，木塊就轉(zhuǎn)換到新的穩(wěn)定平衡位置上，在水中傾斜了。

10、如果記浮體浮心和重心距水表面深度分別為、， 是浮體的重量。浮體將其排開的水?dāng)D壓到水的自由表面上，故其勢能為 (25) 如果記為浮體的重心到浮心的距離，可證明與等價(jià)，以及與同號，即浮體勢能的每個(gè)極值點(diǎn)對應(yīng)浮體的一個(gè)平衡位置，浮體勢能的極小值對浮體穩(wěn)定的平衡位置，而極大值對應(yīng)不穩(wěn)定的平衡位置。浮心曲線是一條封閉曲線，例如，長方形木塊的浮心曲線是四段拋物線和四段雙曲線相間連接而成，浮體重心到浮心曲線的每個(gè)法線確定一個(gè)平衡位置，此時(shí)浮體重心到浮心距離為極值，因此任何浮體總存在一個(gè)穩(wěn)定和一個(gè)不穩(wěn)定的平衡位置，穩(wěn)定平衡位置與不穩(wěn)定總是相互隔離的?？梢宰C明一般邊形最多可能有個(gè)平衡位置，例如，正三角形最多可能

11、有個(gè)平衡位置。 以上討論的僅是平面浮體的平衡問題，如果是像海洋平臺之類的三維浮體的平衡問題的話，那么就更復(fù)雜了。但是，近期發(fā)展起來的奇異性和突變理論為研究此類問題提供了強(qiáng)有力工具。由此看來，由阿基米德兩千多年前開始的、后經(jīng)惠更斯和歐拉之手的關(guān)于浮體平衡問題研究至今尚未劃上句號，有很多問題值得進(jìn)一步研究。 參考文獻(xiàn)1. 董曾南，章梓雄。非粘性流體力學(xué)。清華大學(xué)出版社，20032.中國大百科全書-力學(xué)卷。中國大百科全書出版社，19853.陳清梅。浮體穩(wěn)定性的研究。大學(xué)物理，2003,22(7):33-344. 趙凱華，羅蔚茵。新概念物理教程-力學(xué)。高等教育出版社，19955. Statics. 1

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