利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)

1、第二版 學(xué)海導(dǎo)航 專題輔導(dǎo)利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)1.形如型，用累加法.方法如下： 由 得：時(shí)，所以各式相加得 時(shí)，=.例 1. 已知數(shù)列an滿足,證明證明：由已知得： = .2已知前 n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，用公式例2.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:由已知得,化簡(jiǎn)有,由類型(1)有,又得,所以,又,則3.形如型,用累乘法. 由得 時(shí)，=f(n)f(n-1). 例3.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項(xiàng)公式是=_.解：已知等式可化為：()(n+1), 即時(shí)，=.3.轉(zhuǎn)化法。通過(guò)對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系式的恰當(dāng)恒等變形，如配方(適合題型: an+1 =p an + q、an+1 =

2、p an + f(n)、因式分解、取對(duì)數(shù)、取倒數(shù)、平方等常用手段，將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列。 例4已知數(shù)列an滿足a1 =1，2an+1 = an +6n +3。求an 。解（配方法）設(shè)2an+1 +k（n+1）+b= an +kn+b 2an+1 = an kn-2k-b· k= - 6 , b = 9 2an+1 6(n+1）+9= an - 6n+9an - 6n+9是以4為首相1/2為公比的等比數(shù)列 an - 6n+9=4 an = 4 + 6n - 9 例5. 已知， 求an解：對(duì)兩邊平方,得 ，且an0不妨設(shè)+q=2(+q) （配方法） q=1 +1=2(+1), 又

3、 ,數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，=，an= （）4歸納法。先計(jì)算數(shù)列的前若干項(xiàng)，通過(guò)觀察規(guī)律，猜想通項(xiàng)公式，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法證之 。例6 對(duì)例5的數(shù)學(xué)歸納法求解：易求出 a1 =1，a2 = ，a3 = ，a4 =， a5 = ，猜想：an = ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n = 1時(shí)，a1 = 結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)結(jié)論成立，即ak =，當(dāng)n = k + 1時(shí)， =，即n =k +1時(shí)結(jié)論成立。由知an =對(duì)所有的正整數(shù)都成立。an= （）三已知三相以上的數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，只能運(yùn)用“觀察，歸納，猜想，證明”的步驟和方法加以解決。例7已知數(shù)列an滿足a1 =1，a2 =6，an+2 = an+1 an ,求a2004 解： a1 =1，a2 =6，a3 =5，a4 = - 1，a5 = - 6，a6 = -5，a7 =1，a8 =6，a9 =5，a10 = -1 .猜想數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列。事實(shí)上，an+2 = an+1 an = an - an-1 an = - an-1 an+3 = - an an+