偶然誤差的處理

1、§1.2  偶然誤差的處理 在這一節(jié)里，我們假定在沒(méi)有系統(tǒng)誤差存在的情況下，來(lái)討論偶然誤差問(wèn)題。 一、測(cè)量結(jié)果的最佳值多次測(cè)量的平均值 對(duì)某一物理量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，最好進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量。根據(jù)多次重復(fù)測(cè)量的結(jié)果，可能獲得一個(gè)最接近真值的最佳值。在相同條件下，對(duì)某物理量x進(jìn)行了n次重復(fù)測(cè)量，其測(cè)量值分別 當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，根據(jù)偶然誤差的性質(zhì)可以證明：該平均值作為測(cè)量的結(jié)果。 二、算術(shù)平均絕對(duì)誤差 真值無(wú)法得到，誤差也就無(wú)法估算。由于平均值是最佳值，可以把它作為近真值來(lái)估算誤差。一般定義測(cè)量值與平均值之差為“偏差”或“離

2、差”，它們與誤差是有區(qū)別的。然而當(dāng)測(cè)量次數(shù)很多時(shí)，“偏差”會(huì)接近誤差。在以下討論中，不去嚴(yán)格區(qū)分“偏差”和誤差，把它們統(tǒng)稱為誤差。取量結(jié)果表達(dá)式可寫為 三、標(biāo)準(zhǔn)誤差方均根誤差a 在現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，通常用標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)衡量一組測(cè)量值的精密度，標(biāo)準(zhǔn)誤差就是均方根誤差。物理量x的標(biāo)準(zhǔn)誤差用x表示，它的定義是：當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限多時(shí)，有測(cè)量次數(shù)不可能無(wú)限多，根據(jù)誤差理論，當(dāng)測(cè)量次數(shù)有限時(shí)，(1-4)式應(yīng)改寫成：(1-5)式是n次重復(fù)測(cè)量中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差，n次測(cè)量結(jié)果平均當(dāng)偶然誤差用標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)表示時(shí)，測(cè)量結(jié)果應(yīng)寫為四、相對(duì)誤差 我們把測(cè)量結(jié)果及其偶然誤差寫為x±x的形

3、式，其中x是測(cè)量值，它可以是一次測(cè)量值，也可以是多次測(cè)量的平均值；x是絕對(duì)誤差，它可以是一次測(cè)量中絕對(duì)誤差的絕對(duì)值，也可以是平均絕對(duì)誤差或標(biāo)準(zhǔn)誤差。在對(duì)同一對(duì)象采用不同精度的儀器或測(cè)量方法來(lái)測(cè)量時(shí)，x能夠表示出測(cè)量的不同精確度。但對(duì)不同對(duì)象進(jìn)行測(cè)量時(shí)，卻反映不出不同的精確度。例如，用米尺測(cè)量?jī)晌矬w的長(zhǎng)度，測(cè)量結(jié)果為：x1=100.00±0.05cm，x2=10.00±0.05cm，兩者的絕對(duì)誤差相同，均為0.05cm，但誤差點(diǎn)測(cè)量值的比例不同，前者的精確度高于后者。因此，引入相對(duì)誤差，它可以評(píng)價(jià)上述兩測(cè)量結(jié)果精確度的差別。相對(duì)誤差通常用百分比表示，所以又稱為百分比誤差。相對(duì)

4、誤差E定義為(1-8)式中的x通常取平均值，也可以用公認(rèn)值或理論值代替。例  對(duì)某電壓測(cè)量的數(shù)據(jù)處理(見表1-1)。表1-1電壓的測(cè)量在計(jì)算過(guò)程中，誤差一般取一位且應(yīng)與測(cè)量值的尾位對(duì)齊，誤差的尾數(shù)只進(jìn)不退。本例中的偶然誤差分別用平均絕對(duì)誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差、平均標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)表示時(shí)，其對(duì)應(yīng)的測(cè)量結(jié)果為U=10.00±0.02V；U=10.00±0.03V；U=10.00±0.02V。 五、間接測(cè)量的誤差估算 物理實(shí)驗(yàn)中的被測(cè)量N，往往通過(guò)與直接測(cè)量量的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)。我們稱N為間接測(cè)量量或復(fù)合量。計(jì)算間接測(cè)量量值時(shí)，是將各直接測(cè)量量的平均值代

5、入有關(guān)函數(shù)式求出。由于各直接測(cè)量量的平均值均有誤差，因此計(jì)算的結(jié)果也必然具有一定的誤差，這稱為誤差的傳遞，其誤差的大小取決于各直測(cè)量誤差的大小以及函數(shù)的具體形式。設(shè)間接測(cè)量量與若干個(gè)直測(cè)量有下述函數(shù)關(guān)系：Nf(x，y，)                (1-9)x，y，表示直測(cè)量。對(duì)上式求全微分，得：式中，dx，dy，和dN都是微小改變量，可以看成是各量值的誤差，并分別用x，y，和N代替它們，則絕對(duì)誤差公式表示為(1-11)式稱為函數(shù)誤差算術(shù)傳遞的基本公式。將(1-10)式兩邊平方后略去高階小項(xiàng)，得根據(jù)(1-11)式和(1-13)式，我們把常用函數(shù)的誤差算術(shù)傳遞公式和標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式列成表1-2以備查用。表1-2常用函數(shù)的誤差傳遞公式例  測(cè)得一金屬圓柱體的質(zhì)量m=162.38±0.01g，長(zhǎng)度1=39.92±0.01mm、直徑d=24.927±0.002mm，求其密度和誤差若題設(shè)中的誤差為平均絕對(duì)誤差，用誤差算術(shù)傳遞公式：求得其