第二十五章“概率初步”簡介

1、第二十五章“概率初步”簡介課程教材研究所林立軍從數(shù)學標準看，本章屬于“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，對于該領(lǐng)域的內(nèi)容，本套教科書共安排了四章，這四章采用統(tǒng)計和概率分開編排的方式，前三章是統(tǒng)計，最后一章是概率。一方面，概率與統(tǒng)計相對獨立，另一方面概率又以統(tǒng)計為依托。本章概率知識的學習要以前三章的統(tǒng)計部分的知識為基礎。本章教學時間約需14課時，具體分配如下（僅供參考）：251 概 率 約4課時252 用列舉法求概率 約4課時253 利用頻率估計概率 約2課時254 課題學習 約2課時數(shù)學活動小結(jié) 約2課時一、教科書內(nèi)容和課程學習目標（一）本章知識結(jié)構(gòu)框圖（二）教科書內(nèi)容本章的主要內(nèi)容是隨機事件的定義，概率的定

2、義，計算簡單事件概率的方法，主要是列舉法（包括列表法和畫數(shù)行圖法），利用頻率估計概率。中心內(nèi)容是體會隨機觀念和概率思想。全章共包括3節(jié)：25.1 概 率學生在前兩個學段已經(jīng)接觸到了一些與可能性有關(guān)的初步知識，在本節(jié)將學習更加數(shù)學化和抽象化地描述可能性的知識概率。在25.1.1節(jié)中，教科書通過設置的問題1的抽簽問題和問題2的擲骰子問題，讓學生來感受到，在一定條件下重復進行實驗時，有些事件是必然發(fā)生的，有些事件是不可能發(fā)生的，有些事件是有可能發(fā)生也有可能不發(fā)的。教科書為了避免出現(xiàn)太多的概念，所以沒有給出必然事件和不可能事件的概念，只給出了隨機事件的概念。在學習了問題1和問題2后，學生就能夠判斷一個

3、事件是必然會發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件還是隨機事件。問題3是一個摸球問題，通過這個問題要使學生在前兩個學段知識的基礎上進一步認識隨機事件發(fā)生的可能性，即：一般地，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機事件發(fā)生的可能性大小有可能不同。通過問題3的學習，使學生能夠初步判斷幾個事件發(fā)生的可能性的相對大小。在學習了25.1.1節(jié)的隨機事件以及隨機發(fā)生的可能性大小的基礎上，25.1.2節(jié)給出了對事件發(fā)生可能性的更加抽象和更加數(shù)學化的描述概率。教科書設置了一個投幣實驗，一方面讓學生親自動手實驗獲得數(shù)據(jù)，另一方面還給出投幣實驗的歷史數(shù)據(jù)，為學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律提供幫助。通過學生的親手實驗和歷史數(shù)據(jù)，學生能夠用自

4、己在“統(tǒng)計”中學過的頻率知識來研究投擲一枚硬幣時“正面向上”的頻率的大小?？梢园l(fā)現(xiàn)，在重復投擲一枚硬幣時，“正面向上”的頻率在0.5的左右擺動，隨著投擲次數(shù)的增加，一般地，頻率會呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性：在0.5的左右擺動的幅度會越來越小。由于“正面向上”的頻率呈現(xiàn)出上述的穩(wěn)定性，我們就用0.5這個常數(shù)來表示“正面向上”發(fā)生的可能性到大小。從隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)可以刻畫隨機事件發(fā)生的可能性的大小這一事實出發(fā)，教科書引出了概率的定義：一般地，在大量重復實驗中，如果事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，那么這個常數(shù)就叫做事件發(fā)生的概率，記為。則根據(jù)概率的定義可知，當是不可能發(fā)生的事件時，；當

5、是必然發(fā)生的事件時，；當是隨機事件時；概率的值越大則事件發(fā)生的可能性就越大。從概率定義可知，概率是通過大量重復實驗中頻率的穩(wěn)定性得到的一個01的常數(shù)，它反映了事件發(fā)生的可能性的大小。需要注意，概率是針對大量重復實驗而言的，大量重復實驗反映的規(guī)律并非意味著在每一次實驗中一定存在。從這個意義上說，即使某事件發(fā)生的概率非常大，但在一次實驗中也有可能不發(fā)生；即使事件發(fā)生的概率非常小，但在一次實驗中也可能發(fā)生。25.2 用列舉法求概率在本節(jié)的開始，教科書設計了兩個實驗：抽簽實驗和擲骰子實驗。通過這兩個實驗可以發(fā)現(xiàn)如下的規(guī)律：一般地，如果在一次實驗中，共有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含

6、其中的種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率為。事實上，這個規(guī)律也可以看作從另一角度出發(fā)給出的概率定義，即概率的古典定義。根據(jù)概率的古典定義，我們采用列舉的方法計算一些簡單事件的概率。例13都是通過列舉的方法得到在一次實驗中所有可能的結(jié)果數(shù)，以及所求事件包含的結(jié)果數(shù)，即而計算出所求事件的概率。例4與前三個例題有所不同，這個事件在實驗時包含了兩步，這就要求把兩步可能的結(jié)果都列舉出來，再利用古典定義來計算概率。例4的實驗中每一步可能的結(jié)果只有兩個，兩步的所有可能結(jié)果也只有4個。與例4類似，例5的每次實驗也是包含兩步，但每一步可能產(chǎn)生的結(jié)果數(shù)卻遠較例4為多，有6個。這樣，用例4那樣簡單的列舉法就有些捉襟見肘了，

7、這時教科書給出了一種比較方便的列舉方法列表法，這種方法適合在兩步的實驗中，每一步出現(xiàn)的結(jié)果較多的情況。采用這種方法可以一目了然地看出投擲兩個骰子可能出現(xiàn)的所有結(jié)果為個。與例5相比，例6的難度有進一步的提高，所提問的兩個事件都包含了3步，對于包含3步的實驗，這是一個3維的問題，用例5中列表的方法來列舉出所有可能的結(jié)果已經(jīng)不可能。為此，教科書在例題中給出了一種新的列舉方法樹形圖法。樹形圖法是一種適應性比較廣泛的方法，能夠用列表法解決的問題當然也能用樹形圖方法來解決，應該說，這種方法是第三學段的學生在尚未掌握概率乘法的情況下，用處最廣泛的方法。25.3 利用頻率估計概率由25.1節(jié)的概率定義可知，在

8、同樣條件下，大量重復實驗時，根據(jù)一個隨機事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)可以估計這個事件發(fā)生的概率，教科書在第25.3節(jié)就結(jié)合具體情境研究了如何用頻率估計概率。問題1考查了某種幼數(shù)移植的成活率，幼樹的成活率實際上就是一種概率。這個實際問題中的移植實驗不屬于各種結(jié)果可能性相等的類型，因而也就不能用25.2節(jié)中概率的古典定義去計算概率，只能用頻率去估計。在同樣條件下，大量移植這種幼樹并統(tǒng)計成活情況（制成統(tǒng)計表的形式），計算成活頻率，隨著移植棵數(shù)的增加，成活頻率會越來越穩(wěn)定于某個常數(shù)，這個常數(shù)就是這種幼樹的移植成活率，在這個移植成活率問題中，事實上應用了“用樣本估計總體”的統(tǒng)計思想。問題1的目的比較

9、單純，而問題2則略顯復雜：除了確定柑橘損壞的概率外，還要在去掉損壞柑橘后保證利潤的前提下，確定柑橘的零售價格。這里一方面要應用“用樣本估計總體”的統(tǒng)計思想以及用頻率估計概率的思想計算出柑橘的損壞率，另一方面還要根據(jù)已知的損壞率為達到盈利的目的采取定價決策。問題3指出，在解決某些實際的概率問題時，有時應用實際的考查對象有時是不方便的，這樣就提出了模擬實驗必要性與合理性。設置這個問題的目的不在于讓學生獲得最后的精確結(jié)果，而是讓學生根據(jù)具體的問題情境設計合適的模擬實驗策略。最后，在本節(jié)中教科書還介紹了用計算器如何產(chǎn)生隨機數(shù)，如何用計算器進行模擬實驗。25.4 課題學習 鍵盤上字母的排列規(guī)律教材在最后

10、一節(jié)安排了一個具有一定綜合性和活動性的“課題學習”，這個“課題學習”選用了與學生生活聯(lián)系密切的鍵盤上字母的排列規(guī)律問題。由于本章是課程標準“統(tǒng)計與概率”部分的最后一章，因此這個課題學習的綜合性比前面三章統(tǒng)計中的課題學習更強。為了便于教學操作，教科書沒有像以前那樣要求學生進行收集數(shù)據(jù)、用統(tǒng)計表圖整理和描述數(shù)據(jù)的整個統(tǒng)計過程，而是直接把需要的數(shù)據(jù)字母使用頻率以表格的形式直接提供給他們，僅要求他們根據(jù)頻率，按從大到小地把鍵盤上的字母排列出來，最后估計每個字母出現(xiàn)的概率，從而解釋為什么鍵盤上的字母為什么如此排列。完成這個課題學習，要求學生綜合運用本章及以前所學的統(tǒng)計與概率的知識和方法，通過經(jīng)歷從大到小

11、地排列各字母使用頻率的過程，感受概率在現(xiàn)實生活中的重要作用。在這個過程中，讓學生進一步感受用樣本估計總體的統(tǒng)計思想及概率的思想，進一步體驗概率在進行決策時的重要作用。（三）課程學習目標本章教科書的設計與編寫以下列目標為出發(fā)點：1理解什么是必然發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件，什么是隨機事件；2在具體情境中了解概率的意義，體會概率是描述不確定現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學模型，理解概率的取值范圍的意義，發(fā)展隨機觀念。能夠運用列舉法（包括列表、畫樹形圖）計算簡單事件發(fā)生的概率；3能夠通過實驗，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復實驗時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系。通過實例進一步豐富對概率的

12、認識，并能解決一些實際問題。了解進行模擬實驗的必要性，能根據(jù)問題的實際背景設計合理的模擬實驗。二、本章編寫特點（一）注重隨機觀念的滲透本章是第三學段“統(tǒng)計與概率”的最后一章，主要內(nèi)容是理解隨機觀念及概率的思想方法。在現(xiàn)實世界中，有許多現(xiàn)象我們是可以事先預言其結(jié)果的，如下雨必有云；同性電荷相斥；在中，若，則；因為，所以。以上事實的反面，下雨而無云；同性電荷相吸；，而等。這種在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性事件（或現(xiàn)象）。確定性事件的特點是：當條件給定時，其結(jié)果可以事先確切地預言或推算。代數(shù)、幾何都是研究這類現(xiàn)象的工具。然而，在現(xiàn)實世界中還存在著許多現(xiàn)象，我們無法事先斷定其結(jié)果。例

13、如，向上拋出一枚硬幣，落地時其結(jié)果是正面向上，還是背面向上？事先是無法準確斷言的。又如新生兒的體重，在出生之前也無法準確斷言是多少。某一路段，在一定時間段內(nèi)有多少車輛通過，也是無法事先斷定的。這類事件很多。它們的共同特點是：在相同的條件下，重復同一實驗（或觀察）時，會得到不同的結(jié)果，就一次或少數(shù)幾次實驗來看，其結(jié)果是不確定的、無規(guī)律的，但當大量重復實驗（或觀察）時，其結(jié)果就整體來說呈現(xiàn)出某種固有規(guī)律性。例如，將上述的拋硬幣實驗大量重復時，就可以發(fā)現(xiàn)正面朝上或反面朝上的次數(shù)總是大致相等的。通過大量統(tǒng)計新生嬰兒的體重時，也會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字絕大多數(shù)集中在某一點附近，離開這點越遠數(shù)字越少，呈現(xiàn)出一種確定

14、的分布。這種大量重復實驗（或觀察）時所呈現(xiàn)出的集體規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律。這類在個別實驗中呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復實驗中，又具有某種統(tǒng)計規(guī)律的現(xiàn)象，這就是隨機事件。隨機事件在現(xiàn)實世界中是普遍存在的，教師應該努力培養(yǎng)學生的隨機觀念，并讓學生知道，研究隨機事件掌握其規(guī)律進而利用其規(guī)律是有實際意義的。概率論就是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學工具。教師應舉出大量事件，讓學生判斷，這些事件是確定性事件還是隨機事件。教師應該注意，所舉的事例一定要在學生的知識范圍和生活經(jīng)驗之內(nèi)，超出這個范圍，對培養(yǎng)學生的隨機觀念是無益的。（二）突出概率思想的內(nèi)涵在前兩個學段，學生對事件發(fā)生的可能性的大小已經(jīng)有了初步的認

15、識，在本章，他們將學習一種用確定性的數(shù)學來研究不確定現(xiàn)象的模型概率。對于隨機事件及其概率的認識，學生需要一個較長時期的認知過程。學生對概率思想的理解和掌握會隨著自身年齡的增長以及知識面和生活經(jīng)驗的延伸而發(fā)展。我們知道，概率的獲取有理論計算和實驗估算兩種，從這兩個理解角度出發(fā)，可以給出不同的概率定義：一個是古典概型（理論計算），另一個是實驗概率（用頻率估計）。本章的定義是從第二個角度給出的。對于隨機事件概率的計算，有些用理論計算比較方便，比如說本章25.2節(jié)“用列舉法求概率”中的概率，事實上采用的就是理論計算。還有一些事件的概率無法用理論計算來解決，就只能通過概率實驗，用頻率來估算。比如253節(jié)

16、“利用頻率估計概率”中的概率估算。還有一類事件的概率，比如投硬幣或投骰子某一面朝上，既可以用理論來計算也可以用頻率來估算，從理論上說，硬幣兩個面是是對稱的，兩個面分別朝上的可能性是相等的，所以兩個面朝上的概率都為0.5，通過大量的重復試驗也可以估算出硬幣正面朝上的概率為0.5；投骰子的道理相同。應該讓學生們理解，在遇到任何計算概率的問題時，如果能夠用理論來計算首先就應該采用理論計算的方式，這樣的計算是概率的精確值，用頻率估計概率通常會出現(xiàn)誤差，當然這樣的誤差是正常的。注意讓學生理解概率的內(nèi)涵，概率是針對大量重復實驗而言的，大量重復實驗反映的規(guī)律并非意味著在每一次實驗中一定存在。從這個意義上說，

17、即使某一事件發(fā)生的概率非常大，但在一次實驗中也有可能不發(fā)生；即使一事件發(fā)生的概率非常小，但在一次實驗中也可能發(fā)生，比如買獎券中獎。（三）深刻領(lǐng)會概率概念中蘊涵的辨證思想人們在長期的實踐中發(fā)現(xiàn)，在隨機現(xiàn)象大量重復中，由于眾多微小的偶然因素的影響，每次測得的結(jié)果雖不盡相同（具有偶然性），但大量重復測得結(jié)果的平均值卻幾乎必然地穩(wěn)定于某一定數(shù)。這個規(guī)律稱為大數(shù)法則，亦稱大數(shù)定律，是證明大量隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一組定理的總稱。在理解概率的定義時，有一點必須注意：即使某事件發(fā)生的概率是，也并不意味次隨機實驗，事件必然會發(fā)生1次，盡管概率值本身是精確的。這個事實說明：必然性與偶然性（即隨機性）是對立統(tǒng)一的概念

18、，偶然性蘊涵內(nèi)在必然的規(guī)律；反過來被斷定為必然的東西，是由純粹的偶然性構(gòu)成的。三、幾個值得關(guān)注的問題（一）注意揭示概率與頻率的聯(lián)系與區(qū)別初學統(tǒng)計與概率的學生常常無法理解概率與頻率的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，有時會把兩者相混淆。教師應該向?qū)W生指明，從數(shù)學角度來說，統(tǒng)計與概率這兩個學科是互為依托，相互作用的。概率這一概念是建立在頻率這一統(tǒng)計量的穩(wěn)定性基礎之上的，而統(tǒng)計也離不開概率的理論支撐。相同條件下，一個事件發(fā)生的概率是一個常數(shù)，是由事件固有的屬性決定的，但是如果用概率實驗的方法，頻率會隨著樣本空間的變化而變化，但隨著樣本的增加，頻率會越來越集中于一個常數(shù)，這個數(shù)就是概率。所以用頻率估計出來的概率通常是不

19、精確的，要有誤差。這就是所說的“實驗概率穩(wěn)定于理論概率而又不等于理論概率”。（二）鼓勵學生動手實驗，注意現(xiàn)代信息技術(shù)的應用為了首先讓學生通過具體的實驗操作獲得一定的活動經(jīng)驗，促進對概率意義的理解與掌握，教科書在25.1.2節(jié)給出概率定義之前，設置了一個投擲硬幣的實驗，為學生提供一個體驗概率實驗的機會。由于在這個實驗中需要獲得的投擲次數(shù)相對較多，所以這里就需要發(fā)動全體學生積極參與，動手實驗，*集體的力量快速地獲得實驗頻率，圓滿地完成實驗。在學習用頻率估計概率這部分內(nèi)容時，一方面要鼓勵學生親自動手，集體合作，這主要是針對一些比較簡單的實驗，比如說投幣實驗，投圖釘實驗以及像閱讀與理解短文中的布豐投針實驗等。另一方面也鼓勵學生采用模擬方法進行實驗，特別是利用計算機或計算器進行模擬實驗。我們知道，為了使用頻率估計的概率盡可能地準確就需要進行大量的重復實驗，這樣的實驗是極其費時費力的，所以應該鼓勵學生使用現(xiàn)代信息技術(shù)，比如教科書就給出了用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)的例子。在學生掌握模擬實驗時，重要的不是獲得最終的結(jié)果，而是針對一個現(xiàn)實問題，讓學生提出一種切實可行的進行模擬實驗的策略，教科書25.3節(jié)的問題3就是這樣。（三）注意把握好教學難度必須注意的是，本學段的概率內(nèi)