初中數(shù)學中求函數(shù)極值的常用解法舉例

1、初中數(shù)學中求函數(shù)極值的常用解法舉例羅江縣函數(shù)極值是指函數(shù)的最大值或最小值，此類問題在初中數(shù)學中比較常見。它涉及的知識面廣，綜合性強，有著極為豐富的內涵，解法也頗具有技巧性。解答這類問題需要根據具體的特點，采取不同的方法。現(xiàn)舉例介紹這類問題的常用解法，供大家參考。一、配方法：配方法是初中數(shù)學中解題常用的方法，它是將已知代數(shù)式（等式）通過配方，變形成若干個完全平方式的形式，結合完全平方的非負性質，解決問題。例1 ：若 x , y 為實數(shù)，求 A=5 x 2 + 5 y 2 8 xy + 2 x +2y+5 的最小值。分析與解：A=（4x2 8 xy + 4 y2）+（x2 + 2 x + 1）+（

2、 y 2+ 2 y + 1 ）+ 3= ( 2x 2 y ) 2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 +3 顯然，當 x = 1，y = 1 時，A有最小值3。二、消元法：消元法是把代數(shù)式（等式）中的幾個元素轉化為以某一元素為主元的函數(shù)，再結合已知條件，經過運算，使問題簡化，便于求解。例2 ：若 2x + y + z = 40，3x+ yz = 30 ，且x、y、 z 均為非負數(shù)，求A = 5x + 3 y + 2z 的極值。分析與解：由 2x + y + z = 40及3x + y z = 30， 得 x=2z10，y=605z,又由 x0，y 0得2z10 0， 605z

3、0,解得 5z12， 把 x=2z10，y=605z 代入 A=5x+3y+2z 得A=3z+130， 顯然 A 是關于 z 的一次函數(shù)，且 A 隨 z 增大而減小，所以 當 z=5 時，A 的最大值為115，當 z=12時，A的最小值為94。三、數(shù)形結合法: 數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。例3 ：已知 a+b=7 ,且 x > 0, y > 0, 求A= +的最小值。分析與解：本題，看似無從下手，但若將“式”轉

4、化為“形”則可輕松得解。分別以CE=a 、DE=2 和 BC=b、AB= 1為直角邊， DC= 、 AC= 為斜邊，構造如圖所示的兩個Rt DEC 、 Rt ABC 。由圖可知，當點 C 位于直線 AD 上時，AC+DC 最短，即 A的值最小。 于是過點D作DG AG交AB的延長線于點G，ABCDEG則四邊形 BEDG 是矩形， GB = ED = 2又 DG = BE = a + b = 7 AG=AB+BG=3在 Rt ADG 中，AG=3，DG=7， 由勾股定理得：AD= = 即 A的最小值為 。 四、均值不等式法：均值定理：若a0,b0,則。當且僅當a=b時取等號。在數(shù)學問題中，出現(xiàn)條

5、件 a0,b0 的極值問題時，我們常作均值代換。例4 ：若 x , y 均為正數(shù)，且 x + y = 2，求 A=(1+ )(1+ ) 的最小值。分析與解：由(1+ )(1+ )=1+及 x + y = 2,得 (1+ )(1+ )=1+ x , y 均為正數(shù) 即 xy=1 當 xy=1時，有最小值為3所以 (1+ )(1+ ) 的最小值為4。五、和差代換法：對于實數(shù)x，y，總有x =+，y=，若令a=，b=，則有x=ab，y=ab。這種代換稱為和差代換。例5：已知a, b為實數(shù)，且a 2 + ab + b 2 = 1，t = ab a 2 b 2 ，求t的極值。分析與解：設 a = x +

6、y, b = x y ,把它們代入a 2 + ab + b 2 = 1 中，得：(xy)2(xy) (xy)(xy)2 =1 化簡得：y2=13x2 y2 0 13x20 即 0x2又 t = ab a 2 b 2 = (xy) (xy)(xy)2(xy)2 = （x23y2） =x23(13x2) =8x23 0x2 08x2 -38x233 所以 t的最小值為-3，最大值為-。六、參數(shù)法：參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數(shù)學對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進行分析與綜合，從而解決問題。例 6 ：若=，求A=x22y23z2的最小值。解：設=k，則x=2k+

7、1，y=3k1，z=2k+3，x22y23z2 =(2k1)22(3k1)23(2k3)2 =10k244k24 =10(k)2當k=時，A的最小值為-。七、整體設元法：整體設元法就是把一些看似彼此獨立而實質是緊密相聯(lián)系的量看成一個整體去設元、列式、變形、消元、代入和求值等。例 7 ：已知 x , y 為實數(shù)，求 x2 + xy + y2 x 2y 的最小值。分析與解：本題要直接求出所求式子的值很困難，故可以采取整體設元，巧妙運用二元一次方程的根的判別式來解決，思路就顯得非常簡捷。設 x2 + xy + y2 x 2y = a ，將等式整理成關于x的二次方程，得 x2 + (y 1)x + (

8、y 2 2y a ) = 0 x 為實數(shù) = (y 1) 2 4(y 2 2y a ) 0 化簡整理得 4a 3y2 6y 1 即 4a 3(y 1) 2 4 4 a 1當 a = 1 時,有 y = 1, x= 0 故 當 x = 0, y = 1 時, a 有最小值，即x2 + xy + y2 x 2y 的最小值為1。八、利用函數(shù)的性質：借助二次（一次）函數(shù)的性質，并注意自變量的取值范圍，可使某些求函數(shù)極值的問題迎刃而解。例 8 ：已知 x < 0 ，y 0 ，z > 0 且 = y 2xz ，求 y2 4xz 的最小值。 分析與解：將 = y 2xz兩邊平方，整理得：xyz=

9、x2z2+xz x < 0 ， z > 0 xz0 y=xz+1 或 xz=y1 y2 4xz= y24(y1)=(y2)2 因為 (y2)2為關于y的開口向上的二次函數(shù)，有最小值。又y 0當y = 0時，y2 4xz有最小值為4。九、判別式法：判別式法是初中數(shù)學求函數(shù)極值的常用方法之一。用判別式法求函數(shù)極值，應先將原函數(shù)式變形為一個一元二次方程。然后根據方程有實根的條件判別式0，來求出y的取值范圍，最后確定出函數(shù)y的極值。這樣就把函數(shù)y的極值問題轉化為討論一個一元二次方程有實根時y的取值范圍問題。引理：二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)變形為ax2+bx+cy=0，因為x為實數(shù)，則=b24a(cy)0，即4ay4acb2，（1）當a0時，有y，此時函數(shù)有最小值。（2）當a0時，有y，此時函數(shù)有最大值。例9：求函數(shù)y=的最大值與最小值。解：y=4x24xy(23y)=0x=x 為實數(shù)(y1)(y2)0y1或y2因此 原式的最大值為1，最小值為2。當然，不