2020屆江蘇省南通市海安高級中學高三階段測試三數學試題(解析版)

1、數據2a11,2a21,2 2 比 1 1，2務1的方差是S2第 1 1 頁共 2424 頁2020屆江蘇省南通市海安高級中學高三階段測試三數學試題一、填空題1 1 設全集U 1,2,3,4,5, ,若euA 1,2,4，則集合A【答案】3,5. .【解析】直接求根據QJA1,2,4求出集合A即可. .【詳解】解：因為全集u 1,2,3,4,5若QjA1,2,4,則集合A 3,5. .故答案為：3,5. .【點睛】本題考查補集的運算，是基礎題 2 2.已經復數 z z 滿足（z 2）i1 i（i i 是虛數單位），則復數【解析】【詳解】Q(z 2)i1 i,z 10, 故答案為.,10. .3

2、 3已知一組數據a1,a2,a3,，a.的平均數為 a a,極差為2a11, 2a21,2a2a31 1 ,，2a.1的方差為_【答案】4S2【解析】根據在一組數據的所有數字上都乘以同一個數字，數據的平方倍，得到結果.【詳解】解：T數據a!,a2,a3,，an的方差為S2,z z 的模是_1 3ii3 i,d d，方差為S2，則數據得到的新數據的方差是原來第2 2頁共 2424 頁224S2,故答案為：4S2. .【點睛】此題主要考查了方差，關鍵是掌握方差與數據的變化之間的關系.4 4 如圖是一個算法的偽代碼，其輸出的結果為 _ .*-* -I Forj From iTQIO Stqi!:II

3、:曙H)；*):End F:I!Prints:t_ - I【答案】1011【解析】由題設提供的算法流程圖可知：S -1 1 11丄10122310 111111應填答案10115 5.從 0,20,2 中選一個數字，從 1,3,51,3,5 中選兩個數字, ,組成無重復數字的二位數, ,其中奇數的個數為?！敬鸢浮?818【解析】 試題分析：分類討論：從 0 0、2 2 中選一個數字 0 0,則 0 0 只能排在十位；從 0 0、2 2 中選一個數字 2 2,則 2 2 排在十位或百位，由此可得結論.解：從 0 0、2 2 中選一個數字 0 0, 則 0 0 只能排在十位，從1 1、3 3、5

4、5 中選兩個數字排在個位與百位，共有A3=6=6 種；從 0 0、2 22中選一個數字 2 2,則 2 2 排在十位，從 1 1、3 3、5 5 中選兩個數字排在個位與百位，共有A3=6=6種；2 2 排在百位，從 1 1、3 3、5 5 中選兩個數字排在個位與十位，共有啟=6 6 種；故共有23 3A3=18=18 種，故答案為 1818.【考點】計數原理點評：本題考查計數原理的運用，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵2 2 _6 6 .在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線C :每1 a 0,b0的離心率為.10,a b則雙曲線C的漸近線方程為_ .【答案】y 3x【詳解】第 3 3 頁共

5、 2424 頁【解析】由雙曲線的離心率為，可以得到-，再根據a2b2c2求出a,ba第4 4頁共 2424 頁的關系，從而得出漸近線的方程【詳解】【點睛】本題考查了雙曲線漸近線的問題，解題的關鍵是由題意解析出a,b的關系，從而解決問7 7.將函數 f(x)f(x)的圖象向右平移 言個單位后得到函數 y y 4sin4sin 2x2x 扌 的圖象，貝 U U f f 才為_ .【答案】4 4【解析】試題分析：將函數 f(x)f(x)的圖象向右平移個單位后得到函數 y y 4sin4sin 2x2xn的6 63 3n=4sin2x=4sin2x ,所以3故答案為：4 4 .【考點】三角函數的圖象平

6、移. .8 8 .設定義在 R R 上的奇函數 f f (x)(x)在區(qū)間0,)上是單調減函數，且2f x 3x f (2)0，則實數 x x 的取值范圍是 _【答案】(1,2)【解析】 根據題意，由函數的奇偶性和單調性分析可得函數f(x)f(x)在R上為減函數，則解：因0,b0的離心率為.10,所以-a10，又因為a2b22b2所以a10，所以雙曲線的漸近線y 3x. .圖象，即將函數 y y4sin4sin 2x2x扌的圖象向左4 =4sin?4. .【詳解】第 3 3 頁共 2424 頁f x23x f (2) 0可以轉化為x23x 2，解可得x的取值范圍，即可得答案.第6 6頁共 24

7、24 頁解：根據題意，f(x)f(x)是在R上的奇函數，且在區(qū)間0,)上是單調減函數, 則其在區(qū)間(，0)上遞減，則函數 f f (x)(x)在R上為減函數，f x23x f (2) 0 f x23x f(2)f (x23x) f( 2)x23x 2解得：1 x 2；即實數 x x 的取值范圍是(1,2)； 故答案為：(1,2).【點睛】本題考查函數的單調性與奇偶性的綜合應用，關鍵是分析函數在整個定義域上的單調性.319 9 .在銳角三角形 ABCABC 中si nA -, tan(Atan(A B)B) - -，則 3ta3ta nCnC 的值為_53【答案】7979【解析】由題意可得tan

8、 A,進而可得ta nB，而tanC的正切公式可得.【詳解】解：在銳角三角形ABC中sin A【點睛】 本題考查兩角和與差的正切公式，屬中檔題.tan(A B)，由兩角和與差cos A-1 sin2Atan Asin A3cos A4，tanBtanA(Atan A tan (A1 ta nAta n(ABLB)34141匹19，3tanCtan(A B)tan A tanB1 tan Ata nB34313497933tan3tan C C7979故答案為:7979.5B)第7 7頁共 2424 頁1010 .已知Sn為數列an的前 n n 項和Snnan3n(n 1)(nN*)且a?11.

9、 .則印的值【答案】5 5【解析】由Snnan3n(n1)(n N*)，且a?11.取n 2即可得出.【詳解】解：TSnnan3n(n 1)(n N*)，且a211.a-ia22a26，即a a265.故答案為：5.5.【點睛】本題考查了遞推式的簡單應用，是基礎題 x+ y1111.設正實數 x x,y y 滿足xy =，則實數 x x 的最小值為x- y【答案】.21. .x+ y22【解析】由正實數 x x, y y 滿足xy =，化為xy 1 x y x 0，可得x- y1 x224x20 x21y1y20，計算即可.xyy 1 0【詳解】y y 滿足xy =x+ y化為xy21 x2y

10、 x 0,221 x4x202x1c“丄x46x210 y1y20，化為xx 11 0解：由正實數X X,x- y 解得x 21.因此實數 x x 的最小值為2 1.第8 8頁共 2424 頁第9 9頁共 2424 頁故答案為：，2 1【點睛】本題考查了一元二次方程的實數根與判別式、根與系數的關系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題.1212 .如圖正四棱柱ABCDB1C1D!的體積為 2727，點 E E,F F 分別為棱BiB,CiC上的點（異于端點）且EF/BC，則四棱錐A AEFD的體積為VA1AEDVAFED,四棱錐A1AEFD的體積VA1AEFD9.故答案為

11、：9 9.1由VA AEDVE A1AD3SA1ADAB,由此能求出四棱錐AAEFD的體積.點 E E,F分別為棱B1B,GC上的點（異于端點），且EF/BVA1AEDVE A1ADIsA1ADAB6sAADD1ABVABCD A1C1D16【解【詳第1010頁共 2424 頁【點睛】第1111頁共 2424 頁本題考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查空間想象能力、運算求解能力，是中檔題.rrr rrr r r1rr1313已知向量a,b,c滿足a b c 0且a與b的夾角的正切為，b與c的夾角的1r rr r正切為 ，| | b b | | 2 2，

12、貝Ua c的值為_ . .34【答案】45uuuruum r uuur11【解析】 可設AB a, BC b,CA c，由題意可得tan B ,tanC，由兩角和23的正切公式，可得tanA,再由同角的基本關系式可得sin B,si nC,再由正弦定理可得【詳解】uuuruuur r uuurAB a,BC b,CA c,即為A 135,可得sin B5，52.10 2 524故答案為：-5ABAB , ACAC,由數量積的定義即可得到所求解：可設由題意可得tan B1,tan C2則tan A tan(BC)tan B tanC1 tan Bta nC121 12又B,C為銳角，sin2B2

13、cos B sin B1- cosB同理可得sin C、1010，由正弦定理可得sin135|c|丄5|a|10,10即有2、rha2、55第1212頁共 2424 頁【點睛】本題考查向量的數量積的定義，考查正弦定理和三角函數的化簡和求值,以及運算求解第1313頁共 2424 頁能力，屬于中檔題.1414.已知f(x) m(x 2m)(x m 3),g(x)2x2，若同時滿足條件:x R, f(x) 0或g(x) 0:x (, 4), f (x)g(x)0 則 m m 的取值范圍是【答案】m 4, 2【解析】根據g(x) 2x20可解得 x1,x1,由于題目中第一個條件的限制，導致 f(x)f

14、(x)在x 1是必須是f(x) 0，當 m=0m=0 時，f(x) 0不能做到 f(x)f(x)在x 1時f(x) 0，所以舍掉，因此，f(x)f(x)作為二次函數開口只能向下，故m0,m0,且此時 2 2 個根為m0m0 取交集結果為4 m 0；又由于條件 2 2 的限制，可分析得出在x(,4), f(x)恒負，因此就需要在這個范圍內g(x)g(x)有得正數的可能，即-4-4 應該比X1X2兩個根中較小的來的大，當m ( 1,0)時，m 34，解得交集為空，舍.當m=-1m=-1 時，兩個根同為24，舍當m ( 4, 1)時，2m 4，解得m 2，綜上所述，m ( 4, 2).【考點定位】本

15、題考查學生函數的綜合能力，涉及到二次函數的圖像開口，根大小，涉二、解答題umr uuu uuu1515.已知ABC的面積為9、3，且AC (AB CB) 18，向量irrm (ta nA tan B,si n 2C)和向量n (1,cosAcosB)是共線向量 (1) 求角 C C；(2) 求ABC的邊長 c.c.【答案】C C (2)(2)3,63【解析】(1 1)利用向量共線的條件，建立等式，再利用和角的正弦公式化簡等式，即可求得角 C C；%2m,x2m 3，為保證條件成立,Xi只需X22m 1m 3 11m2，和大前提m 4及到指數函數的單調性，還涉及到簡易邏輯中的或”,還考查了分類討

16、論思想.第1414頁共 2424 頁umr uuu uuuuur uur uuuUIR亠十十八m(2 2)由AC(AB CB)18得：AC (AB BC)AC18，進而利用ABC的面積為9 3，及余弦定理可求ABC的邊長 c c.【詳解】(1 1)因為向量mn (ta nA tan B,si n 2C)和A (1,cosAcosB)是共線向量,所以cos AcosB(tan A tan B) sin 2C 0，即sin AcosB cosAsinB 2sinCcosC 0，化簡sinC2sin CcosC0,即sin C(1 2cos C) 0. .因為0 C，所以sinC 0,從而cosC2

17、3UULT(2 2)Q ACuuu uur (ABCB)18,uuur18 ACUUU UUU(AB CB)UULTUULTAC ACUULT2|AC|則|AC|3邁，于 是AC3.2. .因為VABC的面積為9, 3，1 1 _ _所以一CA CBsinC 9 3，21即一3 2CBsin9、323解得CB 6*2在VABC中，由余弦定理得AB2CA2CB22CA CB cosC(3、2)2(6&)22 3、2 6.2 154，所以AB ,543.6. .【點睛】本題重點考查正弦、余弦定理的運用，考查向量知識的運用，解題的關鍵是正確運用正弦、余弦定理求出三角形的邊.1616 .如圖，

18、四棱錐 P P ABCDABCD 的底面為矩形，且 ABAB =, BCBC = 1 1 , E E, F F 分別為 ABAB ,PCPC 中點 第1515頁共 2424 頁(第M題)(1)(1) 求證：EFEF /平面 PADPAD ;(2)(2) 若平面 PACPAC 丄平面 ABCDABCD，求證：平面 PACPAC 丄平面 PDE.PDE.【答案】證明： (1(1)方法一：取線段 PDPD 的中點 M M，連結 FMFM , AMAM .因為 F F 為 PCPC 的中點，所以 FMFM / CDCD，且 FMFM = CDCD.因為四邊形 ABCDABCD 為矩形，E E 為 AB

19、AB 的中點，所以 EAEA / CDCD，且 EAEA = - - CDCD .所以 FMFM / EAEA，且 FMFM = EAEA .所以四邊形 AEFMAEFM 為平行四邊形.所以 EFEF / AMAM . . 5 5 分又 AMAM 平面 PADPAD , EFEF 平面 PADPAD，所以 EFEF /平面 PADPAD . .7 分方法二：連結 CECE 并延長交 DADA 的延長線于 N N，連結 PNPN.因為四邊形 ABCDABCD 為矩形，所以 ADAD / BCBC ,所以/ BCEBCE =Z ANEANE，/ CBECBE = Z NAENAE .又 AEAE

20、= EBEB，所以 CEBNEACEBNEA .所以 CECE = NENE .又 F F 為 PCPC 的中點，所以 EFEF / NP.NP. . 5 5 分第1616頁共 2424 頁又 NPNP 平面 PADPAD ,EF,EF 平面 PADPAD，所以 EFEF/平面 PADPAD .分方法三：取 CDCD 的中點 Q Q,連結 FQFQ, EQEQ.在矩形 ABCDABCD 中，E E 為 ABAB 的中點，所以 AEAE = DQDQ ,且 AEAE / DQDQ .所以四邊形 AEQDAEQD 為平行四邊形，所以 EQEQ / ADAD .又 ADAD 平面 PADPAD, E

21、QEQ 平面 PADPAD,所以 EQEQ/平面 PADPAD . . 2分因為 Q Q , F F 分別為 CDCD, CPCP 的中點，所以 FQFQ / PDPD .又 PDPD 平面 PADPAD, FQFQ 平面 PADPAD，所以 FQFQ /平面 PADPAD.又 FQFQ, EQEQ 平面 EQFEQF, FQFQA EQEQ= Q Q,所以平面 EQFEQF /平面 PAD.PAD. . 5 5分因為 EFEF 平面 EQFEQF，所以 EFEF/平面 PADPAD . . 7 7 分(2 2)設 ACAC , DEDE 相交于 G G.在矩形 ABCDABCD 中，因為 A

22、BAB= BCBC , E E 為 ABAB 的中點 所以DA=CD=.AE DA又/ DAEDAE =/ CDACDA，所以 DAEDAECDACDA，所以/ ADEADE = / DCADCA .又/ ADEADE +Z CDECDE = / ADCADC = 9090 所以/ DCADCA + Z CDECDE = 9090 由厶 DGCDGC 的內角和為 180180，得/ DGCDGC = 9090 即卩 DEDE 丄 ACAC . . 1010分因為平面 PACPAC 丄平面 ABCDABCD因為 DEDE 平面 ABCDABCD，所以 DEDE 丄平面 PACPAC,又 DEDE

23、 平面 PDEPDE，所以平面 PACPAC 丄平面 PDEPDE . . 1414 分【解析】略1717 .如圖，0M0M , ONON 是兩條海岸線，Q Q 為海中一個小島，A A 為海岸線 0M0M 上的一個碼 頭.已知 此 m m良 ，貳 m m 沁|,|,Q Q 到海岸線 OMOM ,0N,0N 的距離分別為 3 3 kmkm , km.km.現 要在海岸線 ONON 上再建一個碼頭，使得在水上旅游直線 ABAB 經過小島 Q Q .(1)求水上旅游線 ABAB 的長;第1717頁共 2424 頁(2)若小島正北方向距離小島 6 6 kmkm 處的海中有一個圓形強水波 P P,從水波

24、生成 t t h h 時 的半徑為瑋：(a a 為大于零的常數)強水波開始生成時， 一游輪以冋占 km/hkm/h 的速度 自碼頭 A A 開往碼頭 B B,問實數 a a 在什么范圍取值時，強水波不會波及游輪的航行.【答案】(1 1)( 2 2) 恥能-空【解析】試題分析：(1 1)由條件建立直角坐標系較為方便表示：風込門!，直線 k k 尺 I I 的方程麗 叭十刃=也為由 Q Q 到海岸線 ONON 的距離為 kmkm,得，解得 ，再由兩直線交點得，利用兩點間距離公式得 卜后冷-于-訂亠以二胡(2 2)由題意是一個不等式恒成立問題：設小時時，游輪在線段 ALAL 上的點門處，1 發(fā)二而不

25、等式恒成立問題往往利用變量分離將其轉化為對應函數最值問題：10存a 0）Q為 第1818頁共 2424 頁10f-苗匚gi n - 72t + 4S 24V5-4S，當且僅當：&陀時等號成立，所以，在i W珈5F第1919頁共 2424 頁時 k k 恒成立，亦即強水波不會波及游輪的航行.【考點】函數實際應用，不等式恒成立右焦點分別為F1、F2，離心率為22B B 分別為橢圓 E E 的左、右頂點，動點M M 滿足MB AB，且 MAMA 交橢圓 E E于點 P.P.進而得到橢圓方程;(2(2) (i i)設M 2,y, P Xj,%,求得直線 MAMA 的方程，代入橢圓方程，解得點

26、P P 的 坐標，再由向量的數量積的坐標表示，計算即可得證;(0(0, 0 0).先求得 PBPB 的斜率，再由圓的性質可得MQMQ 丄 PBPB,求(2)設M 2,yo, P X1, y1,(1(1)求橢圓E E 的方程;1818.在平面直角坐標系xOy中已知橢圓2E:篤ay 1(a b 0)過點，其左(i(i)求證:urn uuur OP OM為定值;(ii(ii )設 PBPB與以 PMPM 為直徑的圓的另一交點為Q Q,問：直線 MQMQ 是否過定點，并說明理由 【答2 21 1 (2)(2) (i i)證明見解析,42定值為 4 4 (iiii)直線MQ過定點 0(0,0)0(0,0

27、). .【解(1(1)由結合橢圓的a,b,c的關系，可得a,b,(ii(ii)直線 MQMQ 過定點 0 0出 MQMQ 的斜率,再求直線MQMQ 的方程，即可得到定點.【詳解：(1 1)易得32b22，1,且c2a2b2,2解得：24,2,所以橢圓E E 的方程為第2020頁共 2424 頁易得直線MA的方程為:由MQ PB得，kMQ豊所以直線MQ過定點 0(0,0)0(0,0)【點睛】方程和橢圓方程，運用韋達定理，同時考查向量的數量積的坐標表示和直線和圓的位置 關系，屬于中檔題.1919 已知數列an滿足：aia2a?k(常數k 0),()求b1, b2, b3, b4的值；(2)求出數列

28、bn的通項公式;(3)問：數列an的每一項能否均為整數？若能，求出說明理由代入橢圓2 2X-丄1得,422YQ24 y28y28得,xi2 yo82y。8，從而yi8yy8UJUuuju所以示OPOM2 y2Yo 88yyT82,y。8y2y0直線MQ過定點0(0,0)0(0,0)，理由如下:依題意，kpB8y82y。2 y282y0，則MQ的方程為：y y號(x2)，本題考查橢圓的方程和性質,主要考查橢圓的離心率公式和方程的運用,注意聯(lián)立直線an 1anan 1an 13,n.anan 2. .數列bn滿足：bn-nNan 1k k 的所有可能值；若不能，請第2121頁共 2424 頁數列a

29、n是整數列2k 1【答案】b b32, b2b4；bnk4k 12k(3)(3) k k 為 1 1, 2 2 時2k第2222頁共 2424 頁【解析】(1 1)經過計算可知：a4k 1,a5k 2忌k 42，由數列bn滿足:kbn冇冇冇冇2an 1(n(n = 1 1, 2 2, 3 3, 4 4)，從而可求bi, b2, b3, b4；(2)由條件可知an 1an 2k a.an 1.得an 2an 1kan 1an，兩式相減整理得bnbn2，從而可求數列6的通項公式;(3)假設存在正數 k k，使得數列an的每一項均為整數,則由(a2na2n12a2na2n 12k 1，由a1k Z,

30、a62a2n1 a2nk2 2)可知：Z,可求得k 1,2證1,2時，滿足題意，說明k1,2時，數列an是整數列.【詳解】(1(1)由已知可知:a a4k 1忌k 2,a6把數列an的項代入bnanan2an1求得bib32, b2b42k 1k；k anan1(2)由an1(n 3,n N )an 2可知：an 1an2kanan 1則：an 2an 1- -有:anan 2an 1an 2anan 1即：bnbn 2b2n 1b2n 3b1a1a3a22,b2nb2na42k 1a3kbn4k 12k(2k(3)假設存在正數 k k 使得數列an的每一項均為整數,則由 (2(2)可知:a2

31、n 12a2n2ka2n 2a2n 11,-a2n1a2nk第2323頁共 2424 頁第2424頁共 2424 頁2由aik Z,a6k4 Z，可知k 1, 2.2.k2k i當k 1時，3為整數，利用ai,a2,a3Z結合式可知 的每一項均為整k數；a2n 12a2na2n 1k 2時，變?yōu)?a2n 2二a2n21 a2n用數學歸納法證明a2n 1為偶數，a2n為整數 n 1時結論顯然成立，假設n k時結論成立，這時a2n1為偶數，a2n為整數，故a2n 12a2na2n 1為偶數，a?n 2為整數，n k 1時，命題成立 故數列an是整數列. .綜上所述 k k 為 1 1，2 2 時數

32、列an是整數列 【點睛】本題考查了等差數列的基本性質和數列的遞推公式，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，注意分類討論思想和轉化思想的運用，屬于難題.2020.設函數f(x) (x a)lnx X a,a R. .(1) 若a 0求函數 f(x)f(x)的單調區(qū)間；(2) 若 a a 0 0 試判斷函數 f(x)f(x)在區(qū)間e2,e2內的極值點的個數，并說明理由；(3) 求證：對任意的正數 a a 都存在實數 t t 滿足：對任意的x (t,t a),f (x) a 1. .【答案】(1)(1)單調遞減區(qū)間為(0,1)單調遞增區(qū)間為(1,). . (2)(2)見解析(3)(3)證明見解析

33、【解析】(1 1)求解f(x) Inx,利用f (x)0, f (x)0，解不等式求解單調遞增區(qū)間，單調遞減區(qū)間；a(2 2)f (x) ln x，其中x 0,x再次構造函數令g(x) xl nx a，分析g(x)的零點情況.g (x) In x 1,1令g (x)0,x-，列表分析得出g(x)單調性，求其最小值，e11 2 2分類討論求解若a-，若 a2，若 a 0, f (x)的單調性，第2525頁共 2424 頁eeeef(x)f(x)最大值，最小值，確定有無零點問題；(3 3)先猜想x (1,1 a), f(x) a 1恒成立.1再運用導數判斷證明.令G(x) ln x x 1,x1,

34、G(x) 10,求解最大值，得x出G(x) G(1) 0即可.【詳解】(1 1)當a 0時，f(x) xlnx x,f (x) In x,令f (x)0,x 1，列表分析x(0,1)1 1(1,)f (x)- -0 0+ +f(x)f(x)單調遞減單調遞增故 f(x)f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,1)單調遞增區(qū)間為(1,). .(2 2)f (x) (x a)l nx x a,f (x) In x ax，其中x 0,令g(x) xl nx a，分析g(x)的零點情況. .g (x) In x 11令g (x)0,x -,列表分析ex(0,1e)1e(1e,)g(x)- -0 0+ +g(x)單

35、調遞減單調遞增11g(x)ming( )一a,ee1 12 2 2而f ( )1 n ae 1 ae,f (e )2 ae (2 ae )ee2a12f (e2)2-(2e2a),e e第2626頁共 2424 頁1a1若a則f (x) In x 0,ex故 f f (x)(x)在(e2,e2)內沒有極值點；12112若a2，則f ( ) 1n ae 0,f (e2)(2 ae2) 0eee e212f (e )2(2e a) 0e因此f (x)在(e2,e2)有兩個零點，f f (x)(x)在(e2, e2)內有兩個極值點；1綜上所述當a (,-時，f(x)f(x)在(e2,e2)內沒有極值

36、點；e1 22 2當a,2時，f f (x)(x)在(e , e )內有兩個極值點；e e2當a2,0時，f f (x)(x)在(e2,e2)內有一個極值點 e(3 3)猜想：x (1,1 a)，f(x) a 1恒成立. .證明如下：1 1由(2 2)得g(x)在( (，) )上單調遞增，且g(1) a 0，g(1 a) (1 a)ln(1 a) a. . e e1因為當x 1時，In x 1(*)，x1所以g (1 a) (1 a)(1) a 0a 1故g(x)在(1,1 a)上存在唯一的零點，設為xc 由x(1,X0)XQ(XQ,1a)f (x)- -0 0+ +f(x)f(x)單調遞減單

37、調遞增知x (1,1 a)，f (x) max f (1), f (1a). .211若4 a 0則f(丄)1n- eee1f (e )2(2e a) 0，e2 2ae 0,f (e )(2 ae ) 0,因此f (x)在(e2,e2)有一個零點,f f (x)(x)在(e2, e2)內有一個極值點;第2727頁共 2424 頁又f (1 a) ln(1 a) 1，而x 1時，lnx x 1(*),所以f(1 a)(a 1)1 1 a 1f(1).即x (1,1 a),f (x)a 1.所以對任意的正數a,都存在實數t1,使對任意的x(t,t),使f (x) a 1.補充證明(*):11 1x

38、 1令F(x) 1nx-1 ,x 1.F(x)20 ,xx xx所以F(x)在1,)上單調遞增所以x 1時，F(x)F(1) 0,即lnx 11x補充證明(*)令G(x) In xx 1,x 1.G (x)1 10,x所以G(x)在1,)上單調遞減所以x 1時，G(x)G(1) 0,即In x x1.【點睛】本題主要考查導數與函數單調性的關系，會熟練運用導數解決函數的極值與最值問題求函數的單調區(qū)間，應該先求出函數的導函數，令導函數大于0得到函數的遞增區(qū)間，令導函數小于0得到函數的遞減區(qū)間，考查了不等式與導數的結合，難度較大.21已知二階矩陣入=t J,矩陣電屬于特征值卜1 7的一個特征向量為

39、叫，屬【解析】 運用矩陣定義列出方程組求解矩陣 【詳解】由特征值、特征向量定義可知，二忌|?八計即打mi,得fcVF同理可得即起片解得k - 2，b = 3,c=2,d - I .因此矩陣A = h可于特征值怯俳勺一個特征向量為皆 If求矩陣第2828頁共 2424 頁【點睛】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結果, 較為簡單求I的極坐標方程及ABC的面積.【解析】 將A 1, , B 9,轉化為直角坐標系下的坐標形式，然后求出線段AB的33中點與直線AB的斜率，進而求出直線 I I 在直角坐標系下的方程，再轉化為極坐標方程； 在直角坐標系下，求出點 C C

40、 到直線 ABAB 的距離、線段 ABAB 的長度，從而得出ABC的面積 【詳解】解：以極點為原點，極軸為 x x 軸的正半軸，建立平面直角坐標系xoyxoy在平面直角坐標系 xoyxoy 中,所以AB的中垂線方程為：y乞33(x -)232化簡得：x .3y 100,所以極坐標方程為cos x3 sin 10 0,即cos( )53，令y 0，則x 10,故在平面直角坐標系 xoyxoy 中，C C (10,010,0)2222 .在極坐標系中,已知A1，-，B9，-,線段AB的垂直平分線I與極軸交于點【答案】I的極坐標方程及cos-5,ABC的面積20. 3. .3A1,3,B 9,3的坐

41、標為A(丄，一),2 2 2 2故線段AB中垂線的斜率為k線段AB的中點為第2929頁共 2424 頁線段AB 8,1故ABC的面積為S 5.3 8 20、.3. .2【點睛】本題考查了直線的極坐標方程問題，解題時可以將極坐標系下的問題轉化為平面直角坐標系下的問題，從而轉化為熟悉的問題 2323 .已知實數a, b滿足a b 2，求證：a22a b22b 4(a 2).【答案】證明見解析【解析】對a22a b22b進行轉化，轉化為含有a b 2形式，然后通過不等關系得證 【詳解】解：因為a b 2,所以a22a b22b2 2a b 2a 2ba b a b 2 a ba b|a b 2a b 2a a b 2a b 2a a b 22 2a 2 22 2a 44 a 24 a 2，得證. .【點睛】本題考查了絕對值不等式問題，解決問題的關鍵是要將要證的形式轉化為已知的條件，考查了學生轉化與化歸的能力 ABCD中，已知棱AB,AD,AP兩兩垂直，長度分別為 1 1,點 C C 到直線 ABAB:y3x的距離為d10/32424.如圖，在四棱錐Punruur2 2, 2 2 若DCAB(第3030頁共 2424 頁uuuuuurR),且向量PC與BD夾角的余弦值為15第3131頁共 2424 頁(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦