2020屆北京市平谷區(qū)高三3月質(zhì)量監(jiān)控(一模)數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁共 1818 頁2020 屆北京市平谷區(qū)高三 3 月質(zhì)量監(jiān)控（一模）數(shù)學(xué)試題、單選題1 1已知集合Ax|x1,集合Bx | x x 20，那么AU B等于（)A A .x | x2B B.x| 1 x0C C.x|x 1D D.x| 1 x2【答案】A A【解析】求出集合B，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可【詳解】/A x|x 1,B x| 2 x 0, AU B x|x 2. .故選：A.A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題A Ay . xB B.f x xsinxC.【答案】C C【解析】結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即

2、可【詳解】A A:yx為非奇非偶函數(shù)，不符合題意;B B :f x xsinx在0,上不單調(diào)，不符合題意；C C :2八y xx為偶函數(shù)，且在0,上單調(diào)遞增，符合題意;D D :y x 1為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題3 3如果b a 0，那么下列不等式成立的是（）2 2下列函數(shù)(。,+?)x x xD D.y x 1上單調(diào)遞增的是第2 2頁共 1818 頁A Alog2b log2aD Dab b2【答案】D D【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出【詳解】a1. 33,2,b a,ab b. .2故選：D.D.【

3、點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題24 4 .雙曲線y2m1 m c的一條漸近線方程為x 2y0，那么它的離心率為( )A A J3B B、,5C C .蘭D DJ22【答案】D D【解析】根據(jù)雙曲線2x2y1 m c的一條漸近線方程為x2y0，列出方程,求出m的值即可. .【詳解】2.雙曲線乞y21 m c的一條漸近線方程為x 2y 0,m11可得，二m 4,故選：D.D.【點(diǎn)睛】 本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題22urn uuuC Cb3 b a 0,log2b log2a二雙曲線的離心率ec_5a2第3 3頁共 1818 頁5 5設(shè)直

4、線l過點(diǎn)A 0, 1,且與圓C:x y 2y 0相切于點(diǎn)B，那么AB AC242第4 4頁共 1818 頁cos 2 xcos 2x( )A A.3B B.3 3C. ,3D D.1 1【答案】B B【解析】過點(diǎn)A0, 1的直線l與圓C:2 2x y 2y0相切于點(diǎn)ULTB，可得BAuurBC 0uuuuuruuuuuu uuuUUU2uuu uuurUUU2uuur2因此ABACABAB BCABAB BCABACT2，即可得出【詳解】由圓C2:x2y2y 0配方為 x x2y y 1 121 1,C 0,1，半徑T1. .過點(diǎn)A 0,1的直線l與圓C :2:x2y2y0相切于點(diǎn)B,uuuu

5、uu二AB BC0；uuuuuuruuu uuuuuruuu2uuu uuuruuu2uur22二AB ACABABBCABABBCABAC r 3；故選：B.B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題6 6.將函數(shù)f xcos2x圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度后得到函數(shù)g x的圖4象，如果g x在區(qū)間0,a上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)a的最大值為（）3A A .B B.C C .D D .-8424【答案】B B【解析】根據(jù)條件先求出g x的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可【詳解】將函數(shù)fxcos2x圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度后得到函數(shù)gx的圖象，設(shè)2x第5 5

6、頁共 1818 頁則當(dāng)0 x a時(shí)，0 2x 2a,- 2x - 2a -,22 2即一2a -,22要使g x在區(qū)間0,a上單調(diào)遞減，則2a得2a，得a7，即實(shí)數(shù)a的最大值為-, 故選：B.B.【點(diǎn)睛】A A充分不必要條件B B必要不充分條件D D既不充分又不必要條件【答案】C C【點(diǎn)睛】 本小題主要考查充分、 必要條件的判斷，考查向量垂直的表示， 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算， 屬于基礎(chǔ)題. .8 8有一改形塔幾何體由若千個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)已知最底層正方體的棱長為 8 8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于 1 1，那么該塔形中正

7、方體的個數(shù)至少是（）本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換, 考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題7 7設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，則uuu nr“ AB ACUULTBC”是“ABuuuimrAC【解析】利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可由于點(diǎn)A,B,C不共線，則UUUUUUTUUUUUUUUUT UUUTAB ACBCABAC BC 0UUUUUUTUUUTUUUUUUT2UUU2UUUT2ABACACABAC AB 0ACUUUUUUUUUTUUUi UULT故“ABACBC”是，AC”的充分必要條件【詳解】故選：C.C.UUU2ABuuuUU“ABAC;C C

8、.充分必要條件第6 6頁共 1818 頁【解析】則從下往上第二層正方體的棱長為：、42+42=4=2，從下往上第三層正方2 2體的棱長為：,2、22 24，從下往上第四層正方體的棱長為：.22222.2，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1 1 時(shí)該塔形中 正方體的個數(shù)的最小值的求法【詳解】 最底層正方體的棱長為 8 8，則從下往上第二層正方體的棱長為：，.=4、2，從下往上第三層正方體的棱長為：、2 22 224，從下往上第四層正方體的棱長為：2 2 2丿2，2 - 2從下往上第五層正方體的棱長為：222，從下往上第六層正方體的棱長為：,12122，從下往上第七層正方體的棱長為：

9、2221,從卜往上第八層止方體的棱長為：、1221 222改形塔的最上層正方體的邊長小于1 1，那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是8 8故選：A.A.【點(diǎn)睛】 本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題9 9 .某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為（）B B. 7 7C C. 6 6【答案】A A第7 7頁共 1818 頁A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 0 0【答案】C C【解析】由三視圖還原原幾何體， 借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)【詳解】二該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.3.故選：C.C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖

10、還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題I1(單位：W/m2)I60dB,L275dB，那么()124A.105【答案】D D1010 .在聲學(xué)L（單位：dB）由公式L101g1012給出，其中I為聲強(qiáng)4B B.105第8 8頁共 1818 頁LI112,分別算出 J 和I2的值，從而得到的10丨2值【詳解】【解析】由L 101g打得Igl102第9 9頁共 1818 頁1212 .已知sin-，那么tan sin _【點(diǎn)睛】 本小題主要考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題二、填空題1111如果復(fù)數(shù) z z 滿足i z 1 i，那么z _（i為虛數(shù)單位）. .【答案】、.2【解析】 把已知等式變形， 再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除

11、運(yùn)算化簡， 然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算 公式求解. .【詳解】/ i z 1 i,1 i 1 i i-z21 i，iiz 72,故答案為：,2,2 . .【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題 L101g右10 Ig I lg101210lgI12 IgI12，當(dāng)L160時(shí),lg I110126010126,I1106,當(dāng)L275時(shí),lg I2101275124.5,I210111106104.5101.510故選:D.D.第1010頁共 1818 頁本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題51313 .設(shè)常數(shù)a R，如果x2- 的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系

12、數(shù)為-80-80,那么a _x【答案】2【解析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出【詳解】5rx2a的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tr,C5x2 5 raarC5x10 3r,xx令 1010 3r3r 1 1,解得r 3. . a3C；80,解得a 2. .故答案為：2 2【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題. .21414如果拋物線y 2px上一點(diǎn)A 4,m到準(zhǔn)線的距離是 6 6，那么m _【答案】4.2【解析】先求出拋物線y22px的準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)點(diǎn)A 4,m到準(zhǔn)線的距離為 6 6, 列出4衛(wèi)6，【答20【解析】 由已知利用誘導(dǎo)公式可求cos【詳解】，進(jìn)而根據(jù)同角三

13、角函數(shù)基本關(guān)系即可求解Tsin -245-cos45， 2sin1 cos219tan sin2sin259cos420. .5故答案為：9201692525【點(diǎn)第1111頁共 1818 頁直接求出結(jié)果. .2第1212頁共 1818 頁【詳解】拋物線y22 px的準(zhǔn)線方程為x號,由題意得46，解得p 4. .2點(diǎn)A 4,m在拋物線寸2px上，二m22 4 4，二m 4 2，故答案為：42.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題1515 .某公園劃船收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表：船那兩人船限乘2人）四人刪（釀乘斗人毎熾抵金云小時(shí)tw130某班 1616 名同學(xué)一起去該公園劃船，若每人劃船的時(shí)間均為 1

14、 1 小時(shí)，每只租船必須坐滿,租船最低總費(fèi)用為 _元，租船的總費(fèi)用共有 _種可能【答案】3603601010【解析】列出所有租船的情況，分別計(jì)算出租金，由此能求出結(jié)果【詳解】1 1 條四人船 6 6 條兩人船時(shí)，租金為：100 690640元，2 2 條四人船 4 4 條兩人船時(shí)，租金為：2 100490560元，3 3 條四人船 2 2 條兩人船時(shí)，租金為：3 100290480元，1 1 條六人船 5 5 條 2 2 人船時(shí)，租金為：130 590580元，2 2 條六人船 2 2 條 2 2 人船時(shí)，租金為：2 130290440元，1 1 條六人船 1 1 條四人船 3 3 條 2 2

15、 人船時(shí),租金為:130 100 3 90500元，1 1 條六人船 2 2 條四人船 1 1 條 2 2 人船時(shí),租金為:130 2 100 90420元,2 2 條六人船 1 1 條四人船時(shí)，租金為：2 130100360元，當(dāng)租當(dāng)租當(dāng)租當(dāng)租當(dāng)租當(dāng)租當(dāng)租當(dāng)租1010 種可能. .當(dāng)租兩人船時(shí)，租金為:當(dāng)租四人船時(shí)，租金為:1621690 720元,100400元,綜上，租船最低總費(fèi)用為360360 元，租船的總費(fèi)用共有第1313頁共 1818 頁故答案為：360360, 10.10.第1414頁共 1818 頁【點(diǎn)睛】 本小題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查實(shí)際應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題 三

16、、解答題1616在ABC中，B,b、7,求BC邊上的高3-J21sin A，sin A 3sinC，a c 2，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上7面問題中并作答【答案】詳見解析【解析】 選擇，利用正弦定理求得a，利用余弦定理求得c，再計(jì)算BC邊上的高. .選擇，利用正弦定理得出a 3c,由余弦定理求出c，再求BC邊上的高選擇，利用余弦定理列方程求出c，再計(jì)算BC邊上的高【詳解】解得即7222選擇,在ABC中,a由正弦定理得si nAbsinB由余弦定理得b22ac cosB,化簡得c22c解得c 3或c（舍去） ;所以BC邊上的高為csin B 3選擇，在ABC中, 由正弦定理得sin A又因?yàn)?/p>

17、si nA3sinC, 所以3sinCsin C，即a 3c；由余弦定理得b22ac cosB,即.7223c3c c化簡得7 c27,解得1（舍去）第1515頁共 1818 頁所以BC邊上的高為h csinB 1-1-1. .2 2選擇，在ABC中，由a c 2，得a c 2；由余弦定理得b2a2c22accos B,2221即7 c 2c22 c 2 c -,2化簡得C2+ 2C3 0，解得c 1或c 3(舍去);所以BC邊上的高為h csinB 133. .2 2【點(diǎn)睛】本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形，屬于中檔題1717為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，某校從初高中學(xué)生中抽取

18、100100 名學(xué)生，收集了他們參加公益勞動時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，繪制圖表的一部分如表1刖/人數(shù)0, 5)I, 10)110, 15)15，20)(20, 25)25r30)IL別男6g101094女5121386學(xué)X81111107高中(1) 從男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時(shí)間在(2)從參加公益勞動時(shí)間25,30的學(xué)生中抽取 3 3 人進(jìn)行面談，記X為抽到高中的人數(shù)，求X的分布列；(3)當(dāng)x 5時(shí)，高中生和初中生相比，那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動時(shí)間較長(直接寫出結(jié)果)_ _ _5 5【答案】(1 1) (2 2)詳見解析(3 3)初中生平均參加公益勞動時(shí)間較長12【解析】(

19、1 1)由圖表直接利用隨機(jī)事件的概率公式求解；(2)X X 的所有可能取值為 0 0，1 1，2 2，3 3由古典概型概率公式求概率，則分布列可求；10,20的概率:第1616頁共 1818 頁(3)由圖表直接判斷結(jié)果. .【詳解】第1717頁共 1818 頁(1)100100 名學(xué)生中共有男生 4848 名，其中共有 2020 人參加公益勞動時(shí)間在10,20,設(shè)男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時(shí)間在(2(2)X的所有可能取值為 0 0, 1 1，2 2，3.3.隨機(jī)變量X的分布列為:X0123P7442144122122(3(3)由圖表可知，初中生平均參加公益勞動時(shí)間較長【點(diǎn)睛】

20、本小題主要考查古典概型的計(jì)算，考查超幾何分布的分布列的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題1818如圖，在三棱柱ADF BCE中，平面ABCD平面ABEF，側(cè)面ABCD為平行交AC與O，連接MO，由MO /FB，得出結(jié)論;(2)以A為原點(diǎn)，AC,AB,AF分別為x,y, z z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出 平面ACM的法向量，利用夾角公式求出即可【詳解】(1)連接BD,交AC與O，連接MO,10,20的事件為A，那么P A2054812C 7 P X 07； P XG；44P X 2CC7 - P XG；22，C5C2131244AB,AC 2AB 4,M為FD的中點(diǎn)(2)45【解析】(1 1)連接BD,第181

21、8頁共 1818 頁在DFB中，MO/FB,又FB平面ACM,MO平面ACM,所以FB /平面ACM;(2 2)由平面ABCD平面ABEF,AC AB,AB為平面ABCD與平面ABEF的交 線，故AC平面ABEF，故AF AC，又AF AB，所以AF平面ABCD, 以A為原點(diǎn)，AC,AB,AF分別為x,y, z z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，A 0,0,0,C 4,0,0,B 0,2,0,D 4, 2,0,F 0,0,2,M2, 1,1,iruuuUJUU設(shè)平面ACM的法向量為mx,y,z,AC4,0,0,AM2, 1,1，mvUJIVAC4x 0ir0,1,1由VUJUV0得mmAM2x y z

22、UJU平面ACF的法向量為AB 0,1,0，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能 力，屬于中檔題2x ax a1919 .已知函數(shù)fx，其中aR. .ex(1)當(dāng)a 0時(shí)，求f x在1,f 1的切線方程;(2 2)求證：f x的極大值恒大于 0.0.1【答案】(1 1)y -x(2 2)證明見解析e【解析】(1 1)求導(dǎo)，代入a 0,求出在x 1處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值，由此即可求得切 線方程；(2) 分類討論得出極大值即可判斷 . .由cos本小題主要考查線面平行的證明,第1919頁共 1818 頁【詳解】1)7Xa 2X2ax a x 2XXee0時(shí),11當(dāng)af 1-,f 1ee則fX

23、在1,f 1的切線方程為y1x；e(2 2) 證明： 令fx 0,解得X2或x a, 函數(shù)f X無極值;當(dāng)a2時(shí)，令f x 0，解得ax 2，令f x0,解得 x xa a 或x 2,函數(shù)f x在a,2上單調(diào)遞增，在,a,2,上單調(diào)遞減，- f X極大值f 2a 420;e當(dāng)a2時(shí)， 令fx 0,解得2 xa，令f x0,解得x2或xa,函數(shù)f x在2, a上單調(diào)遞增，在,2,a a,上單調(diào)遞減，x極大值綜上，函數(shù)f X的極大值恒大于0.0.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題2 22020.已知橢圓C:jX2-y21 a

24、 b 0的兩個焦點(diǎn)是Fi,F2,M 2,1在橢圓Ca b上，且MFiMF24,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線I與直線OM平行，且與橢圓交于A,B兩點(diǎn)連接MA、MB與x軸交于點(diǎn)D,E. .(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；umr uuu(2) 求證：OD OE為定值當(dāng)a 2時(shí)，f x 0恒成立，此時(shí)函數(shù)X在R上單調(diào)遞減,第2020頁共 1818 頁2 2【答案】(1) 421(2 2)證明見解析第2121頁共 1818 頁【解析】(1 1)根據(jù)橢圓的定義可得a 2，將M代入橢圓方程，即可求得b的值，求得橢圓方程；2 2所以C的方程為乂42yfx(2(2)設(shè)直線AB的方程，代入橢圓方程，求得直線MA和MB的方程，求

25、得D和E的LULT UUIT橫坐標(biāo)，表示出OD OE，根據(jù)韋達(dá)定理即可求證uuurODUUUOE為定值. .【詳(1(1)因?yàn)镸F1MF4，由橢圓的定義得2a點(diǎn)M、2,1在橢圓C上,代入橢圓方程，解得b(2(2)證明：設(shè)A Xi,%B X2,y22，直線AB的斜率為二，設(shè)直線l的方程為2第2222頁共 1818 頁聯(lián)立方程組2X222消去y， 整理得x22tx t2所以% X2XiX2t22，直線MA的直線方程為yiixi2X2，令則XD同理Xy2LULT所以：ODuuuX1.2y1X2.2y21X1y11y21X12 2y11 y21-、2X1X2X-IX2t 1X1X22 2-2、2y11

26、 y21第2323頁共 1818 頁uur uuu _代入整理得OD OE2耀,UUUT UUU所以O(shè)D OE為定值. .【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題2121記無窮數(shù)列an的前n項(xiàng)中最大值為Mn，最小值為mn，令bn叫一空，則稱2bn是an極差數(shù)列”.()若an3n2，求bn的前n項(xiàng)和；(2)證明：bn的極差數(shù)列”仍是bn；(3)求證：若數(shù)列bn是等差數(shù)列，則數(shù)列an也是等差數(shù)列. .323【答案】(1 1)n n(2 2)證明見解析(3 3)證明見解析443n 2 13【解析】(1 1 )由an是遞增數(shù)列，得bnn 1,由此能求出bn的前2 2n項(xiàng)和(2)推導(dǎo)出bn 1bnn 1,2,3,max 0也，,bnmin d，,00 Q,由此能證明bn的 極差數(shù)列”仍是bn. .(3)證當(dāng)數(shù)列bn是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為d,【詳解】(1)解：無窮數(shù)列an的前n項(xiàng)中最大值為Mn，最小值為mn,bnn,2bnbn 1M