倒立擺模型推導(dǎo)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上倒立擺系統(tǒng)模型研究控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量或變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在靜態(tài)條件下(即變量各階導(dǎo)數(shù)為零)，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程稱為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型；而描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程稱為動態(tài)數(shù)學(xué)模型。如果已知輸入量及變量的初始條件，對微分方程求解，則可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。因此，建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的首要工作。系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N方式：實驗建模和機(jī)理建模。實驗建模是通過在研究對象上加入各種由研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象，并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用系統(tǒng)辯識的手法分析輸入-輸出關(guān)

2、系，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型逼近實際系統(tǒng)。機(jī)理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的運動方程。對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難，故而選用機(jī)理建模的方法。為了在數(shù)學(xué)上推導(dǎo)和分析的方便，可作出如下假設(shè)：1) 擺桿在運動中是不變形的剛體；2) 齒型帶與輪之間無相對滑動，齒型帶無拉長現(xiàn)象；3) 各種摩擦系數(shù)固定不變；4) 忽略空氣阻力；在忽略掉這些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。本文采用分析力學(xué)Lagrange方程建立一、二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型。Lagran

3、ge方程有如下特點：1) 它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)任意完整系統(tǒng)的運動方程式，方程的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)是一致的。2) 理想的約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建立系統(tǒng)的運動方程時，只需分析已知的主動力，而不必分析未知的約束反力。3) Lagrange方程是以能量的觀點建立起來的運動方程式，為了列出系統(tǒng)的運動方程式，只需從兩個方面進(jìn)行分析，一個是表征系統(tǒng)運動的動力學(xué)能量系統(tǒng)的動能，另一個是表征主動力作用的動力學(xué)量廣義力。因此，用Lagrange建?？梢源蟠蠛喕到y(tǒng)的建模過程。采用拉格朗日的方法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。Lagrange算子可以描述如下： 其中：T ：系統(tǒng)的動能V ：系統(tǒng)的勢能q ：系統(tǒng)的廣義坐

4、標(biāo)則系統(tǒng)的動力學(xué)方程可用Lagrange算子描述如下： Lagrange方程可以簡單的理解為系統(tǒng)的能量的變化隨著系統(tǒng)外加作用力的變化而變化。1.1 一級倒立擺系統(tǒng)1.1.1 拉格朗日方法建立一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以將一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和質(zhì)量均勻的擺桿組成，小車以向左方向運動為正，擺桿角度以自然下垂位置為零點，逆時針為正，如圖2.1所示。圖2.1 一級倒立擺示意圖各參數(shù)的物理意義及取值如表2.1：表 2.1 倒立擺物理參數(shù)符號意義及取值符號物理意義取值及單位M小車質(zhì)量1.096 kgm擺桿質(zhì)量0.109 kgc0小車摩擦系數(shù)0.1 Nm-1sec-1c1擺桿摩擦系數(shù)0.0022 Nm-

5、1sec-1l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到質(zhì)心的長度0.25 mJ擺桿慣量0.0034 kgm2u控制力Nx小車位移m小車速度m sec-1擺桿角度rad擺桿角速度rad sec-1首先計算小車的動能()、擺桿的動能()和系統(tǒng)的總動能(T)： 不妨假定導(dǎo)軌所在的水平面勢能為零，在一級倒立擺的運動過程中，小車的勢能始終為零，系統(tǒng)的總勢能為： 小車與導(dǎo)軌之間的摩擦力和擺桿與小車之間的摩擦力，使得系統(tǒng)能量的損失分別為： 則系統(tǒng)總共損失的能量為： 取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)系為：，則拉格朗日算子為： 則系統(tǒng)的拉格朗日方程可以表示為： 借助Mathemetica軟件，由以上方程組可以得到一級倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué)方程，具體的推導(dǎo)過

6、程可以參看附錄一。 1.1.2 一級倒立擺系統(tǒng)在倒立點附近線性化處理現(xiàn)行的許多一級倒立擺穩(wěn)擺控制39需要將倒立擺在倒立點附近做近似線性化處理。首先由式(2.9)可得： 在倒立點附近，擺桿角度接近為零，角速度也較小，可以認(rèn)為： 將式(2.11)代入式(2.10)，可得 令 ： 將2.12寫成矩陣形式，可以得到一級倒立擺在倒立點附近線性化模型的狀態(tài)空間方程，如下： 其中： 1.2 二級倒立擺系統(tǒng) 1.2.1 拉格朗日方法建立二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型將二級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和質(zhì)量均勻的內(nèi)、外擺桿組成，小車以向左方向運動為正，擺桿角度以自然下垂位置為零點，逆時針為正，如圖2.2所示。各參數(shù)的物理意義

7、及取值如表2.2所示。圖2.2 二級倒立擺示意圖表 2.2 倒立擺物理參數(shù)符號意義及取值符號物理意義取值及單位M小車質(zhì)量1.32 kgm1內(nèi)桿質(zhì)量0.04 kgm2外桿質(zhì)量0.132 kgm3質(zhì)量塊質(zhì)量0.208 kgc0小車摩擦系數(shù)0.1 N/m/secc1內(nèi)桿-小車摩擦系數(shù)0 N/m/secc2內(nèi)-外桿摩擦系數(shù)0 N/m/secl1內(nèi)桿轉(zhuǎn)動軸心到質(zhì)心的長度0.09 mL1內(nèi)桿長度0.18 ml2外桿轉(zhuǎn)動軸心到質(zhì)心的長度0.27 mJ1內(nèi)桿慣量0. kg*m2J2外桿慣量0.0034 kg*m2u控制力Nx小車位移m小車速度m/sec內(nèi)桿角度rad內(nèi)桿角速度rad/sec外桿角度rad外桿角

8、速度rad/sec首先計算小車的動能()和內(nèi)、外擺桿的動能(、)以及質(zhì)量塊的動能 則總動能為： 不妨假定導(dǎo)軌所在的水平面勢能為零，在二級倒立擺的運動過程中，小車的勢能始終為零，可以計算內(nèi)外桿、質(zhì)量塊勢能分別為： 則總勢能為： 小車-導(dǎo)軌、內(nèi)桿-小車、外桿-內(nèi)桿之間的摩擦力，使得系統(tǒng)能量的損失分別為： 故系統(tǒng)總共損失的能量為： 取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)系為：，則則拉格朗日算子為：系統(tǒng)的拉格朗日方程可以表示為： 借助mathemetica軟件，由以上方程組可以得到二級倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué)方程，具體的推導(dǎo)過程可以參看附錄二。 其中：1.2.2 二級倒立擺系統(tǒng)在倒立點附近線性化處理實現(xiàn)二級倒立擺穩(wěn)擺控制的LQR

9、40方法，需要對系統(tǒng)模型做線性化處理，在倒立點附近近似為線性時不變系統(tǒng)。在本文所規(guī)定的符號與方向的情況下，線性化結(jié)果如下：在倒立點附近存在： 將式(2.23)代入式(2.22)，二級倒立擺系統(tǒng)動力學(xué)方程可以近似為： 其中： 可以發(fā)現(xiàn)式(2.24)是二級倒立擺在倒立點附近線性化處理后的系統(tǒng)方程，若令： 則可以得到二級倒立擺在倒立點附近線性化模型的狀態(tài)空間方程： 1.3 倒立擺微分方程數(shù)值解法對倒立擺系統(tǒng)的仿真分析，實質(zhì)上是對系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型求數(shù)值解的過程。對于這樣的常微分方程數(shù)值解法按照求解步數(shù)可以分為單步法和多步法，單步法的代表是Runge-Kutta法，多步法的代表是Adms法；按照求解步長可以

10、分為固定步和變步長的求解方式；按照求解精度可以將求解方法歸為2階、3階、4階等。下面不加推導(dǎo)的給出4階經(jīng)典Runge-Kutta法的計算格式和Adms可變步長的4階預(yù)測校正法的計算流程。已知微分方程初值條件，若x在區(qū)間 a，b 取(N+1)個等距節(jié)點，求對應(yīng)的y的近似值。 對于這樣一個常微分方程的數(shù)值解問題，取步長h=(b-a)/N，4階經(jīng)典Runge-Kutta法求解格式如下41： Adams變步長的4階預(yù)測校正算法的思路是：先用給定的初始步長，采用4階Runge-Kutta法求出最初的三個節(jié)點，接著依據(jù)采用Adams-Bashforth 4步顯式方法(式3.10)預(yù)測下一個節(jié)點的值，用Ad

11、ams-Bashforth 3步隱式方法(式3.11)校正下一個節(jié)點的值。采用兩種不同的方式計算的同一個節(jié)點的值，兩個計算結(jié)果之差若在合理的范圍內(nèi)，則認(rèn)為計算精度滿足要求，無需改變步長；若過大則認(rèn)為計算精度不夠，需減小步長以提高計算的準(zhǔn)確性；若過小則認(rèn)為計算精度超標(biāo)，需增大步長以提高計算效率。若步長合適則保存結(jié)果，并采取當(dāng)前步長繼續(xù)預(yù)測、校正下一個節(jié)點。否則，改變步長重新采用Runge-Kutta法計算前面三個節(jié)點，然后對新步長做評價，不斷的重復(fù)這一過程直到找到合適的步長為止。在計算快要結(jié)束時應(yīng)當(dāng)注意選取合適的步長以包含最后一個節(jié)點。Adams-Bashforth 4步顯式方法： Adams-

12、Bashforth 3步隱式方法： 通常高階方法可能擁有更好的計算精度41，比如二、三、四階方法對應(yīng)的局部截斷誤差是分別是O(h2)、O(h3)、O(h4)。但并不是說高階的方法擁有更好的效果。這是由于插值多項式并不是次數(shù)越高逼近精度越好。另外，高階的方法將花費更多的求解次數(shù)42，如表2.3。因此，常微分方程的數(shù)值解通常采用小于5階的求解方法。表2.3 求解次數(shù)與截斷誤差每步求解次數(shù)2345n78n910n最佳可能的截斷誤差O(h2)O(h3)O(h4)O(hn-1)O(hn-2)O(hn-3)在MATLAB當(dāng)中能方便的實現(xiàn)微分方程的數(shù)值解，常用的求解器及說明如表2.4：表2.4 解常微分方程

13、初值問題MATLAB的求解器求解器含義ode232、3階Runge-Kutta法ode454、5階Runge-Kutta法ode113多步Adams法ode23t適度剛性問題梯形法ode15s剛性微分方程組多步法ode23s剛性微分方程組2階Rosenbrock法ode23tb剛性微分方程組低精度算法odesetode命令選項設(shè)置對常微分方程初值問題，MATLAB的求解指令具有相同的格式，以最常用的ODE45為例說明如下：常用格式 t，y = ode45(odefun，tspan，y0)完整格式 t，y = ode45(odefun，tspan，y0，options，p1，p2，)詳細(xì)的參數(shù)說明如表2.5：表2.5 ODE求解指令參數(shù)說明參數(shù)含義odefunf(t，y)的函數(shù)句柄或內(nèi)嵌函數(shù)tspan自變量的初值和終值y0初值向量t標(biāo)量，返回節(jié)點列向量y標(biāo)量或向量，返回數(shù)值解矩陣options設(shè)置的計算參數(shù)，默認(rèn)可用空矩陣表示p1，p2，為附加傳遞參數(shù)，這時odefun 必須表示為f(t，y，p1，p2，)可以在MATLAB當(dāng)中可以編寫m文件求解一、二級倒立擺系統(tǒng)的微分方程組。求解器選取ODE45的詳細(xì)程序清單見附錄三。1.4 本