春 作業(yè) 實驗常微分方程

1、1. 分別用Euler法和ode45解下列常微分方程并與解析解比較： (1) function t,y = euler(f,ts,y0,h) t=ts(1):h:ts(2);y(1)=y0;for i=1:length(t)-1 y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i);endt=t'y=y' endf=(t,y)t+y;t1,y1=euler(f,0,3,1,0.05);t2,y2=ode45(f,0,3,1);plot(t1,y1,'.-',t2,y2,'ro')hold ony3=dsolve('Dy=x+y',&

2、#39;y(0)=1','x')ezplot(y3,0,3)hold offlegend('euler','ode45','解析解');（2）f=(t,x)2*x(2);5*x(2)+3*x(1)+45*exp(2*t);t1,y1=ode45(f,0,2,2,1);plot(t1,y1)2. 求一通過原點的曲線，它在處的切線斜率等于若上限增為1.58，1.60會發(fā)生什么？ function dy = odefun_2(x,y)dy=2*x+y2;dy=dy(:);endt1,y=ode45('odefun_2&#

3、39;,0,1.58,0)plot(t1,y);t2,y=ode45('odefun_2',0,1.60,0)plot(t2,y);3. 求解剛性方程組：function Dy=fun(t,y)Dy=zeros(2,1);Dy(1)=-1000.25*y(1)+999.75*y(2)+0.5;Dy(2)=999.75*y(1)-1000.25*y(2)+0.5;t,y=ode15s('fun',0,5,1,-1);plot(t,y(:,1),'o',t,y(:,2),'k-','LineWidth',2);4. (

4、廣告效應(yīng)) 某公司生產(chǎn)一種耐用消費品，市場占有率為5%時開始做廣告，一段時間的市場跟蹤調(diào)查后，該公司發(fā)現(xiàn)：單位時間內(nèi)購買人口百分比的相對增長率與當時還沒有買的百分比成正比，且估得此比例系數(shù)為0.5。(1) 建立該問題的數(shù)學模型，并將解析解和數(shù)值解，并作以比較；y=0.5(1-y)y=desolve('Dy=0.5-0.5*y','y(0)=0.05')odefun=(t,y)0.5-0.5*y;t1,y1=ode45(odefun,0,10,0.05);t2=0:0.1:10;y2=1-(19*exp(-t2/2)/20;plot(t1,y1,'o

5、9;,t2,y2,'k');(2) 廠家問：要做多少時間廣告，可使市場購買率達到80%？ 1-（19*exp(-t/2)）/20=0.85. (腫瘤生長) 腫瘤大小V生長的速率與V的a次方成正比，其中a為形狀參數(shù)，0£a£1;而其比例系數(shù)K隨時間減小，減小速率又與當時的K值成正比，比例系數(shù)為環(huán)境參數(shù)b。設(shè)某腫瘤參數(shù)a=1, b=0.1, K的初始值為2，V的初始值為1。問(1)此腫瘤生長不會超過多大？k=-bk,v=k*va,得k=-0.1k,v=kv,且k(0)=2,v(0)=1,k,v=dsolve('Dk=-0.1*k','Dv

6、=k*v','k(0)=2','v(0)=1','t');t=0:0.1:100;v=exp(20)*exp(-20*exp(-t/10);plot(t,v);(2) 過多長時間腫瘤大小翻一倍？exp(20)*exp(-20*exp(-t/10)=2(3) 何時腫瘤生長速率由遞增轉(zhuǎn)為遞減？v與v的關(guān)系為v=2*exp(20-t/10)*exp(-20*exp(-t/10);t1=0:0.1:100;v1=2*exp(20-20-t1/10).*exp(-20*exp(-t1/10);plot(t1,v1)6. (生態(tài)系統(tǒng)的振蕩現(xiàn)象)第一次

7、世界大戰(zhàn)中，因為戰(zhàn)爭很少捕魚，按理戰(zhàn)后應(yīng)能捕到更多的魚才是?？墒谴髴?zhàn)后，在地中海卻捕不到鯊魚，因而漁民大惑不解。令x1為魚餌的數(shù)量，x2為鯊魚的數(shù)量，t為時間。常微分方程組為 式中a1, a2, b1, b2都是正常數(shù)。第一式魚餌x1的增長速度大體上與x1成正比，即按a1x1比率增加, 而被鯊魚吃掉的部分按b1x1x2的比率減少；第二式中鯊魚的增長速度由于生存競爭的自然死亡或互相咬食按a2x2的比率減少，但又根據(jù)魚餌的量的變化按b1x1x2的比率增加。對a1=3, b1=2, a2=2.5, b2=1, x1(0)=x2(0)=1求解。畫出解曲線圖和相軌線圖，可以觀察到魚餌和鯊魚數(shù)量的周期振蕩現(xiàn)象。代入a1=3, b1=2, a2=2.5, b2=1, x1(0)=x2(0)=1，x1=3x1-2x1x2, x2=-2.5x2+x1x2;function Dx=fun(t,x)