基于同步的混沌系統(tǒng)的變初值控_...1

1、基于同步的混沌系統(tǒng)變初值連續(xù)控制鄭劍鋒1,強(qiáng)浩1,單梁2（1.江蘇工業(yè)學(xué)院 信息科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 常州 213164；2.南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210094）摘 要：針對(duì)混沌系統(tǒng)需要重置的初值構(gòu)造一個(gè)合適的穩(wěn)態(tài)方程，設(shè)計(jì)非線(xiàn)性同步控制器，利用一個(gè)開(kāi)關(guān)變量控制該同步控制器引導(dǎo)混沌系統(tǒng)與之發(fā)生同步，進(jìn)行系統(tǒng)初值的重置，實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的變初值連續(xù)控制。數(shù)值仿真主要針對(duì)一個(gè)具體的混沌系統(tǒng)分別進(jìn)行了其所有狀態(tài)初值的一次和二次重置，以及對(duì)其中兩個(gè)狀態(tài)先后進(jìn)行初值的重置，結(jié)果表明了理論推導(dǎo)的真確性和這一控制方法的有效性。關(guān)鍵詞：變初值；同步；非線(xiàn)性反饋；重置Varied Initial

2、Value Continuous Control of Chaotic System Based on SynchronizationZheng Jian-feng1, Qiang Hao1, ShanLiang2 (1.School of Information Science & Engineering,Jiangsu Polytechnic University,Changzhou Jiangsu 213164; 2.School of Automation, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing Jiangs

3、u 210094)Abstract: For the resetting initial value of a chaotic system, we construct a right stable system, use a switch variable to control a designed nonlinear feedback controller to make them synchronization, reset initial value of the chaotic system, and realize varied initial value continuous c

4、ontrol of chaotic cystem. In numerical simulation, for a given chaotic system, we reset the initial values of its all variable once and twice, then reset the two variables of the system at the different time. The results all show the effectiveness of the theoretical analysis and the designed control

5、 means.Key Words: varied initial value; synchronization; non-linear feedback; reset中圖分類(lèi)號(hào):TP2731 引言(Foreword)混沌1是非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種運(yùn)動(dòng)形式，是一種由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生內(nèi)在隨機(jī)性的現(xiàn)象，它廣泛存在于自然界的各個(gè)領(lǐng)域中?；煦缋碚撌且环N非線(xiàn)性的理論，它具有對(duì)初值敏感性、不可預(yù)測(cè)性和偽隨機(jī)性等特性。近年來(lái)，對(duì)混沌的研究得到了越來(lái)越多的重視，其中利用混沌進(jìn)行保密通迅尤其是對(duì)圖像進(jìn)行加密已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外的熱點(diǎn)課題之一。利用混沌系統(tǒng)進(jìn)行保密通迅，主要就是基于混沌系統(tǒng)的初值敏感性和偽隨機(jī)性來(lái)構(gòu)造

6、非常好的信息加密系統(tǒng)，其中混沌系統(tǒng)的初值是一個(gè)很重要的參數(shù)，在獲得初值的情況下就相對(duì)容易破譯加密信息。因此可以使混沌系統(tǒng)在某組初值條件下演化一段時(shí)間后重新設(shè)定初值繼續(xù)演化，利用這樣的混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)對(duì)信息進(jìn)行保密通迅無(wú)疑能提高其安全性。本文主要研究了混沌系統(tǒng)的變初值連續(xù)控制，根據(jù)混沌系統(tǒng)需要改變的初值構(gòu)造相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)方程2，設(shè)計(jì)非線(xiàn)性同步控制器3-6，在一個(gè)開(kāi)關(guān)變量的控制下利用該同步控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)初值的重置，整個(gè)過(guò)程是連續(xù)的，這樣就有利于在保密通訊中的應(yīng)用?；痦?xiàng)目：中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（20080430170）; 江蘇省博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（0801046B）2 問(wèn)題的描述(Desc

7、ription of the problem)考慮非線(xiàn)性混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)對(duì)于初值極其敏感，設(shè)為其初值，在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的演化后，希望將混沌系統(tǒng)的初值修改為后繼續(xù)演化，而整個(gè)過(guò)程應(yīng)該是連續(xù)的。利用同步的思想，以需要改變的初值構(gòu)造相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)方程，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的非線(xiàn)性反饋控制器實(shí)現(xiàn)兩系統(tǒng)的同步，從而使混沌系統(tǒng)的輸出狀態(tài)控制為需要改變的初值，然后再使混沌系統(tǒng)繼續(xù)演化就可實(shí)現(xiàn)其變初值的連續(xù)控制。3 穩(wěn)態(tài)引導(dǎo)方程的構(gòu)建(Construction of steady-formula)設(shè)K=K1,K2,K3T是混沌系統(tǒng)期望改變的初值，構(gòu)造如下穩(wěn)定系統(tǒng)： （1）其中Z=Z1,Z2,Z3T。設(shè)計(jì)，則該系統(tǒng)的特征根均

8、小于0，由微分方程的穩(wěn)定性理論可知，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其中K即為該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。4 非線(xiàn)性反饋控制器的設(shè)計(jì)(Design non-linear feedback controller)以系統(tǒng)（1）作為引導(dǎo)方程，用其狀態(tài)變量設(shè)計(jì)合適的非線(xiàn)性反饋同步控制器U=U1,U2,U3T，則得到受控的混沌系統(tǒng)如（2）所示： （2）定義誤差信號(hào)：。設(shè)計(jì)合適的U，使得，即系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)（1）達(dá)到全局漸進(jìn)同步，從而使混沌系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定控制為狀態(tài)K，即混沌系統(tǒng)的輸出狀態(tài)為期望改變的初值。為了實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的繼續(xù)演化，可以設(shè)計(jì)一個(gè)開(kāi)關(guān)變量s來(lái)控制所設(shè)計(jì)的同步控制器，則修正后的受控混沌系統(tǒng)如（3）所示： （3）當(dāng)需要改

9、變系統(tǒng)的初值時(shí)，將s設(shè)置為1，控制器U作用，使系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（1）發(fā)生同步，混沌系統(tǒng)的輸出狀態(tài)控制為需要改變的初值，然后將s設(shè)置為0，控制器U不作用，系統(tǒng)以混沌的方式繼續(xù)演化，實(shí)現(xiàn)變初值的連續(xù)控制。5 數(shù)值仿真(Numerical simulation)這里采用一個(gè)較復(fù)雜的四維自治混沌系統(tǒng)7，其數(shù)學(xué)模型如式（4）所示： （4）當(dāng)參數(shù)a=35,b=10,c=1,d=10時(shí)，Lyaponov指數(shù)是1=3.3152,2=0.0042,3=-4.1591,4=-35.1674。此時(shí)系統(tǒng)是混沌的。假定期望系統(tǒng)(4)的在演化過(guò)程中需要改變的初值為K=K1,K2,K3T，則構(gòu)建的穩(wěn)定的引導(dǎo)方程為系統(tǒng)(5)

10、所示： （5）其中。構(gòu)造合適的非線(xiàn)性反饋控制器U=U1,U2,U3,U4T，則受控的混沌系統(tǒng)如式(6)所示： （6）其中是設(shè)計(jì)的開(kāi)關(guān)變量，可以同時(shí)為0或1，也可以是其中1個(gè)量為1，其余3個(gè)量為0，或是其他的組合，具體取值由具體的控制所決定。定義誤差信號(hào)如下：。根據(jù)系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(6)可以得到如下誤差系統(tǒng)（7）為： （7）設(shè)計(jì)合適的ui(i=1,2,3,4)，使混沌系統(tǒng)(5)和(6)達(dá)到同步，即。根據(jù)主動(dòng)同步控制的思想，設(shè)計(jì)控制器如（8）所示： （8）其中vi是關(guān)于誤差變量ei的控制輸入信號(hào)，不妨取如下的控制輸入信號(hào)：，。這樣誤差系統(tǒng)(7)的特征根為-a,-1,-c,-d,都為負(fù)數(shù)，誤差系統(tǒng)是

11、收斂的，系統(tǒng)(5)和(6)達(dá)到全局漸進(jìn)同步，從而將混沌系統(tǒng)的輸出控制在K=K1,K2,K3,K4T。下面使用四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，選取系統(tǒng)參數(shù)a=35,b=10,c=1,d=10，仿真步長(zhǎng)為0.05，系統(tǒng)(5)的初始值為(4,2.5,2,3)，系統(tǒng)(6)的初始值為(1,-1.5,4,-3.5)，=-35,-10,-1,-10，若混沌系統(tǒng)演化一段時(shí)間后需要改變的初值為K=2,1,4,1.5，仿真結(jié)果如圖1所示。圖1 初值改變?yōu)?,1,4,1.5的狀態(tài)輸出曲線(xiàn)圖2 初值再改變?yōu)?,-2,0,5的狀態(tài)輸出曲線(xiàn)若經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后需要再次重置系統(tǒng)的初值為K1=4,-2,0,5，則仿真結(jié)果如圖2所示。

12、當(dāng)然系統(tǒng)在演化過(guò)程中還可以根據(jù)需要進(jìn)行多次重置。以上仿真都是系統(tǒng)狀態(tài)的初值同時(shí)發(fā)生變化，還可以通過(guò)開(kāi)關(guān)量控制其中一個(gè)或是兩個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)的初值發(fā)生重置，兩個(gè)狀態(tài)初值的重置在時(shí)間上也可以有先有后，圖3中x1的初值先重置為3，一段時(shí)間后x4的初值重置為2。圖3 x1和x4初值先后重置的狀態(tài)輸出曲線(xiàn)6 結(jié)論(Conclusion)混沌系統(tǒng)對(duì)初值極其敏感，不同的初值得到的系統(tǒng)狀態(tài)千差萬(wàn)別，在系統(tǒng)的演化過(guò)程中主動(dòng)的進(jìn)行初值的重置無(wú)疑可以構(gòu)造更好的信息加密系統(tǒng)。本文根據(jù)混沌系統(tǒng)需要重置的初值構(gòu)造相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)方程，設(shè)計(jì)非線(xiàn)性同步控制器，在一個(gè)開(kāi)關(guān)變量的控制下利用該同步控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)初值的重置，實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的變初

13、值連續(xù)控制，仿真結(jié)果很好的說(shuō)明了這一控制方法的有效性。參 考 文 獻(xiàn) (References)1 Ott E,Grebogi C,Yorke J A. Controlling chaosJ. Phys Rev Lett,1990,64(1):1196-11992 強(qiáng)浩,王洪元.混沌系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)的同步控制研究. 計(jì)算機(jī)仿真，2009,26(6):359-3623 陳保穎.線(xiàn)性反饋實(shí)現(xiàn)Liu系統(tǒng)的混沌同步.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2006，4(1)：1-44 Jiang G P,Tang W,Chen G R. A simple global synchronization criterion for couple chaotic systems. Chaos, Solitons and Fracals,2003,15(5):925-9355 李克,楊綠溪,