求數(shù)列通項(xiàng)公式專題

1、各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。筆者總結(jié)出九種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，希望能對大家有幫助。一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即，得，由得：，點(diǎn)評：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。二、累加法求形如an-an-1=f(n)（f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）的數(shù)列通項(xiàng)，可用累加法，即

2、令n=2，3，n1得到n1個式子累加求得通項(xiàng)。例2已知數(shù)列an中，a1=1，對任意自然數(shù)n都有，求解：由已知得，以上式子累加，利用得-=，點(diǎn)評：累加法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個式子累加求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項(xiàng)的和，要注意求和的技巧三、迭代法求形如(其中為常數(shù)) 的數(shù)列通項(xiàng)，可反復(fù)利用遞推關(guān)系迭代求出。例3已知數(shù)列an滿足a1=1，且an+1 =+1，求解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=3n-1a1+3n-21+3n-31+31+1=點(diǎn)評：因?yàn)檫\(yùn)用迭代法解題時，一般數(shù)據(jù)繁多，迭代時要小心計(jì)算，應(yīng)避免計(jì)算錯誤，導(dǎo)致走進(jìn)死胡同四、公

3、式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例4已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由當(dāng)時，有，經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式，所以點(diǎn)評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并五、累乘法對形如的數(shù)列的通項(xiàng)，可用累乘法，即令n=2，3，n1得到n1個式子累乘求得通項(xiàng)。例5已知數(shù)列中，前項(xiàng)和與的關(guān)系是，求通項(xiàng)公式解：由得兩式相減得：，將上面n1個等式相乘得：點(diǎn)評：累乘法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個式子累乘求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項(xiàng)的積，要注意求積的技巧六、分n奇偶討論法在有些數(shù)列問題中，有時要對n的奇偶性進(jìn)行分類討論以方便問題的處理。例6已知數(shù)列an

4、中，a1=1且anan+1=2，求通項(xiàng)公式解：由anan+1=2及an+1an+2=2，兩式相除，得=，則a1,a3,a5,a2n-1，和a2,a4,a6,a2n，都是公比為的等比數(shù)列，又a1=1,a2=，則：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，綜合得點(diǎn)評：對n的奇偶性進(jìn)行分類討論的另一種情形是題目中含有時，分n為奇偶即可自然引出討論分類討論相當(dāng)于增加條件,變不定為確定注意最后能合寫時一定要合并。這是近年高考的新熱點(diǎn)，如05年高考江西卷文科第21題七、化歸法想方設(shè)法將非常規(guī)問題化為我們熟悉的數(shù)列問題來求通項(xiàng)公式的方法即為化歸法同時，這也是我們在解決任何數(shù)學(xué)問題所必須具備的一種思想。例7已

5、知數(shù)列滿足求an解：當(dāng)兩邊同除以，即成立，首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列點(diǎn)評：本題借助為等差數(shù)列得到了的通項(xiàng)公式，是典型的化歸法常用的化歸還有取對數(shù)化歸，待定系數(shù)化歸等，一般化歸為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問題，是高考中的常見方法八、“歸納猜想證明”法直接求解或變形都比較困難時，先求出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，猜測出通項(xiàng)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法就是“歸納猜想證明”法例8若數(shù)列滿足：計(jì)算a2，a3，a4的值，由此歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論解：a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°，a3=2（2×1+3×2°）+3

6、5;21=22×1+2×3×21，a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想an=2n1+（n1）×3×2n2=2n2（3n1）；用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時，a1=21×=1，結(jié)論正確；2°假設(shè)n=k時，ak=2k2（3k1）正確，當(dāng)n=k+1時，=結(jié)論正確；由1°、2°知對nN*有點(diǎn)評：利用“歸納猜想證明”法時要小心猜測，切莫猜錯，否則前功盡棄；用數(shù)學(xué)歸納法證明時要注意格式完整，一定要使用歸納假設(shè)九、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）求遞推式如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項(xiàng)，可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)列求解，相當(dāng)如換元法。例9已知數(shù)列an滿足a1=1，且an+1 =+2，求解：設(shè)，則，為等比數(shù)列，點(diǎn)評：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項(xiàng)，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列an+1+=p(an+)來求得,也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型例10已知數(shù)列滿足求an解：將兩邊同除，得，變形為設(shè)，則令，得條件可化成，數(shù)列為首項(xiàng)，為公差的等比數(shù)列因，所以=得=點(diǎn)評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型例11已知