黃金分割教案

1、黃金分割與數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計劉燕明2013.11.黃金分割與數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標：1從數(shù)學(xué)課的角度：(1)使學(xué)生了解黃金分割、黃金比、黃金矩形的意義。(2)使學(xué)生會確定一條線段的黃金分割點，明確黃金分割的尺規(guī)作圖方法，體會數(shù)形結(jié)合的思想。2.從美學(xué)的角度：通過對大自然中美的事物鑒賞，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美的能力，同時陶冶學(xué)生情操。3從史學(xué)的角度：通過對黃金分割數(shù)學(xué)史料和“斐波拉契數(shù)列”的大致介紹，讓學(xué)生對學(xué)習內(nèi)容的意義有清晰的定位。教學(xué)重難點：認識黃金分割的美學(xué)價值，確定一條線段的黃金分割點。 學(xué)生學(xué)具：直尺，圓規(guī)，量角器，學(xué)生用計算器?；顒恿鞒淘O(shè)計課前交流：課前、課中猜一猜老師的專業(yè)，隨時告訴大家

2、，如：“老師，我發(fā)現(xiàn)你是美術(shù)老師！”“我發(fā)現(xiàn)你不是數(shù)學(xué)老師”等等，看誰猜得最準！ 一、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣1.計算幾組算式(結(jié)果精確到0.001)：0.6181= （10.618）0.618= 1（1+0.618）=問：你發(fā)現(xiàn)什么有趣的現(xiàn)象了嗎？有人說，0.618為宇宙的鑰匙，真有那么神奇嗎？2. 你覺得哪張照片的構(gòu)圖最合理？更能體現(xiàn)小松鼠若有所思地在凝視前方？3.多媒體展示三幅圖片：芭蕾舞演員在跳舞時，頻繁的掂起腳尖，為練就這項本領(lǐng)，演員不知要付出多少艱辛與努力，目的是什么？中華人民共和國國旗上鑲著五顆五角星，給我們莊重肅穆之感；上海東方明珠, 塔身顯得非常協(xié)調(diào)、美觀；春天的氣溫在23

3、度左右時，我們感覺到比較舒服，這些都給人以和諧、平衡、舒適、美的感覺。你想過這些問題嗎？（美是一種感覺，本來沒有什么標準，但物體形狀的比例提供了在勻稱和協(xié)調(diào)上的一種美感參考，這些都與0.618有關(guān)。） 二、動態(tài)探究，導(dǎo)出定義。1、動態(tài)探究：1.1、媒體演示圖片4，教師提出問題：舞臺上，主持人站的位置有什么特點？（發(fā)現(xiàn)不是在舞臺中間，而是在中間靠一側(cè)點.主持人站在舞臺中間很別扭，如果靠一側(cè)，則會給觀眾很舒服、美觀的感覺，聲音傳播的效果也較好）.1.2、 把剛才的問題抽象成數(shù)學(xué)模型，研究主持人位置的特殊性.(課件展示)（1）舞臺抽象成一條線段AB，主持人是線段上點C.點C將AB分成三條線段AC、C

4、B、AB.如果點C在中點處,滿足，如果點C向右側(cè)運動，則AC、CB、AB關(guān)系變?yōu)椋篊BACAB.（2）以短、長、全命名它們。在點C由中點向右側(cè)移動過程中，請觀察下面兩個比值的變化情況(幾何畫板演示).讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：B全AC長短 1.3、揭示定義：隨著點C的移動，兩個比值逐漸接近，某一瞬間它們相等,即=0.618.這時我們稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，AC與AB的比值（0.618）叫做黃金比.對于一條線段，其黃金分割點的位置很特殊，如果把舞臺看成一條線段，主持人站在這條線段黃金分割點的位置主持節(jié)目，給觀眾舒服、美觀的感覺，同時其聲音的傳播效果也達到最好.三、師生互動、探究作

5、法。D 1、分組探究、自主體驗五角星給人以莊重的美感，在圖案中，是否也存在黃金分割呢，分四人一組，用刻度尺分別度量課本P108頁的五角星點C到點A、B的距離，量出線段AB的長度，然后計算與,它們的值接近一個什么樣的數(shù)？（幾何畫板演示：隨著正五角星大小的改變，AB、AC、CB的長發(fā)生改變，但與始終保持不變。）結(jié)論1：點C是線段AB的黃金分割點。啟發(fā)：圖中好像還有線段AB的黃金分割點，你發(fā)現(xiàn)了嗎？能驗證嗎？結(jié)論2：點D也是線段AB的黃金分割點。一般地，一條線段有兩個黃金分割點，這兩點關(guān)于線段的中點對稱。啟發(fā)：你還發(fā)現(xiàn)圖中其它類型的黃金分割現(xiàn)象了嗎？結(jié)論3：點C是線段DB的黃金分割點；點D是線段AC

6、的黃金分割點。這叫做黃金分割點的再生性。歸納與過渡：剛才的過程體現(xiàn)了從形到數(shù)的的轉(zhuǎn)化，用數(shù)解釋形的特點；現(xiàn)在我們由數(shù)回歸到形，創(chuàng)造黃金分割。3、獨立探究：你能找到任一線段的黃金分割點嗎？學(xué)生可能會想到度量線段長 計算它的0.618倍 找點的方法。過渡：能用作圖方法直接作出這條線段的一個黃金分割點嗎？引出下一議題。4、自主學(xué)習,理解作法（幾何畫板展示作一條線段的黃金分割點的方法與過程。）(1)如右圖：已知線段AB，作圖尋找右側(cè)黃金分割點C：AB作法：取線段的中點D,將BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90，即BDAB；連接AD，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE，則點C為線段AB的右側(cè)黃金分割點.

7、(2)運用定義，通過計算說明點C是線段AB的黃金分割點.如果設(shè)AB=2，則BD=1,AD=,AC=-1,BC=3- ， ,點C為線段AB的黃金分割點.或者可計算出也能得到點C為線段AB的黃金分割點.歸納：兩種方法有什么區(qū)別嗎？前者是近似地找到線段的黃金分割點，后者是較準確地用尺規(guī)直接作出任一線段的黃金分割點。3、實際運用,伸延概念想一想:古希臘時期的巴臺農(nóng)神廟,把它的正面放在一個矩形ABCD中，以矩形ABCD的寬AD為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn) ，那點E是AB的黃金分割點嗎？矩形ABCD的寬與長的比是黃金比嗎？這樣的矩形稱為黃金矩形。 四、及時鞏固，初步應(yīng)用1. 如圖，

8、C、D是線段AB的兩個黃金分割點,且AB=1,則AD cm,AC cm,CD （均精確到0.001）；ACAD （結(jié)果保留3個有效數(shù)字）。五、開闊眼界1.黃金分割與人的關(guān)系相當密切： 地球表面的緯度范圍是090，對其進行黃金分割，則34.3855.62正是地球的黃金地帶。無論從平均氣溫、年日照時數(shù)、年降水量、相對濕度等方面都是具備適于人類生活的最佳地區(qū)。人為什么在環(huán)境22至24時感覺最舒適？因為人的體溫為37，與0.618的乘積為22.8，這一溫度中肌體的新陳代謝、生理節(jié)奏和生理功能均處于最佳狀態(tài)。人們的肚臍是人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。對應(yīng)練習：小穎身高為169c

9、m，下肢長98.9cm,演出時為了使身材更勻稱優(yōu)美，應(yīng)穿多高的高跟鞋最為合適？有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是13728，這恰好是把圓周分成1:0.618的兩條半徑的夾角。據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，這種角度對植物通風和采光效果最佳。在很多科學(xué)實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優(yōu)選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數(shù)找到合適的配方或工藝條件。優(yōu)選法由美國數(shù)學(xué)家基弗于1953年首先提出的，70年代由數(shù)學(xué)家華羅庚提倡在中國推廣。建筑師們對數(shù)學(xué)0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎圣母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618有關(guān)的數(shù)據(jù)。人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多

10、在畫面的0.618處。藝術(shù)家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美。2.與黃金分割有關(guān)的數(shù)學(xué)史料：關(guān)于黃金分割比例的起源大多認為是公元前六世紀古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯所發(fā)現(xiàn)，。中世紀后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利將中末比為神圣比例，并專門為此著書立說。在相當一段時期里，人們非常崇拜黃金分割，比如古希臘的許多矩形建筑中，寬與長的比都等于黃金比。斐波那契數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、這些數(shù)被稱為斐波那契數(shù)。特點是除前兩個數(shù)（數(shù)值為1）之外，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和。 斐波那契數(shù)列的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契。 斐波那契數(shù)列與黃