廣西南寧市2014年中考數(shù)學(xué)試題(含解析)

1、2014年南寧市初中畢業(yè)升學(xué)數(shù)學(xué)考試試卷本試卷分第卷和第卷，滿(mǎn)分120分，考試時(shí)間120分鐘。第卷（選擇題，共36分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1. 如果水位升高3m時(shí)水位變化記作+3m，那么水位下降3m時(shí)水位變化記作 ( ) (A)3m (B)3 m (C)6 m (D) 6 m答案：A由正數(shù)負(fù)數(shù)的概念可得?？键c(diǎn)：正數(shù)和負(fù)數(shù)（初一上學(xué)期有理數(shù)）。2.下列圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是 ( )（A） （B） （C） （D）答案：DD有4條對(duì)稱(chēng)軸，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形?？键c(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)圖形（初二上學(xué)期軸對(duì)稱(chēng)圖形）。3. 南寧東高鐵火車(chē)站位于南寧市青秀區(qū)鳳嶺北路，火車(chē)站總建筑面積約為2

2、67000平方米，其中數(shù)據(jù)267000用科學(xué)記數(shù)法表示為 ( )（A）26.7×10 （B）2.67×10 （C）2.67×10 （D）0.267×10答案：C由科學(xué)記數(shù)法的表示法可得?？键c(diǎn)：科學(xué)計(jì)數(shù)法（初一上學(xué)期有理數(shù)）4. 要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( ) （A） （B） （C） （D）答案：D 由x20，可得?？键c(diǎn)：二次根式的雙重非負(fù)性和不等式（初二上二次根式，初一下一元一次不等式）5. 下列運(yùn)算正確的是 ( ) （A）·= （B）= （C）÷= （D）64=2答案：B考點(diǎn)：整式的加減乘除（初一上整式的

3、加減，初二上整式的乘除和因式分解）6. 在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖1所示，若油面的寬AB=160cm，則油的最大深度為 ( ) （A）40cm （B）60cm （C）80cm （D）100cm答案：A考點(diǎn)：垂徑定理、勾股定理（初三上圓，初二下勾股定理）【海壁分析】關(guān)鍵是過(guò)圓心O作半徑垂直弦AB，并連結(jié)OA形成直角三角形，可得x407. 數(shù)據(jù)1，2，4，0，5，3，5的中位數(shù)和眾數(shù)分別是 ( ) （A）3和2 （B）3和3 （C）0和5 （D）3和5答案：D考點(diǎn)：中位數(shù)和眾數(shù)（初一上統(tǒng)計(jì)）8. 如圖2所示把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)，把平

4、角AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開(kāi)鋪平后得到的平面圖形一定是 ( ) 圖2（A）正三角形 （B）正方形 （C）正五邊形 （D）正六邊形答案：A考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)圖形【海壁分析】這道題非常新穎，讓人眼前一亮。其實(shí)，在考場(chǎng)里面拿張草稿紙?jiān)囈辉?，是最?jiǎn)單的方法。這個(gè)題目告訴我們，實(shí)踐出真知。數(shù)學(xué)不僅僅需要?jiǎng)幽X，也很需要?jiǎng)邮?。海壁教育向出題人致敬！9. “黃金1號(hào)”玉米種子的價(jià)格為5元/千克，如果一次購(gòu)買(mǎi)2千克以上的種子，超過(guò)2千克部分的種子的價(jià)格打6折，設(shè)購(gòu)買(mǎi)種子數(shù)量為千克，付款金額為元，則與的函數(shù)關(guān)系的圖像大致是 ( ) （A

5、） （B） （C） （D）答案：B考點(diǎn)：一次函數(shù)：函數(shù)圖像與分段函數(shù)（初二下一次函數(shù)）10. 如圖3，已知二次函數(shù) =，當(dāng)<<時(shí), 隨的增大而增大，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) （A）> （B）< （C）>0 （D）<<答案：B考點(diǎn)：二次函數(shù)：對(duì)稱(chēng)軸和增減性（初三下二次函數(shù)）11. 如圖4，在ABCD 中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF : BC=1 : 2，連接DF，EC.若AB=5，AD=8，sinB=，則DF的長(zhǎng)等于 ( ) （A） （B） （C） （D）答案：C考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)（初二下四邊形，勾股定理，初三下

6、三角函數(shù)）【海壁分析】關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)D作DCF的高，形成直角三角形。再通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理和三角函數(shù)求解。這道題稍有綜合性，但不算難。12. 已知點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在直線上，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），則+的值是 ( ) （A）10 （B）8 （C）6 （D）4答案：A考點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，配方法（初二上對(duì)稱(chēng)，初二下一次函數(shù)和反比例函數(shù)，初二上整式的乘除和因式分解）【海壁分析】 此題相較以往的南寧中考?jí)狠S題，并不算難。解題的關(guān)鍵在于將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)通過(guò)m和n表示出來(lái)，代入各自的解析式中，再得到m和n的關(guān)系式，然后，對(duì)+進(jìn)行變形以配合剛才得到的關(guān)系式

7、。變形的時(shí)候運(yùn)用到了非常常用的配方的技巧。解答：A點(diǎn)的作標(biāo)為（，)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。點(diǎn)B 的坐標(biāo)為(，) 點(diǎn)A在雙曲線上 = = 點(diǎn)B在直線上 =4 +=4 +=10第卷（非選擇題，共84分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13. 比較大?。?（填“>”“<”或“=”）.答案：<考點(diǎn)：有理數(shù)大小的比較（初一上有理數(shù)）14. 如圖5，已知直線，1=120°，則的度數(shù)是 °.答案：60° 考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；鄰補(bǔ)角（初一下平行于相交）15. 因式分解：= .答案：考點(diǎn)：因式分解（初二上整式的乘除和因式分解）16. 第45屆世

8、界體操錦標(biāo)賽將于2014年10月3日至12日在南寧市隆重舉行，屆時(shí)某校將從小記者團(tuán)內(nèi)負(fù)責(zé)體育賽事報(bào)道的3名同學(xué)（2男1女）中任選2名前往采訪，那么選出的2名同學(xué)恰好是一男一女的概率是 .答案：考點(diǎn)：概率（初三上概率）【海壁分析】男男，女男（一），女男（二），三選二，so easy！17. 如圖6，一漁船由西往東航行，在A點(diǎn)測(cè)得海島C位于北偏東60°的方向，前進(jìn)20海里到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)，測(cè)得海島C位于北偏東30°的方向，則海島C到航線AB的距離CD等于 海里.答案：解答：BD設(shè)為，因?yàn)镃位于北偏東30°，所以BCD30°在RTBCD中，BD，CD，又CAD3

9、0°，在RTADC中，AB20，AD20，又ADCCDB，所以，即：，求出10，故CD?？键c(diǎn)：三角函數(shù)和相似；【海壁分析】這是一道典型的“解直角三角形”題，在2012年南寧中考出現(xiàn)在解答題中。關(guān)鍵是：作高，設(shè)x，利用特殊三角形三邊關(guān)系用x表示出其它邊，再根據(jù)三角函數(shù)、勾股定理或相似比等數(shù)量關(guān)系列出方程。這道題的方法非常多樣。18. 如圖7，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC，BC相切與點(diǎn)E，F(xiàn)， 與AB 分別交于點(diǎn)G，H，且 EH 的延長(zhǎng)線和 CB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則 CD 的長(zhǎng)為 .答案：解答：連結(jié)OE，OF。AC、BC與圓O相切與點(diǎn)E，

10、F，OEA=90°，OFC=90°又ABC是等腰直角三角形，ACB =90°，CBA=CAB=45°，AB=CBA=CAB=45°，且OEA=OFC=90°，OE=OFAOE和BOF都是等腰直角三角形，且AOEBOF。AE=OE，AO=BOOE=OF，OEC=OFC=ACB =90°四邊形OEFC是正方形。OE=EC=AE=OE=OF，OA=OB=AB=。OH=，BH=ACB=OEA =90°。OEDC，OED=EDCOE=OH，OHE=OED=DHB=EDC，BD=BH=CD=BC+BH=考點(diǎn)：等腰直角三角形，圓

11、與直線相切，半徑相等，三角形相似（初二上對(duì)稱(chēng)，初三上圓，初三下相似）【海壁分析】原題可轉(zhuǎn)化為求DB的長(zhǎng)度。DB所在的BDH（BD=BH）（或證明OEHBDH亦可）是解題的突破口。所以，輔助線OE成為解題的入口。2013年，南寧中考的填空壓軸題是等邊三角形與內(nèi)切圓，2014年，又出此題。是否意味著“圓與直角三角形”已經(jīng)取代“找規(guī)律”，成為南寧中考填空壓軸首選？三、（本大題共2小題，每小題滿(mǎn)分6分，共12分）19. 計(jì)算：原式14×+3+= 4考點(diǎn)：負(fù)數(shù)的乘方；特殊角的三角函數(shù)值；絕對(duì)值；實(shí)數(shù)（初一上有理數(shù)，初二上二次根式，初三下三角函數(shù)）20. 解方程：答案：去分母得：化簡(jiǎn)得：22，求

12、得經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解 原方程的解是X=考點(diǎn)：分式方程（初二下分式）【海壁分析】以前較?？嫉氖欠质降幕?jiǎn)。四、（本大題共2小題，每小題滿(mǎn)分8分，共16分）21. 如圖8，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）. (1) 請(qǐng)畫(huà)出ABC向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的ABC； (2) 請(qǐng)畫(huà)出ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的ABC； (3) 在軸上求作一點(diǎn)P，使PAB的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫(huà)出PAB，并直接寫(xiě)出P的坐標(biāo).答案：（1）A1B1C1如圖所示； （2）A2B2C2如圖所示；（3）PAB如圖所示，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，0）考點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系，圖形的變化（平移、對(duì)稱(chēng)）（初一下平面直角坐標(biāo)系

13、，初二上對(duì)稱(chēng)）【海壁分析】要使PAB的周長(zhǎng)最小，因?yàn)锳B的長(zhǎng)是固定的，一般轉(zhuǎn)化為求“兩條直線之和最小值”。這是海壁總結(jié)的三種最常見(jiàn)最值問(wèn)題其中之一。主要方法是作線段某點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與線段另一點(diǎn)。22. 考試前，同學(xué)們總會(huì)采用各種方式緩解考試壓力，以最佳狀態(tài)迎接考試. 某校對(duì)該校九年級(jí)的部分同學(xué)做了一次內(nèi)容為“最適合自己的考前減壓方式”的調(diào)查活動(dòng)，學(xué)校將減壓方式分為五類(lèi)，同學(xué)們可根據(jù)自己的情況必選且只選其中一類(lèi)，學(xué)校收集整理數(shù)據(jù)后，繪制了圖和圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題： (1) 這次抽樣調(diào)查中，一共抽查了多少名學(xué)生？ (2) 請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

14、(3) 請(qǐng)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“享受美食”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)； (4) 根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校九年級(jí)500名學(xué)生中采用“聽(tīng)音樂(lè)”的減壓方式的人數(shù). 答案 (1)8÷16%= 50（名） (2) 體育活動(dòng)人數(shù)：50810125=15（名）（補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示）(3) 360°×（10÷50）=72°(4) 500×（12÷50）=120（名） 答：500名學(xué)生中估計(jì)采用“聽(tīng)音樂(lè)”的減壓方式的學(xué)生人數(shù)為120名考點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖；抽樣統(tǒng)計(jì)（初一下統(tǒng)計(jì)）【海壁分析】統(tǒng)計(jì)是南寧市中考數(shù)學(xué)的必考點(diǎn)。2012年統(tǒng)計(jì)里還包

15、括概率的內(nèi)容。五、（本大題滿(mǎn)分8分）23. 如圖10，ABFC，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE，分別延長(zhǎng)FD和CB交于點(diǎn)G. (1) 求證：ADECFE； (2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的長(zhǎng). 圖10 答案：(1) ABFC，ADE=CFE又AED=CEF，DE=FE ADECFE（ASA） (2) ADECFE， AD=CF ABFC，GBDGCF，GDBGFC GBDGCF（AA） 又因?yàn)镚B2，BC4，BD1，代入得：CF3 = AD ABAD+BD = 3+1 = 4考點(diǎn)：平行線，三角形全等，相似（初一下相交與平行，初二上全等三角形，初三下相似）【海壁分析

16、】簡(jiǎn)單的幾何證明題每年都有，一般會(huì)以四邊形為基礎(chǔ)，利用三角形全等和相似的知識(shí)證明和計(jì)算。第一小題一般為證明題，第二小題一般為計(jì)算題。這類(lèi)題相對(duì)簡(jiǎn)單，必須拿分。六、（本大題滿(mǎn)分10分）24.“保護(hù)好環(huán)境，拒絕冒黑煙”.某市公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴(yán)重的公交車(chē)，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車(chē)共10輛. 若購(gòu)買(mǎi)A型公交車(chē)1輛，B型公交車(chē)2輛，共需400萬(wàn)元；若購(gòu)買(mǎi)A型公交車(chē)2輛，B型公交車(chē)1輛，共需350萬(wàn)元.(1) 求購(gòu)買(mǎi)A型和B型公交車(chē)每輛各需多少萬(wàn)元？(2) 預(yù)計(jì)在該線路上A型和B型公交車(chē)每輛年均載客量分別為60萬(wàn)人次和100萬(wàn)人次. 若該公司購(gòu)買(mǎi)A型和B型公交車(chē)的總費(fèi)用不

17、超過(guò)1200萬(wàn)元，且確保這10輛公交車(chē)在該線路的年均載客量總和不少于680萬(wàn)人次，則該公司有哪幾種購(gòu)車(chē)方案？哪種購(gòu)車(chē)方案的總費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用是多少？答案：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)每輛A型公交車(chē)萬(wàn)元，購(gòu)買(mǎi)每輛B型公交車(chē)每輛萬(wàn)元，依題意列方程得，解得 （2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)輛A型公交車(chē)，則購(gòu)買(mǎi)（10）輛B型公交車(chē)，依題意列不等式組得，解得 有三種方案 （一） 購(gòu)買(mǎi)A型公交車(chē)6輛，B型公交車(chē)4輛 （二） 購(gòu)買(mǎi)A型公交車(chē)7輛，B型公交車(chē)3輛 （三） 購(gòu)買(mǎi)A型公交車(chē)8輛，B型公交車(chē)2輛 因A型公交車(chē)較便宜，故購(gòu)買(mǎi)A型車(chē)數(shù)量最多時(shí)，總費(fèi)用最少，即第三種購(gòu)車(chē)方案最少費(fèi)用為：8×100+150×2=1100

18、（萬(wàn)元） 答：（1）購(gòu)買(mǎi)A型和B型公交車(chē)每輛各需100萬(wàn)元、150萬(wàn)元 （2）該公司有3種購(gòu)車(chē)方案，第3種購(gòu)車(chē)方案的總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是1100萬(wàn)元。考點(diǎn)：二元一次方程組和一元一次不等式組。（初一下二元一次方程組，初一下一元一次不等式組）【海壁分析】南寧中考數(shù)學(xué)每年都會(huì)有一道與實(shí)際結(jié)合的應(yīng)用題，相較2010年（二元一次方程組和不等式），2011年（反比例函數(shù)和不等式），2012年（反比例函數(shù)和分式方程），2013年（含圖像的一次函數(shù)及不等式）。今年的題目更加簡(jiǎn)單。海壁老師拿給備戰(zhàn)期考的初一學(xué)生做，都能輕易做出來(lái)。 七、（本大題滿(mǎn)分10分）25. 如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上

19、一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,AEF=90°，AE=EF，過(guò)點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC.(1) 試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (2) 求證：ACF=90°；(3) 連接AF，過(guò)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作圓，如圖. 若EC=4，CEF=15°，求 AE 的長(zhǎng).答案：（1）BE=FH。理由如下： 四邊形ABCD是正方形 B=90°，F(xiàn)HBC FHE=90°又AEF=90° AEB+HEF=90° 且BAE+AEB=90°HEF=BAE AEB=EFH 又AE=EF ABEEHF（SAS）BE=FH(2)ABE

20、EHFBC=EH，BE=FH 又BE+EC=EC+CH BE=CH CH=FHFCH=45°，F(xiàn)CM=45°AC是正方形對(duì)角線， ACD=45°ACF=FCM +ACD =90°（3）AE=EF，AEF是等腰直角三角形 AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點(diǎn)上。設(shè)該中點(diǎn)為O。連結(jié)EO，得AOE=90°過(guò)E作ENAC于點(diǎn)NRTENC中，EC=4，ECA=45°，EN=NC=RTENA中，EN = 又EAF=45° CAF=CEF=15°（等弧對(duì)等角）EAC=30°AE=RTAFE中，AE= EF，AF=8 AE

21、所在的圓O半徑為4，其所對(duì)的圓心角為AOE=90° AE=2·4·（90°÷360°）=2考點(diǎn)：正方形；等腰直角三角形；三角形全等；三角形的外接圓；等弧對(duì)等角，三角函數(shù)；弧長(zhǎng)的計(jì)算。（初二上全等三角形，軸對(duì)稱(chēng)，初二下四邊形，勾股定理；初三上圓；初三下三角函數(shù)）【海壁分析】這道題前兩小問(wèn)考到了一個(gè)非常常見(jiàn)的幾何模型“倒掛的直角”（在2012年壓軸題中也出現(xiàn)過(guò)），在海壁的課堂中，給參加中考的學(xué)生講過(guò)不下5次，這個(gè)模型經(jīng)常用于全等和相似的證明。在這里，用到了三角形全等中。第三小問(wèn)有一定的難度和綜合性，關(guān)鍵是找出弧AE所對(duì)應(yīng)的圓的半徑和圓心角

22、。結(jié)合第一、二小題的結(jié)論（在難題中，第一二小題的結(jié)論或次生結(jié)論往往是第三小題最重要的條件），所對(duì)應(yīng)的圓是等腰直角AEF的外接圓。圓心角不難找出，關(guān)鍵就是如何讓EC=4與圓的半徑結(jié)合起來(lái)，在這里，我們做了EN這條輔助線。（海壁教育認(rèn)為，幾何的難點(diǎn)無(wú)外乎兩點(diǎn)：1、做輔助線，2、設(shè)x列方程）八、（本大題滿(mǎn)分10分）26. 在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線+與直線交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè). (1) 如圖，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 在(1)的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 如圖，拋物線+ 與軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在

23、點(diǎn)D的左側(cè)）.在直線上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得OQC=90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：（1）A(1,0) ，B(2,3)【解答，無(wú)需寫(xiě)】當(dāng)k=1時(shí)，列，解可得（2）平移直線AB得到直線L，當(dāng)L與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，ABP面積最大【如圖121（1）】設(shè)直線L解析式為： ，根據(jù)，得判別式，解得，代入原方程中，得；解得， P（,）易求，AB交軸于M（0，1），直線L交軸于G（0，）過(guò)M作MN直線L于N，OM=1，OA=1，AMO=45°AMN=90，NMO=45°在RTMNE中，NMO=45°，MG=，【如圖121（2）】 MN=，MN即為ABP的高由兩點(diǎn)間距離公式，求得：AB=故ABP最大面積 （3）設(shè)在直線上存在唯一一點(diǎn)Q使得OQC=90° 則點(diǎn)Q為以O(shè)C的中點(diǎn)E為圓心，OC為直徑形成的圓E與直線 相切時(shí)的切點(diǎn)【如圖122（1）】由解析式可知：C