估算教學(xué)的困惑和解決問題的策略

1、估算教學(xué)的困惑和解決問題的策略孫樹清估算教學(xué)的困惑和解決問題的策略一、一線教師在教學(xué)中所遇到的主要困惑一線教師在教學(xué)中所遇到的主要困惑主要表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：1、在小學(xué)階段估算都包括哪幾種形式？每種形式估算的方法有沒有不同？2、估算如何與筆算相結(jié)合？3、如何評(píng)價(jià)估算方法與結(jié)果的正確性？4、估算結(jié)果能是準(zhǔn)確值嗎？二、小學(xué)數(shù)學(xué)中的估算問題小學(xué)數(shù)學(xué)中加、減、乘、除的估算主要包括估值和區(qū)間估計(jì)兩種形式。區(qū)間估計(jì)又可包括估上限和估下限兩種不同的形式。 1、估值估值是指估計(jì)和、差、積、商大約是多少。如人教版課標(biāo)教材三年級(jí)上冊(cè)第18頁例2：這道題是估計(jì)“和”大約是多少，它的主要解法有：解法一：把376看成3

2、00，把284看成200，300200=500。有的學(xué)生回答為爬行類和兩棲類大約有500種，還有的學(xué)生回答為爬行類和兩棲類合起來肯定比500種多。解法二：把376看成350，把284看成300，350300=650。學(xué)生回答為爬行類和兩棲類大約有650種。解法三：把376看成400，把284看成300，400300=700。有的學(xué)生回答為爬行類和兩棲類大約有700種，還有的學(xué)生回答為爬行類和兩棲類合起來比700種少一些。這道題對(duì)和的估計(jì)大約在500700之間。 再如蘇教版課標(biāo)教材三年級(jí)下冊(cè)第33頁例題這道題是估計(jì)“積”大約是多少，它的主要解法有：解法一：把42頭看成40頭，把29千克看成20千

3、克，4020=800（千克）。有的學(xué)生回答為一天大約可擠奶800千克，還的學(xué)生回答一天擠奶的數(shù)量比800千克多。解法二：把42頭看成40頭，把29千克看成30千克，4030=1200（千克）。學(xué)生回答為一天大約可擠奶1200千克。解法三：把42頭看成50頭，把29千克看成30千克，5030=1500（千克）。有的學(xué)生回答為一天大約可擠奶1500千克，還有的學(xué)生回答為一天擠奶的數(shù)量比1500千克少。這道題對(duì)積的估計(jì)在8001500之間。通過上面兩道例題，我們可以看出：（1）在計(jì)算教學(xué)中引入估算，符合“課標(biāo)”所提倡的“算法多樣化”的要求?？梢杂行У匾龑?dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)揚(yáng)各自的聰明才智，表現(xiàn)出不同的

4、解題思路。（2）在小學(xué)“估值”教學(xué)中，由于沒有精確度的要求，主要看估值的方法是否正確。第一道題在方法正確的前提下，學(xué)生對(duì)376加284的和估值在500700之間，可以認(rèn)為估算正確。第二道例題在方法正確的前提下，學(xué)生對(duì)4229的積估值在8001500之間，就可以認(rèn)為估算正確。（3）由于學(xué)生認(rèn)識(shí)水平的限制，在估算中有較大的差異是正?，F(xiàn)象。但教師要引導(dǎo)學(xué)生逐步地同比精確值相差較多向相差較少轉(zhuǎn)變。如在第一題中，可以讓學(xué)生通過筆算精確地計(jì)算出376284=660，讓學(xué)生比一比誰的估算的結(jié)果相差得比較少，說一說是怎樣估算的？第二道題，也要采用同樣的方法讓學(xué)生比一比，有意識(shí)的引到學(xué)生不斷地提高估算水平。（4

5、）估算通常是把需要筆算的數(shù)學(xué)問題通過取整（也可能是特殊值的計(jì)算）轉(zhuǎn)化為口算來解答。而每個(gè)學(xué)生口算的能力有強(qiáng)有弱，有的學(xué)生直接口算出準(zhǔn)確值，還能叫估算嗎？這也是我們老師比較困惑的問題。通常，估算的結(jié)果只能與精確值相近似。學(xué)生通過直接口算或通過簡(jiǎn)算得出準(zhǔn)確值不能叫做估算。但在特定情況下有可能估算的結(jié)果等于精確值。例如237463的和是700；如果把237看成200，463看成500，200500=700。再如17429的商是6；如果把174看成是180，29看成是30，18030=6。這就是說，對(duì)于估算問題不能單純看結(jié)果，還要看過程。只要估算的方法對(duì)，得出的結(jié)果正好是精確值也是正確的，何況在估算時(shí)

6、，學(xué)生并不知道精確值是多少。（5）在估值時(shí)，有的學(xué)生也可能體現(xiàn)出“區(qū)間套”思想。直接說出比誰大，比誰小。這是正確的，但這種區(qū)間估計(jì)的思想對(duì)小學(xué)生來說比較困難，不要做硬性的要求。（6）在各套教材的編寫中，對(duì)于估算問題，選用的數(shù)值通常是接近整十、整百的數(shù)，以降低估算的難度。但不能說只有接近整十、整百的數(shù)才能估算，應(yīng)該說在小學(xué)階段，不能直接口算的四則式題都可以估算。也就是說，一道較大數(shù)目的計(jì)算問題，都可以采用一定的方式，通過口算，近似地得到它的結(jié)果。在“估值”教學(xué)中教師還可以適當(dāng)引入一些超出小學(xué)筆算要求，但可以進(jìn)行估算的問題，以提高學(xué)生對(duì)估算的認(rèn)識(shí)。如：下面長方形的面積大約是多少平方米？這是一道用小

7、數(shù)乘法求長方形面積的計(jì)算題。12.58乘9.45相當(dāng)于求四位數(shù)乘三位數(shù)的積，已經(jīng)超過了小學(xué)數(shù)學(xué)筆算的要求。但可以引導(dǎo)學(xué)生采用估算的方法求出積的近似值，解決一些沒有學(xué)過的計(jì)算問題。解法一：把12.58米看成是12米，9.45米看成是10米，1210=120（平方米）。長方形的面積大約是120平方米。解法二：把12.58米看成是13米，9.45米看成是9米，139=117（平方米）。長方形的面積大約是117平方米。在加法和乘法的估值中，有時(shí)需要采用一大、一小的方法。即一個(gè)加數(shù)（含因數(shù)）往大估，另一個(gè)加數(shù)（含因數(shù)）就要往小估，這樣和（積）的估值與精確值比較接近。而在減法和除法的估算中，有時(shí)需要采用同

8、大、同小的方法。即被減數(shù)（含被除數(shù)）往大估，減數(shù)（含除數(shù)）也同時(shí)往大估，這樣差（商）的估值與精確值比較接近。2、區(qū)間估計(jì)數(shù)值的區(qū)間估計(jì)包括估上限和估下限兩種不同的情況。估上限指估算的結(jié)果比給定的數(shù)值要小，或者等于給定的值。估下限指估算的結(jié)果比給定的數(shù)值要大，或者等于給定的值。加法或乘法估上限的問題，通常把給定的數(shù)據(jù)往上估一估，口算出和或積。如果這個(gè)和或積比給定的數(shù)值小，或者等于給定的數(shù)值。則說明原來的和或積也比給定的數(shù)值小，或等于給定的值。用數(shù)學(xué)方法表示是：如果ab，cd，并且bdN，那么acN。如果ab，cd，并且bdN，那么acN。加法或乘法估下限的問題，通常把給定的數(shù)據(jù)往下估一估，口算出

9、和或積。如果這個(gè)和或積比給定的數(shù)值大，或者等于給定的數(shù)值。則說明原來的和或積也比給定的數(shù)值大，或等于給定的值。用數(shù)學(xué)方法表示是：如果ab，cd，并且bdN，那么acN。如果ab，cd，并且bdN，那么acN。數(shù)值的區(qū)間估計(jì)難點(diǎn)再于：在估算之前，學(xué)生并不知道這道題是估上限，還是估下限，所以不易確定估算的方法。如冀教版課標(biāo)教材三年級(jí)上冊(cè)第15頁練一練第2題：不難看出這是和的區(qū)間估計(jì)?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生先想一想478加259的和比誰多、比誰少，再考慮是否夠用。400元加上200元是600元，78元加上59元比200元少，比100元多。所以478元加上259元比800元少，比700元多，大約是7百多元，帶8

10、00元夠用。當(dāng)然，學(xué)生也可以采用估上限的方法：（1）把478元看成500元，把259元看成300元，500300=800（元）。帶800元夠用。（2）把478元看成500元，800500=300（元）。剩下的300元比259元多，帶800元夠用。再看下面估算方法：（1）把478元看成450元，把259元看成250元，450250=700（元）。帶800元夠用。（2）把478元看成450元，800450=350（元）。剩下的350元比259元多，帶800元夠用。這兩種估算方法，如果不繼續(xù)做進(jìn)一步說明的話，雖然結(jié)論是正確的，但估算的方法是錯(cuò)誤的。當(dāng)把桌子和椅子的價(jià)錢看得少一些，得到800元夠用的結(jié)

11、論，有兩種可能。第一種可能是本來800元夠買一套桌椅，現(xiàn)在便宜了當(dāng)然還夠（這種估算沒有實(shí)際意義）。第二種可能是原來錢不夠買一套桌椅（假如只帶700元錢），但把桌子和椅子的價(jià)錢看得少一些就夠了，這并不能說明原來也夠（估算誤差過大造成錯(cuò)誤）。如果把冀教版的這道練習(xí)題稍加改變，把桌子的價(jià)錢由478元改成578元又會(huì)怎樣呢？578元如果學(xué)生還按照估上限的方法解答：（1）把578元看成600元，把259元看成300元，600300=900（元）。帶800元不夠用。（2）把578元看成600元，800600=200（元）。剩下的200元比259元少，帶800元不夠用。這兩種回答雖然結(jié)論正確，如果不做進(jìn)一步

12、說明的話，估算的方法是錯(cuò)誤的。對(duì)于這道題來說，當(dāng)上估時(shí)，有兩種可能，第一種可能是原來800元錢就不夠買一套桌椅，由于上估，還是不夠，這種估算是沒有意義的；第二種可能是原來的錢夠買一套桌椅（假如帶850元），但由于上估過高造成了不夠，由于估算誤差造成了錯(cuò)誤。教師可以引導(dǎo)學(xué)生先想一想578加259的和比誰多、比誰少，再考慮是否夠用。500元加上200元是700元，78元加上59元比200元少，比100元多。578元加上259元比900元少，比800元多，大約是8百多元，帶800元不夠用。當(dāng)然學(xué)生還可能用估下限的方法解答：（1）把578元看成550元，把259元看成250元，550250=800（元

13、）。帶800元不夠用。（2）把578元看成500元，把259元看成200元。500200=700（元），帶800元夠用。第（1）種估算是正確的。第（2）種結(jié)論錯(cuò)誤，過程有一定的合理性，但由于下估的過多，原來800元錢不夠用，卻變得夠用了。這種結(jié)論上的錯(cuò)誤是由于估算誤差過大造成的。由上面的分析可以看出：受生活經(jīng)驗(yàn)不足的限制，四則運(yùn)算的區(qū)間估計(jì)對(duì)小學(xué)生來說，要比單純的估值困難得多。在成人看起來很簡(jiǎn)單的問題，對(duì)學(xué)生，尤其是中下等生卻有相當(dāng)大的困難。并且區(qū)間估計(jì)所涉及到的邏輯關(guān)系也是小學(xué)生不容易掌握的，學(xué)生很難區(qū)分什么是正確的估算，什么是錯(cuò)誤的估算。因此（1）要把估算作為解決此類問題的一種方法。解決此

14、類問題可以估算，也可以采用口算和筆算的方法。如：。如北師大版課標(biāo)教材二年級(jí)下冊(cè)第76頁第4題：這道題采用口算、估算和筆算都可以解答，就不必限用估算的方法。（2）和與積的區(qū)間估計(jì)，學(xué)生最難掌握的是不知道什么時(shí)候需要上估，什么時(shí)候需要下估。對(duì)于加法，可以讓學(xué)生想一想和比誰大、比誰小，找出和的區(qū)間就容易判斷是上估還是下估。對(duì)于乘法最好有所暗示，減少估算的難度。如山東版課標(biāo)教材三年級(jí)下冊(cè)第26頁自主練習(xí)第3題。如果把每行40棵，要種21行，改成每行45棵，要種18行，學(xué)生就很難正確的估算。（3）當(dāng)出現(xiàn)估算錯(cuò)誤時(shí)，教師要通過實(shí)際例子使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這樣估算是錯(cuò)誤的，就可以了。如北京版課標(biāo)教材第5冊(cè)第42頁練

15、習(xí)五第9題： 在實(shí)際教學(xué)時(shí)，雖然三年級(jí)第一學(xué)期學(xué)生沒有學(xué)過兩位數(shù)乘法，但有學(xué)生卻這樣估算：“我把每張電影票8元一張，看成10元一張。97人看電影就需要970元。所以帶800元不夠?！?碰到這種情況，教師首先要讓學(xué)生充分發(fā)表意見，展開討論。然后教師可以指出：“把8元一張的電影票看成10元。每張票多算了2元，97張就多算了將近200元，所以不夠了。因此在一位數(shù)乘法的估算中，通常是一位數(shù)不變，多位數(shù)取整，再口算?！保?）是否估算正確，既要考慮估算的過程，也要考慮估算的結(jié)果；還要注意減少估算可能造成的誤差；還可以引導(dǎo)學(xué)生通過筆算來檢驗(yàn)估算結(jié)果的正確性。三、估算與口算、筆算的有機(jī)結(jié)合在全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)

16、課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中指出：“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，鼓勵(lì)算法多樣化。”實(shí)驗(yàn)稿還提出“能結(jié)合具體情境進(jìn)行估算，并解釋估算的過程?！?“在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養(yǎng)成估算的習(xí)慣?！痹诘谝粚W(xué)段“數(shù)與代數(shù)”的八個(gè)案例中，與估算有關(guān)的案例就有六個(gè)。在第二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”的十個(gè)案例中，與估算有關(guān)的案例就有五個(gè)。這些案例涉及到對(duì)大數(shù)和時(shí)間的估計(jì)，還涉及到對(duì)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加、減、乘、除的估算。另外“在空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”中也有一些估算的要求。估算是思維價(jià)值比較高，學(xué)生掌握起來有一定困難，在實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛的一種計(jì)算形式。要養(yǎng)成良好的估算習(xí)慣，就必須細(xì)水長流、反復(fù)出現(xiàn)，融匯到小

17、學(xué)數(shù)學(xué)教育的全過程之中。1、估算與口算相結(jié)合把估算與口算相結(jié)合，就要在口算的基礎(chǔ)上，適時(shí)地進(jìn)行估算的基礎(chǔ)訓(xùn)練。如人教版課標(biāo)教材四年級(jí)上冊(cè)第7879頁。在口算的基礎(chǔ)安排估算訓(xùn)練，還可以擴(kuò)展到其他整數(shù)、小數(shù)或分?jǐn)?shù)的口算教學(xué)中，這樣做有利于分散估算教學(xué)難點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生估算的意識(shí)，養(yǎng)成良好的估算習(xí)慣，為解決具體問題，選擇合適的估算方法做好準(zhǔn)備。在口算的基礎(chǔ)安排估算訓(xùn)練，還要在一定量練習(xí)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出估算的一些基本方法。如三位數(shù)加、減三位數(shù)的估算，通常要把兩個(gè)三位數(shù)轉(zhuǎn)化為可以口算的整十?dāng)?shù)或整百數(shù)；一位數(shù)乘三位數(shù)的估算，通常一位數(shù)不變，把三位數(shù)轉(zhuǎn)化為整十?dāng)?shù)或整百數(shù)，然后再口算；一位數(shù)除三位數(shù)的估算，通常除數(shù)不變，把被除數(shù)轉(zhuǎn)化為能被除數(shù)整除的整十?dāng)?shù)或整百數(shù)，然后再口算；2、估算與筆算相結(jié)合把估算與筆算相結(jié)合，已經(jīng)成為各套課標(biāo)教材普遍接受的編寫形式。如京版課標(biāo)教材第5冊(cè)第32頁例題：在教學(xué)實(shí)踐中，這種編排形式已經(jīng)為一線教師所接受，收到良好的教學(xué)效果。（1）估算滲透了區(qū)間套思想。在這道例題中，指出了商所在的區(qū)間，明確了商是幾位數(shù)，得出商的首位數(shù)字是幾。（2）四則式題的估算還可以作為筆算的一種檢驗(yàn)的方法。假如估算是正確的，但筆算的結(jié)果在估算的區(qū)間之外，那么筆算一定是錯(cuò)誤的；如果筆算的結(jié)果在估算的區(qū)間之內(nèi)，則說明筆算可能是正確的。反過來正確的筆算結(jié)果也