專題七：函數(shù)內(nèi)容分析與教學(xué)（一）

1、函數(shù)內(nèi)容分析與教學(xué)（一） 胡：老師們，大家好！今天起，我們一同分析函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容與教學(xué)建議。我們知道，函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)里第一個(gè)正式研究“變化”過(guò)程的內(nèi)容，確切地說(shuō)，是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型。 初中函數(shù)的內(nèi)容包括：函數(shù)的概念；三種表示法；正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)；一次函數(shù)的的圖象和性質(zhì)；反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。具體地，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求如下： 字幕： 1. 探索簡(jiǎn)單實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，了解常量、變量的意義。2. 結(jié)合實(shí)例，了解函數(shù)的概念和三種表示法，能舉出函數(shù)的實(shí)例。3. 能結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析。4. 能確定簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)自變量的取值

2、范圍，并會(huì)求出函數(shù)值。5. 能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系。 6. 結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，能對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論。 這其中的關(guān)鍵點(diǎn)有哪些呢？ 馬：正如胡老師剛剛提到的，函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，是初中代數(shù)的主線。在標(biāo)準(zhǔn)中，它的出現(xiàn)和定位有一些獨(dú)特之處：一方面，在小學(xué)階段，標(biāo)準(zhǔn)就提出了“探索規(guī)律”的學(xué)習(xí)任務(wù)，這實(shí)際上就是函數(shù)學(xué)習(xí)的初期；另一方面，初中階段的數(shù)學(xué)課程中，函數(shù)的定義也僅僅是采用了較為直觀的“變量說(shuō)”：一個(gè)變量的變化，引起另一個(gè)變量的變化，而沒(méi)有采用抽象的“映射說(shuō)”；同時(shí)，函數(shù)的三要素、函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性等基本特性也沒(méi)有系統(tǒng)提及；而只是要求結(jié)

3、合具體的函數(shù)，有效地滲透，逐步揭示函數(shù)的直觀、本質(zhì)特征聯(lián)系和變化；但同時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)也突出了將函數(shù)作為初中代數(shù)內(nèi)容主線的觀點(diǎn)。所以，函數(shù)學(xué)習(xí)在初中階段并不是一個(gè)“全新”的內(nèi)容，需要關(guān)注其與小學(xué)階段的延續(xù)性；同時(shí)，初中階段的學(xué)習(xí)也不是理論性的，還是以直觀研究為主；但需要介紹函數(shù)與方程、不等式等內(nèi)容的聯(lián)系。 字幕：函數(shù)概念學(xué)習(xí)要點(diǎn) 1. 關(guān)注其與小學(xué)階段的延續(xù)性； 2. 初中階段的學(xué)習(xí)以直觀研究為主； 3. 關(guān)注函數(shù)與方程、不等式等內(nèi)容的聯(lián)系。 胡：如果從教學(xué)的角度看，該如何體現(xiàn)這樣的定位呢？ 程：應(yīng)當(dāng)是在幫助學(xué)生建立函數(shù)概念的過(guò)程中：一方面，盡可能地選取現(xiàn)實(shí)生活情境、其他學(xué)科案例、小學(xué)數(shù)學(xué)中的相關(guān)實(shí)例

4、作為學(xué)習(xí)素材，另一方面，借助圖像分析的方法，是幫助學(xué)生建立函數(shù)概念過(guò)程中必須要考慮的。比如， 字幕： 1. 嬰兒的體重隨著年齡的變化而變化（嬰兒的圖片）； 2. 學(xué)生上學(xué)途中存在著的眾多變量和變化過(guò)程； 3. 溫度隨時(shí)間的變化而變化； 特別地，這樣的背景、實(shí)例等應(yīng)當(dāng)采用盡早滲透的方式，讓學(xué)生在不斷接觸的過(guò)程有逐漸消化吸收，感悟函數(shù)概念的本質(zhì)，而不是“畢其功于一役”，那樣多半只是流于形式，達(dá)不到感受本質(zhì)特征的目的。 胡：具體到函數(shù)的各個(gè)相關(guān)內(nèi)容，還要重視什么？ 馬：簡(jiǎn)單地說(shuō)要特別注意以下幾點(diǎn)；就函數(shù)的表示法而言，關(guān)鍵在于每一種表示法的特征、適合于表達(dá)什么類型的函數(shù)；對(duì)值域與定義域，強(qiáng)調(diào)基于現(xiàn)實(shí)背

5、景的要求；對(duì)一次函數(shù)，突出自變量與因變量之間的“按比例變化”特征，以及一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系；對(duì)于二次函數(shù)，突出對(duì)形式的研究，以更好地顯示出“數(shù)”與“形”的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)換，彰顯數(shù)形結(jié)合思想，以及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。 字幕： 函數(shù)表示法：每一種表示法的特征、適合于表達(dá)什么類型的函數(shù)； 值域、定義域：強(qiáng)調(diào)基于現(xiàn)實(shí)背景的要求； 一次函數(shù)：突出自變量與因變量之間的“按比例變化”特征，以及一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系； 二次函數(shù)：關(guān)注形式的研究，顯示“數(shù)”與“形”的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)換，突出二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。

6、胡：許多老師反映：函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)較多。兩位老師對(duì)此有什么好的建議？ 程：剛剛提到過(guò)建立函數(shù)概念的一些做法。而對(duì)于函數(shù)表示法，重心應(yīng)當(dāng)是如何從表示法中獲得“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，以及每一種表示法的特點(diǎn)。有關(guān)這方面的教學(xué)可以參考標(biāo)準(zhǔn)提供的三個(gè)案例： 字幕： 例54 小明的父母出去散步，從家走了20分到一個(gè)離家900米的報(bào)亭，母親隨即按原速返回。父親在報(bào)亭看了10分報(bào)紙后，用15分返回家。下面的圖形中哪一個(gè)表示父親離家后的時(shí)間與距離之間的關(guān)系？哪一個(gè)圖形是表示母親的行走過(guò)程？ 這里給出了圖像法，它可以幫助學(xué)生從中概括出“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，并與題設(shè)相對(duì)照。 字幕： 例55 某書定價(jià)8元。如果一次購(gòu)買10本以上，

7、超過(guò)10本部分打八折。分析并表示購(gòu)書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。 這是一個(gè)分段函數(shù)，函數(shù)的三種表示法均適用于這個(gè)例子。分段函數(shù)應(yīng)當(dāng)畫圖，并且關(guān)注分段點(diǎn)處函數(shù)的變化情況。可以分組討論三種方法，然后讓學(xué)生分析比較每一種表示法的特點(diǎn)。 字幕： 例56 甲乙兩地相距20千米。小明上午8：30騎自行車由甲地去乙地，平均車速為8千米/時(shí)；小麗上午10：00坐公共汽車也由甲地去乙地，平均車速為40千米/時(shí)。分別表示兩個(gè)人所用時(shí)間與距離的函數(shù)關(guān)系，并回答誰(shuí)先到達(dá)乙地。 問(wèn)題的要點(diǎn)是同時(shí)分析兩個(gè)函數(shù)關(guān)系?？梢詥l(fā)學(xué)生用各種方法來(lái)解答第二個(gè)問(wèn)題，在分析、總結(jié)學(xué)生的解答時(shí)，可以把兩個(gè)函數(shù)的圖像放在一起進(jìn)行直觀比較。 字幕： 一般來(lái)說(shuō)，列表法能夠很快找出特定自變量所對(duì)應(yīng)的因變量值，適用于變量取值是離散、個(gè)數(shù)又較