第七章第7課時(shí)知能演練輕松闖關(guān)

1、一、選擇題1在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，若 E 為 A1C1 的中點(diǎn)，則直線 CE 垂直于()AAC CA1DBBD DA1A：選 B.以 A 為原點(diǎn)，AB，AD，AA1 所在直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 1，1，1，1)，則 A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(2211 CE(2，2，1)，AC(1,1,0)，BD(1,1,0)，A1D(0,1，1)，A1A(0,0，1)，11顯然CE·BD2200， CEBD，即 CEBD. 故選B.2.(2012·高考陜西

2、卷)，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CACC12CB，則直線 BC1 與直線 AB1 夾角的余弦值為() 5A. 5B.5332 5C.D.55：選 A.不妨令 CB1，則 CACC12.可得 O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，BC1(0,2，1)，AB1(2,2,1)， 41 BC ·AB 1 50，11 cos，BC1AB15 5× 95|BC1|AB1| BC1與AB1的夾角即為直線 BC1 與直線 AB1 的夾角，直線 BC1 與直線 AB1 夾角的余弦值為 5 故選 A.5 .3已知正

3、方體 ABCD-A1B1C1D1，則直線 BC1 與平面 A1BD 所成的角的正弦值是() 6A.1B.64 6C. 3D.32：選 C.建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1，直線 BC1 與平面 A1BD 所成的角為 ，則 D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， DA1(1,0,1)，DB(1,1,0)，BC1(1,0,1)設(shè) n(x，y，z)是平面 A1BD 的一個(gè)法向量， ìïn·DA1xz0則í，令 z1，則 x1，y1.ïîn·DBxy0n(1,1,1)，&

4、#239; 11 ï6.故選 C.sin |cosn， |ïï23BC1ïï3·4.(2013·晉城調(diào)研)，在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，棱長(zhǎng)為 a，M，N 分別為 A1B和 AC 上的點(diǎn)，A1MAN 2 ，則 MN 與平面 BB1C1C 的位置關(guān)系是(a)3A相交C垂直：選 B.B平行 D不能確定分別以 C1B1，C1D1，C1C 所在直線為 x，y，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1MAN 23 a，M(a，2a，a)，2N(3a， a，a)2333a2 MN(3，0，3a)又 C1(0,0,0)，D1(0，a,

5、0)，C1D1(0，a,0) MN·C1D10，MNC1D1.C1D1是平面 BB1C1C 的一個(gè)法向量，且 MN平面 BB1C1C，MN平面 BB1C1C. 故選B.二、填空題5已知兩平面的法向量分別為 m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為：cosm，n mn· 2，m，n，|m|n|24兩平面所成二面角的大小為或34 .43：4或 46.如圖，正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 1，O 是底面 A1B1C1D1 的中心，則點(diǎn) O 到平面ABC1D1 的距離為：以 D 為原點(diǎn)，DA，DC，DD1 所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸建立

6、空間直角坐標(biāo)系，1，1，1)，設(shè)平面 ABC1D1 的法向量 n(x，y，則 A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O(22z)，ìïn·ABy0由í，ïn·AD xîz01ìïy0得í，ïîxz令 x1，得 n(1,0,1)111又OD (2，2，0)，1 2 的距離 d|n·OD1| 2.O 到平面 ABC D 2 41 1|n| 2：4三、解答題7(2013·宜昌模擬)已知四棱錐 P-ABCD 的直觀圖(如圖)及

7、側(cè)視圖(如圖)，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為 2 的正方形，平面 PAB平面 ABCD，PAPB.(1) 求證：ADPB；(2) 求異面直線 PD 與 AB 所的余弦值；(3)求平面 PAB 與平面 PCD 所二面角的大小解：(1)證明：取 AB 的中點(diǎn) O，連接 PO，則 POAB，üï平面PAB平面ABCDPOABý平面平面ABCDABPABïþPO平面PABPO平面ABCDüïýïþAD平面ABCDüïPOADýADABPOABOïþAD平面PA

8、BüïýADPB.ïþPB平面PAB(2)過(guò) O 作 AD 的平行線為 x 軸，OB，OP 所在直線分別為 y，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0，1,0)，D(2，1,0)，B(0,1,0)，C(2,1,0)由已知側(cè)視圖知 PO2， 故 P(0,0,2)PD(2，1，2)，AB(0,2,0) PD·AB1cosPD，AB 3，|PD|AB|即異面直線 PD 與 AB 所的余弦值為1.3(3)平面 PAB 的一個(gè)法向量 n(1,0,0)設(shè)平面 PCD 的一個(gè)法向量 m(x，y，z)，ìï 0，ì

9、39;2xy2z0，m·PD則í即íïîy0，xz.ïîm·CD0，取 m 1，0，1)，(22cosn，m nm· 2，|n|m|2即所求銳二面角的大小為4.8.，點(diǎn) P 在正方體 ABCD-ABCD的對(duì)角線 BD上，PDA60°.(1)求 DP 與 CC所的大小；(2)求 DP 與平面 AADD 所的大小，以 D 為原點(diǎn)，DA 為長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz.解：則DA(1,0,0)，CC(0,0,1)連接 BD，BD.在平面 BBDD 中，延長(zhǎng) DP 交 BD于 H.DH(m，m,1)

10、(m0)，設(shè)由已知 ， 60°，DHDA DA·DH|DA|DH|cosDH，DA，可得 2m2m21.解得 m 2，所以 æ 2， 2，1ö.DHè 2ø22(1)因?yàn)?cos ，DHCC 2 22 ×0 2 ×01×1 2 2 ，1× 2所以 ，45°，即 DP 與 CC所成的角為 45°.DHCC(2)平面 AADD 的一個(gè)法向量是 (0,1,0)DC 2×0 211×02 ×21因?yàn)?cosDH，DC2，1× 2所以 ， 60&

11、#176;.DHDC可得 DP 與平面 AADD 所成的角為 30°.9(2013·山西省適應(yīng)性訓(xùn)練)如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形，PA平面 ABCD，PAAB，M，N 分別是線段 PB，AC 上的動(dòng)點(diǎn)，且不與端點(diǎn)重合，PMAN. (1)求證：MN平面 PAD；(2)當(dāng) MN 的長(zhǎng)最小時(shí)，求二面角 A-MN-B 的余弦值解：(1)證明：過(guò) M 作 BA 的平行線交 PA 于點(diǎn) E，過(guò) N 作 BA 的平行線交 AD 于 F 點(diǎn)， 連接 EF，設(shè) PMANa.因?yàn)?MENF，MENF 22 a，所以四邊形 MEFN 為平行四邊形，所

12、以 MNEF.又因?yàn)?EF平面 PAD，MN平面 PAD， 所以 MN平面 PAD.(2)由(1)知 MNEF，在 RtEAF 中，設(shè) AFx，則可求得 EA1x.所以 MN2EF2AF2EA2x2(1x)221，當(dāng)且僅當(dāng) x1時(shí)取等號(hào)，此時(shí) MN 的長(zhǎng)最小，且 M，N 分別為 PB，AC 的中點(diǎn)2如圖，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AB 為 x 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 Axyz，則 A(0,0,0)，111111111M(2，0，2)，N(2，2，0)，B(1,0,0)，所以AM(2，0，2)，AN(2，2，0)，BM(2，0，1)， 11BN(2，2，0)設(shè)平面 AMN 的法向量為 m(

13、x，y，z)，2ì11x z0ìïm·AM022，即í1則í，1ïîm·AN0î2x2y0令 x1，可取 m(1，1，1)設(shè)平面 BMN 的法向量為 n(x1，y1，z1)，11ìì- x z 0ïn·BM01122，即í則í，11ïîn·BN0î 22- x y 011令 x11，則可取 n(1,1,1)所以 cosm，n mn·1，|m|·| n|3故二面角 A-MN-B

14、的余弦值為1.31(2012·高考湖南卷)，在四棱錐 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90°， E 是 CD 的中點(diǎn)(1) 證明：CD平面 PAE；(2) 若直線 PB 與平面 PAE 所成的角和 PB 與平面 ABCD 所成的角相等，求四棱錐 P-ABCD的體積解：法一：(1)證明：如圖，連接 AC.由 AB4，BC3，ABC90°得 AC5.又 AD5，E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 CDAE，因?yàn)?PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD，而 PA，AE 是平面 PAE 內(nèi)的兩條相交直線，所以 CD平面 P

15、AE.(2)過(guò)點(diǎn) B 作 B，分別與 AE，AD 相交于點(diǎn) F，G，連接 PF.由(1)CD平面 PAE 知，BG平面 PAE.于是BPF 為直線 PB 與平面 PAE 所成的角，且BGAE.由 PA平面 ABCD 知，PBA 為直線 PB 與平面 ABCD 所成的角由題意PBABPF，因?yàn)?sinPBAPA，sinBPFBF，所以 PABF.PB由DABABC90°知，ADBC.又 B GDBC3.于是 AG2.在 RtBAG 中，AB4，AG2，BGAF，PB，所以四邊形 BCDG 是平行四邊形，故AB2168 5所以 BGAB AG 2 5，BF BG .2252 5于是 PA

16、BF8 55 .又梯形 ABCD 的面積為 S1×(53)×416，2所以四棱錐 P-ABCD 的體積為V1×S×PA1×168 5128 5.×33515法二：如圖，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè) PAh，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0，5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)CD(4,2,0)，AE(2,4,0)，AP(0,0，h)CD·AE8800，CD·AP0，所以 CDAE，CDA

17、P.而 AP，AE 是平面PAE 內(nèi)的兩條相交直線，所以 CD平面 PAE. (2)由題設(shè)和(1)知，CD，PA分別是平面 PAE，平面 ABCD 的法向量而 PB 與平面 PAE 所成的角和 PB 與平面 ABCD 所成的角相等，因?yàn)?所以|cos ， |cos， |，CDPBPAPBï ïï ï即ï CD·PB ïï PA·PB ï. ï|CD|·| PB|ïï|P A |·| PB|ï由(1)知， (4,2,0)，(0,0，h)C

18、DPA又PB(4,0，h)，ï 1600 ïï 00h2 ï故，ï25·16h2ïïh·16h2ï解得 h8 55 .又梯形 ABCD 的面積為 S1×(53)×416，2所以四棱錐 P-ABCD 的體積為V1×S×PA1×168 5128 5×.335152.(2012·高考福建卷)如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1AD1，E 為 CD 的中點(diǎn)(1) 求證：B1EAD1；(2) 在棱 AA1 上是否存在一點(diǎn) P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的長(zhǎng)；若不存在， 說(shuō)明理由；(3) 若二面角 A-B1E-A1 的大小為 30°，求 AB 的長(zhǎng)解：(1)證明：以 A 為原點(diǎn)， ， ， 的方向分別為 x 軸，y 軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)ABADAA1系(如圖)設(shè) ABa，則 A(0,0,0)，D(0，1,0)，D1(0,1,1)，a0 ，B (a,0,1)，故AD1(0,1,1)， æa，1，1ö， (a,0,1)， æöE，1，B1EAB1AEè2øè&#